16.3.2完全平方公式 同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3.2完全平方公式同步练习 一、单选题 1．运用乘法公式计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．如果，则=（   ） A． B． C． D． 4．已知是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D．6 5．已知，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 7．若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 8．运用乘法公式计算的结果是 ． 9．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若的面积为4，阴影部分的面积为38，则 ． 10．若，则 ； . 11．计算： ． 12．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲中阴影部分的面积为3，图乙中新构造的大正方形面积为27，则图乙中阴影部分面积为 ． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 15． 已知，求的值． 16．已知，求的值． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”． (1)判断58是否是“完美数”，并说明理由； (2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； (3)已知 ，求的值． 19．巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 20．利用完全平方公式，可以解决很多数学问题 例如∶若，求的值． 解∶因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题∶ (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．（1）阅读材料：若，求，的值． 解：∵， ∴， ∴． 则______，______． （2） 根据你的观察，探究下面的问题：已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长． 22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：． (1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形； (2)已知，，求的值； (3)已知，求的值； (4)已知，求的值． 《16.3.2完全平方公式同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 1．A 【分析】 本题考查的知识点是完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 原式利用完全平方公式化简即可得到结果． 【详解】 解：原式． 故选：． 2．B 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 已知，通过平方等式并展开，结合代数恒等式即可求出的值． 【详解】解：将已知等式两边平方，得 ， 即， ， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 根据完全平方公式，即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， 且， ， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了整式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用作差法求的值，再根据已知条件和非负数的性质即可得出比较结果． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 8． 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，直接根据完全平方公式进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 9．10 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据三角形的面积得出，再根据阴影部分的面积为​，求出，根据完全平方公式变形为，求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为a，b，的面积为4， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为​， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：10． 10． 2 1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式．根据绝对值，平方的非负性求出a、b的值即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 故答案为：2；1． 11．1 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键， 先将原式变形为，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 12．12 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 根据设正方形和的边长为和可得和，两式相减可得 ，据此求解． 【详解】设正方形和的边长分别为和， 所以图甲阴影部分面积为：，即①， 图乙中新构造的大正方形面积为：，即②， ②-①，得，即， ∴图乙阴影部分面积为：． 故答案为：12． 13．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． （1）运用的方法计算即可； （2）运用的方法计算即可； （3）运用的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用完全平方公式展开求解即可； （2）变形后利用完全平方公式进行计算求解即可； （3）把变为利用完全平方公式进行计算求解即可； （4）把变形为利用完全平方公式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【点睛】此题考查了利用完全平方公式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 15． 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．49 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的变形计算方法是解题的关键． 根据题意，则，再根据完全平方公式展开，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 17．， 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 18．(1)58是“完美数”，理由见解析 (2) (3)2 【分析】本题考查了新定义，完全平方式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整理得，结合“完美数”的定义，进行作答即可． （2）先整理得，因为要使W为“完美数”，所以需要是完全平方式，即可作答． （3）因为，得出，得，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，58是“完美数”，理由如下： 依题意，， ∴58是“完美数”， （2）解： ∵要使W为“完美数”， ∴需要是完全平方式， 即， ∴． （3）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 19．当时，该代数式有最小值，最小值为3 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用，将化为，仿照已知方法求解即可．会仿照已知方法进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴当时，该代数式有最小值，最小值为3． 20．(1)40 (2)6 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形计算求解； （2）利用完全平方公式的变形计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 21．（），；（）的周长为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． （）根据非负数的性质即可得出和的值； （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，通过三角形三边关系得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为． 22．(1)见解析 (2)6 (3) (4)31 【分析】本题主要考查完全平方式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景． （1）根据，画出宽为，长为的长方形即可； （2）根据完全平方公式变形可得出答案； （3）设，，则，再由完全平方公式变形可得出答案； （4）设，，则，再由已知得，再由完全平方公式变形可得出，再将变形为，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，可以验证：； （2）解：， ， ， 又，， ； （3）解：设，，则， ， ， ， ， 即； （4）解：设，，则， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $