第6章 阶段提升（八）幂函数、指数函数和对数函数（范围：6.1～6.3）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

阶段提升（八） 幂函数、指数函数和对数函数 （范围：6.1～6.3） 题型一 幂、指、对函数的图象及其应用 1．[（2025·淮安期中）]已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】C 【解析】选.因为函数 且 的图象恒过定点，又 时，所以，又点 在幂函数 的图象上，设幂函数为，代入点，可得，解得， 所以幂函数为， 所以. 2．如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】在题图基础上作出函数 的图象，如图， 当 时， ， 所以 与 的交点为，由图可知 的解集为. 3．已知过原点的直线与的图象交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线与函数交于点，过点作轴的垂线与函数交于点，当平行于轴时，点的横坐标为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】设,,，则，而,，由 轴，得，解得，于是，整理，即，解得，所以点 的横坐标为2. 幂函数、指数函数、对数函数的图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换. 题型二 幂、指、对函数的性质及其应用 1．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域是 C. 在上为减函数 D. 为奇函数 【答案】C 【解析】选.设幂函数 ， 由，解得， 所以，选项错误； 的定义域是，选项错误； 在 上为减函数，选项正确； 由定义域可知，函数 为非奇非偶函数，选项错误. 2．已知，且，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可得 即 解得， 所以实数 的取值范围为. 3．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数. （1） 求的值； （2） 若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 解：因为函数 的图象关于原点对称，所以函数 的定义域关于原点对称.因为，所以.易知，令，得，，所以，即，经验证,满足题意. （2） 因为.所以当 时，.又当 时，恒成立，所以.即实数 的取值范围是. 熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根.函数恒成立或能成立问题往往等价转化为求函数最值问题. 题型三 幂、指、对函数在实际中的应用 1．用打点滴的方式治疗“支原体感染”的病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度. （1） 求出函数的解析式； （2） 一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？ （参考数据：,,结果保留一位小数） 【答案】 （1） 解：由题图可知，图象经过，两点，将两点代入， 则 解得 所以. （2） 由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间， 所以浓度为15时为最迟停止注射时间， 故， 解得， 浓度从15降到4为最长间隔时间， 故， 即， 两边同时取以2为底的对数，则， 即 ， 所以， 所以病患开始注射后,最迟隔 停止注射，为保证治疗效果， 最多再隔 开始进行第二次注射. 2．六安瓜片是中国历史名茶、中国十大名茶之一，六安瓜片的口感与水的温度有关.经验表明，六安瓜片用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的六安瓜片达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测一次茶水温度，温度随时间变化的数据如下： 放置时间/ 0 1 2 3 4 茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：，. （1） 上述两种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式; （2） 根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的六安瓜片达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）.（参考数据：，） 【答案】 （1） 解：根据题中表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，所以选 ，，， 则 解得 所以. （2） 由，得， 两边同时取以10为底的对数得，， . 故最佳饮用口感的放置时间为. 函数应用题的解题思路：（1）依题意，找出或建立数学模型.（2）根据实际情况确定解析式中的参数.（3）依题设数据解决数学问题.（4）回归实际问题，得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $