精品解析：云南省昭通一中教研联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（A卷）

昭通一中教研联盟2025年秋季学期高一年级期中考试 数学（A卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下集合表示“函数的图象”，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 定义运算，则函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知函数的定义域为，，是偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知指数函数过点，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 方程的解仅为0 D. 方程恰有两个解，则的取值范围为 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若正实数满足，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为-2 D. 函数的最大值为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 请写出一个值，使命题“，使”为真命题，则__________. 13. 若幂函数为偶函数，则__________. 14. 设满足满足，则__________. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）已知，求的值. 16. 已知函数且. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若且，判断函数在内的单调性并用定义证明. 17. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 18. 俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 19. 已知函数和具有如下性质：①定义域都为；②是偶函数，是奇函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求函数和的解析式； （2）解不等式：； （3）若函数的图象在区间上有零点，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2025年秋季学期高一年级期中考试 数学（A卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下集合表示“函数的图象”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由所求集合是由函数的图象上的点组成的集合可得. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合，即集合的元素为点的坐标， 所以“函数的图象”的集合表示. 故选:D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由推出关系判断结论间的充分、必要性即可． 【详解】当时，得；当时，得，所以“”是“”的充要条件， 故选：C． 3. 定义运算，则函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知定义，写出的分段函数形式，再画出其大致图象，即可得. 【详解】当，则， 当，则或， 由题设，其大致图象如下， 故选：B 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，，解得，验证为奇函数. 【详解】因为函数为奇函数，且，所以. 验证当时，，，满足题意， 故选：B 5. 已知函数的定义域为，，是偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到函数的对称轴，从而得到的值和函数在上的单调性，由函数单调性判断各选项. 【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与0的大小关系不确定，D错， 故选：B. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】.因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 8. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断ABD；利用赋值法可判断C. 【详解】A选项：，又，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； 对于C，若，当，则，故C不正确； 对于D，若，则，则，即，故D正确. 故选：AD. 10. 已知指数函数过点，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 方程的解仅为0 D. 方程恰有两个解，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】待定系数法求解析式判断A；求解的解析式利用指数函数单调性判断B；分类讨论解方程判断C；讨论的单调性及值域范围即可判断D. 【详解】由题意设，因为过点，解得，故A正确； 当时，，所以在上单调递增，故B正确； 当时，所以，解得， 当时，，不符合题意，所以方程的解仅为0，故C正确； 当时，可得单调递增，故，所以， 当时，由B知，因为，，所以， 综上，方程恰有两个解，则的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若正实数满足，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为-2 D. 函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“1”的巧用结合基本不等式可判断A；利用基本不等式结合指数幂的性质判断B；根据对数的运算性质以及基本不等式可判断C；根据基本不等式可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故A正确； 对于B，因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故D正确， 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 请写出一个值，使命题“，使”为真命题，则__________. 【答案】8（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据命题为真命题求得的取值范围为，进而根据范围取值即可. 【详解】因为命题“，使”为真命题， 所以，恒成立，即， 因为函数， 所以命题“，使”为真命题时的取值范围为 所以的值为中的任意值，故取即可. 故答案为：8（答案不唯一）. 13. 若幂函数为偶函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值. 【详解】因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 14. 设满足满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意转化为和是方程的根，即可求解. 【详解】， 所以是的根，也是方程的根， 函数是增函数，所以，则. 故答案为：1. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质求解，即可得答案； （2）将两边平方，即可求出，再利用求出的值，即可求得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，则，即， ， 又，则，故， 故. 16. 已知函数且. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若且，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【答案】（1） （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数. （3） 由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 即，故函数在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义，真数大于0，求解即得. （2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与的之间的关系，求解即可. （3）由函数单调性的定义求解即可. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 【答案】（1） （2）0.6元/kw•h 【解析】 【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【小问1详解】 设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 【小问2详解】 依题意有， 整理得， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 18. 俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 【答案】（1）8 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而结合二次函数的性质求最值即可得答案； （2）令，进而根据函数单调性与函数值的符号得到，再根据“偏差”函数的概念解即可. 【小问1详解】 解：， 因为，， 所以，即， 所以函数与的“偏差”为8. 【小问2详解】 解：令， ∵，均为上的单调递减函数， ∴是上的单调减函数， 令得，， 又，， 所以 所以，即的“偏差”为， 因为的“偏差”为， 所以，解得 所以，当的“偏差”为，. 19. 已知函数和具有如下性质：①定义域都为；②是偶函数，是奇函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求函数和的解析式； （2）解不等式：； （3）若函数的图象在区间上有零点，求实数的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性，利用方程组法可得函数解析式； （2）结合函数的奇偶性与单调性可解不等式； （3）化简函数解析式，分离参数可得，设，结合函数值域及基本不等式可得参数范围. 【小问1详解】 函数为上的偶函数，为上的奇函数，且， ， 即， 解得，； 【小问2详解】 因为是奇函数. 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 由可得，解得， 即所求不等式的解集为； 【小问3详解】 因为函数在上有零点， 即在上有根， 所以在上有根， 令，易知其在上单调递增，且， ， 因为，当且仅当时等号成立，即， ，即实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $