6.3 第二课时 对数函数的图象和性质(一)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质，系统梳理了底数a>1与0<a<1时的定义域、值域、过定点及单调性等核心内容。通过自主预习表格梳理性质，基点小试结合指数函数对比辨析图象，帮助学生构建前后知识联系，形成学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察图象特征，用表格清晰呈现性质差异，结合平移翻折变换培养几何直观；以数学思维分析例题，通过奇偶性单调性判断图象培养推理能力，巧记口诀助力数学语言表达规律。助力学生提升抽象能力与创新意识，为教师提供结构化资源，提高教学效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3　对数函数 第二课时　 对数函数的图象和性质(一) (0，＋∞) R (1，0) x＝1 y＝0 y>0 y<0 y>0 增函数 减函数 课下培优巩固练（三十二） 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象及性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为______________，值域为___ 图象都过定点______________，即_________时，_________ 当x>1时，_________； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，_________ ； 当0<x<1时，_________ 在(0，＋∞)上是_________ 在(0，＋∞)上是_________ 微点拨：(1)讨论对数函数性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论． (2)由对数函数的性质知，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象通过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)) ，(1，0)和(a，1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的图象． (3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)中：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”，当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． (4)快速准确地判断对数值logmn的符号的方法：对于正数m，n，有(m－1)(n－1)>0⇒logmn>0；(m－1)(n－1)<0⇒logmn<0.巧记口诀：同正异负，即底数和真数同大于1或同大于0小于1时为正，否则为负. 【基点小试】 1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，y＝2x与y＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x)) 的图象可能是(　　) INCLUDEPICTURE "22TBSX4-4-3A.TIF" 解析：y＝2x是定义域为R的增函数，y＝log2(－x)：－x>0，则x<0.结合选项只有B符合．故选B. 答案：B 2．在同一坐标系中函数y＝2－x与y＝log2x的图象是(　　) INCLUDEPICTURE "22TBSX4-4-4A.TIF" 解析：由于y＝2－x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 中的底数0< eq \f(1,2) <1，所以为减函数，所以排除BC，由于y＝log2x中的底数2>1，所以为增函数，所以排除D，故选A. 答案：A 题型一　对数函数的图象 角度1　对数函数的图象及变换 例1.(1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为______________． 解析：由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0. 答案：b>a>1>d>c>0 (2)作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象． 解：第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)； 第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)； 第三步：将函数y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图③). [总结] 1.对数函数y＝logax的底数对图象的影响 a越大，函数图象在x轴上方部分越远离y轴的正方向，即“底大图右”，如图所示． 2．两个单调性相同的对数函数的底数大小关系 它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图①②. 3．函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的． (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称． 角度2　图象辨析 例2.函数f(x)＝xlog2|x|的图象大致为(　　) INCLUDEPICTURE "22TBSX4-4-11.TIF" 【思维点拨】　由解析式判断f(x)奇偶性及f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ，f(1)的符号，即可确定图象． 解析：由f(－x)＝－xlog2|－x|＝－xlog2|x|＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，所以f(x)为奇函数，排除C、D；又f( eq \f(1,2) )＝ eq \f(1,2) log2| eq \f(1,2) |＝－ eq \f(1,2) <f(1)＝0，排除B.故选A. 答案：A [总结] 　(1)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． (2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 角度3　由对数函数的图象求参数的范围 例3.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　) A．5 B． eq \f(1,5) C． eq \f(1,e) D． eq \f(1,2) 解析：由对数函数y＝logax的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，给出的四个选项中仅有选项A中的数值大于1，满足条件．故选A. 答案：A [总结] 　若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围． 注意：函数在某区间上单调，前提是在该区间上有意义，不能忽视其对参数范围的限制． 【练一练】 1.(2025·盐城五校联盟高一上期末)函数f(x)＝ eq \f(1－4x,1＋4x)ln |x|的图象大致为(　　 ) INCLUDEPICTURE "25SJB1S-6.TIF" 解析：由函数f(x)＝ eq \f(1－4x,1＋4x)ln |x|可知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且定义域关于原点对称． 因为f(－x)＝ eq \f(1－4－x,1＋4－x)ln |－x|＝ eq \f(4x－1,4x＋1)ln |x|＝－f(x), 所以函数f(x)＝ eq \f(1－4x,1＋4x)ln |x|为奇函数，故排除选项B； 因为f(1)＝ eq \f(1－4,1＋4)ln 1＝0，故排除选项A； 因为f( eq \f(1,2))＝ eq \f(1－2,1＋2)ln eq \f(1,2)＝ eq \f(1,3)ln 2>0，故排除选项D. 答案：C 2．已知函数f(x)＝loga(3x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列关系式正确的是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 解析：由题图可得a>1，则0<a－1<1.当x＝0时，y＝logab，结合题图可得－1<logab<0，即－1＝loga eq \f(1,a) <logab<loga1＝0， 又因为函数为单调递增函数，所以0<a－1<b<1.故选A. 答案：A 3．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a，b为常数)的图象如图所示，则函数g(x)＝bx2－4x在[0，5]上的最大值是(　　) A． eq \f(1,b4) B． eq \f(1,b5) C．b4 D．b5 解析：∵函数y＝loga(x＋b)(a，b为常数)的零点位于(0，1)上，故b∈(0，1)，当x∈[0，5]时，x2－4x在x＝2时取最小值－4，此时g(x)＝bx2－4x取最大值 eq \f(1,b4) ，故选A. 答案：A 4．作出函数y＝|lg (x－1)|的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间． 解：先画出函数y＝lg x的图象(如图①). 再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y＝lg (x－1)的图象(如图②). 最后把y＝lg (x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变)，即得出函数y＝|lg (x－1)|的图象(如图③).由图易知其定义域为(1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，单调递减区间为(1，2]，单调递增区间为(2，＋∞). 题型二　对数函数图象恒过定点问题 例4.(1)函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝loga eq \f(2x＋5,x＋3) ＋2 eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(a>0，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠1)) 的图象经过定点(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3)) 解析：由对数函数的图象与性质可得，y＝logax eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，a≠1)) 的图象必经过(1，0)，故令 eq \f(2x＋5,x＋3) ＝1，解得x＝－2，此时f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝loga eq \f(2x＋5,x＋3) ＋2＝loga1＋2＝2，所以f(x)的图象必经过 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2)) .故选B. 答案：B (2)函数y＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－3)) －5恒过定点__________________________． 解析：令x2－3＝1，得x＝－2或2，当x＝－2或2时，y＝loga1－5＝－5.因此，函数y＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2)) ＋2的图象过定点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－5)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－5)) . 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－5)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－5)) [总结] 　对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0).利用整体代换法，在对数型函数y＝logaf(x)＋b(a>0且a≠1)中令f(x)＝1，即可求得对数型函数的图象所过的定点．(注：令对数型函数的真数为1，切记loga1＝0) 【练一练】 5．若f(x)＝1＋loga(x2－2x－2)(a>0且a≠1)的图象过定点M，则M点的坐标是(　　) A．( eq \f(1＋\r(3),2) ，1)和( eq \f(1－\r(3),2) ，1) B．( eq \f(1＋\r(3),2) ，2)和( eq \f(1－\r(3),2) ，2) C．(－1，0)和(3，0) D．(－1，1)和(3，1) 解析：由题设，当x2－2x－2＝1时，f(x)＝1＋loga1＝1，此时x＝3或x＝－1，∴定点M为(－1，1)和(3，1). 答案：D 6．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ax－3＋loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2)) ＋1(a>0，a≠1)，则它的图象过定点(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3)) 解析：由题意，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ax－3＋loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2)) ＋1(a>0且a≠1)，令x＝3，可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)) ＝a3－3＋loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2)) ＋1＝1＋0＋1＝2，所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的图象恒过定点(3，2).故选C. 答案：C $