6.3 对数函数（第2课时）教学设计 -2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦对数函数图象与性质的深化应用，通过教师引导学生自主回顾定义、图象性质及对称结论，替代传统逐条提问，帮助构建知识框图，形成学习支架，衔接后续方程不等式、复合函数及图象变换等内容。 资料以数学抽象、逻辑推理和数学运算为核心素养导向，设置解对数方程不等式、复合函数单调区间、图象变换等典例，归纳“化指法”“同增异减”等方法，结合课堂反馈强化应用。递进式教学流程培养学生逻辑思维与运算能力，为教师提供系统教学范例，提升课堂效率。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 对数函数（第2课时） ▍教学目标 1. 进一步理解对数函数的概念及图象与性质． 2. 能够熟练运用对数函数的图象和性质． 数学抽象：对数函数的图象与性质． 逻辑推理：图象变换问题． 数学运算：求函数的定义域、值域、单调区间． 数据分析：利用对数函数的性质解对数方程与对数不等式． ▍复习回顾 [教师引导] 1. 对数函数的定义： 一般地，函数（，）叫作对数函数，它的定义域是． 2. 对数函数的图象和性质： （且） 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 渐近线为轴 在上为增函数 在上为减函数 时，； 时， 时，； 时， 3. 结论： (1) 一般地，当，时， 函数与的图象关于直线对称； (2) 一般地，当，时， 函数与的图象关于轴对称； (3) 对于底数都大于的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近轴；对于底数都大于且小于的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离轴．以上规律可总结成时“底大图低”．实际上，作出直线，它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小，如图所示． [处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式：上节课，我们学习了对数函数，请你谈谈对对数函数相关知识点的理解． 让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图． ▍典例精讲 题型一：解简单的对数方程及不等式 【例题1】 解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ． [解析] (1) 由，得，解得． (2) 由，得， 解得或，又时，舍去，所以． (3) 由，得， 解得或，所以或． 【例题2】 解下列不等式： (1) ； (2) ． [解析] (1) 由，得， 所以解得． (2) 由，得 解得或． 方法归纳 1. 常见的三种对数方程的一般解法： (1) 方程（，）的解法“化指法”： 即将其化为指数式再求解，注意需验根． (2) 方程（，）的解法“同底法”： 脱去对数符号，得，解出后，要满足 (3) 方程（，）的解法“换元法”： 令，将原方程化简为，然后解之． 2. 解对数不等式的关键是正确地进行等价转化． （等价转化的理论根据是对数函数的定义，以及对数函数的单调性） 当时， 当时， 要注意数学思想方法的运用，如：分类讨论、换元、化归转化等等，提高解题速度和解题的准确率． 题型二：求对数复合函数的单调区间和值域 【例题3】 求下列函数的单调区间： (1) ； (2) ． [解析] (1) 要使函数有意义，则，解不等式得 所以函数定义域为． 设，函数在定义域上是增函数， 又的单调递增区间为， 单调递减区间为， 所以此函数的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) 要使函数有意义，则，解不等式得， 所以函数定义域为． 设，函数在定义域上是增函数， 又的单调递增区间为， 单调递减区间为， 所以此函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式1】 已知函数在上为单调增函数，求实数的取值范围． [解析] 设，要保证真数大于，只要在上的最小值大于． 1 当时，函数在定义域上是增函数， 由题意可知函数在上为增函数，则 解得，所以； 2 当时，函数在定义域上是减函数，由题意可知函数在上为减函数，则无解． 综上所述，实数的取值范围为． 【例题4】 求下列函数的值域： (1) ； (2) ． [解析] (1) 的定义域是． 因为，所以， 所以的值域为． (2) 设． 因为，所以． 又在上为减函数，所以， 所以的值域为． 方法归纳 1. 求解复合函数单调区间的一般步骤： (1) 求复合函数的定义域； (2) 求的单调区间，判断的单调性； (3) 利用“同增异减”下结论． 2. 型函数的值域的求法： (1) 先求函数的定义域； (2) 确定的值域； (3) 利用对数函数的单调性，求出函数的值域． 题型三：对数函数的图象变换问题 【例题5】 分别将下列函数的图象与函数的图象在同一平面直角坐标系中画出来，并说明二者之间的关系． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． [解析] (1) 将函数的图象向右平移个单位长度，即得函数的图象． (2) 将函数的图象向左平移个单位长度，即得函数的图象． (3) 将函数的图象向下平移个单位长度，即得函数的图象． (4) 将函数的图象向上平移个单位长度，即得函数的图象． 【例题6】 作出函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间． [解析] 先画出函数的图象（如图①）． 再将该函数图象向右平移个单位长度得到函数的图象（如图②）． 最后把的图象在轴下方的部分对称翻折到轴上方（原来在轴上方的部分不变），即得出函数的图象（如图③）． 由图易知其定义域为，值域为，单调递减区间为，单调递增区间为． 图① 图② 图③ 方法归纳 1. 平移变换（左加右减，上加下减）： (1) 将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象． (2) 将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象． (3) 将函数的图象沿轴向上平移个单位，得到函数的图象． (4) 将函数的图象沿轴向下平移个单位，得到函数的图象． 2. 对称变换： (1) 将函数的图象关于轴对称，得到函数的图象． (2) 将函数的图象关于轴对称，得到函数的图象． (3) 将函数的图象关于原点对称，得到函数的图象． (4) 将函数的图象关于直线对称，得到函数的图象． (5) 保留函数在轴上及轴上方的部分，把轴下方的部分关于轴对称到轴上方（去掉原来下方的部分），得到函数的图象． (6) 保留函数在轴上及轴右侧的部分，去掉轴左侧的部分，再将右侧图象对称到轴左侧，得到函数的图象． ▍课堂反馈 1. 已知，求的取值范围． [解析] 当时，； 当时，，即； 所以的取值范围为． 2. 解不等式：． [解析] 原不等式等价于． 1 当时，，解得即； 2 当时，， 解得即． 综上所述，当时；当时，． 3. 求函数的值域． [解析] 令，，为减函数，因此函数的值域为． 4. 作出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域． [解析] 先作出函数的图象，如图甲．再将在轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方（原来在轴上方的图象不变），得函数的图象，如图乙；然后将的图象向上平移个单位长度，得函数的图象，如图丙．由图丙得函数的单调递增区间是，单调递减区间是，值域是． ▍课堂总结 【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 本节通过运用对数函数的图象及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养． 学科网（北京）股份有限公司 $