第6章 幂函数､指数函数和对数函数 小结与复习（第1课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数､指数函数和对数函数 小结与复习（第1课时） ▍教学目标 1. 理解分数指数幂、对数的意义，掌握有理指数幂、对数的运算，掌握指数函数､对数函数､幂函数的概念图象和性质，知道指数函数､对数函数､幂函数是描述客观世界变化规律的重要教学模型． 2. 利用函数性质比较大小，解指数对数方程或不等式． 3. 利用函数性质解决函数综合问题． 逻辑推理：运用幂函数，指数函数，对数函数单调性比较大小． 数学运算：分数指数幂，指数，对数的化简求值． 数学建模：运用数形结合思想，利用单调性，奇偶性解决问题． ▍复习回顾 [教师引导] 1. 幂函数，指数函数，对数函数的定义： (1) 幂函数定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． (2) 指数函数定义：一般地，函数叫作指数函数，它的定义域是． (3) 对数函数定义：一般地，函数叫作对数函数，它的定义域是． 2. 幂函数，指数函数，对数函数的性质： (1) 幂函数（为常数，） 幂函数的定义域､值域､奇偶性要结合具体的值来看，但无论取何值，幂函数的图象一定过定点． 当时，在上，函数单调递减； 当时，在上，函数单调递增； 当时，在上，函数单调递增； 其他象限的单调性可以利用具体函数的奇偶性得到． (2) 指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 (3) 对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 [处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式： 我们已经学习了几个重要的函数：幂函数，指数函数和对数函数，请你谈谈对三个函数定义性质的理解． 让学生自主主动回顾､检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图． ▍典例精讲 题型一：指对幂函数的运算 【例题1】 化简： (1) ； (2) ； (3) ． [思路分析] 按照指数､对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用． [解析] (1) 原式． (2) 原式． (3) 原式 ． 方法归纳 1. 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子､分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算､化简､证明常用的技巧． 2. 对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： (1) “收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数． (2) “拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）． 题型二：比较数的大小问题 【例题2】 比较下列各组数的大小： (1) ，，； (2) ，； (3) ，，，． [思路分析] 指数，对数比较大小时常常需结合指对幂函数的性质． [解析] (1) 因为，，， 所以． (2) 法一： 在同一坐标系中作出函数与的图象： 由底数变化对图象位置的影响知：． 法二：， ∵，∴． (3) 因为，所以在上为增函数， 所以，即．同理，即． 又因为，，所以，故有． 方法归纳 利用指对幂函数的性质比较大小的常用方法： (1) 比较两数（式）或几个数（式）大小问题是本章的一个重要题型．常用的方法有单调性法､图象法､中间搭桥法､作差法､作商法． (2) 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数､对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． (3) 采用“媒介法”引入，，把三个数与，相比较得结论，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 题型三：解关于指对幂的不等式或方程 【例题3】 (1) ； (2) ． [解析] (1) 令，原方程可化为， 因式分解为，解得或（舍），所以，解得． (2) 解得 即或． 【变式】 解不等式：（或）． [思路分析] 在具体的解题过程中，要注意底数的范围对函数单调性的影响，当底数的范围不确定时，要分，进行讨论． [解析] 当时， 解得即或， 当时， 解得即或， 综上所述：当时，或； 当时，或． 方法归纳 1. 指数对数方程求解时注意转化法和换元法的灵活使用． 2. 指数对数不等式求解时若底数是参数要注意分类讨论，需要强调的是，在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围易扩大或缩小而导致增､失根，因此解对数方程要注意验根． 题型四：关于指对幂函数的性质的综合问题 角度一：已知函数性质求参数范围 【例题4】 已知，则实数的取值范围． [思路分析] 对数底数确定，函数单调性就明确了，根据单调性可得真数大小关系，对数求参数范围问题要注意定义域问题． [解析] 由函数的单调性可知：解得． 角度二：已知函数性质解不等式 【例题5】 已知函数（）为定义在上的奇函数． (1) 求实数的值； (2) 解关于的不等式． [思路分析] 利用奇函数的定义求出的值（或者利用求出，再代入验证），判断的单调性后综合利用函数的性质解不等式． [解析] (1) 方法一： 由题意可知恒成立，所以，则在上恒成立，所以，即． 方法二： 因为为定义在上奇函数， 所以，即，所以． 当时，对于任意的， ， 所以是奇函数，所以． (2) ，任取， ， 因为， 所以，即，即在上为增函数． 因为为奇函数， 所以等价于． 又因为在上为增函数， 所以，所以． 方法归纳 求函数中参数的范围以及不等式问题，一般需综合利用函数的奇偶性和单调性来解决，对于函数的单调性要利用单调性的定义进行探索和证明． ▍课堂反馈 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. [答案] C [解析] ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． 2. 计算的值为________． [答案] [解析] 原式 ． 3. 设函数若的取值范围是（ ） A. B. C. D. [答案] D [解析] 由函数 当时，，即， 解得，此时， 当时，，解得，此时， 综上：的取值范围是． 4. 已知，求实数的取值范围． [答案] [解析] 根据在上单调递增，得解得． 5. 已知函数，为实数，已知为奇函数， (1) 求的值； (2) 写出函数的单调区间（无需证明）； (3) 若，求实数的取值范围． [分析] 由奇函数定义可知恒成立，根据恒等式可求出的值． [解析] (1) 依题意，， 若为奇函数，则，即， 所以 ． 即即，所以或． 经检验． (2) 由题意得，函数在上单调递减； (3) ，解得， ∴函数的定义域为，， ∵函数为奇函数，∴， 又因为函数在上单调递减， ∴，∴． ▍课堂总结 【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． 学科网（北京）股份有限公司 $