第3章勾股定理期末复习训练题2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理 期末复习训练题 一、单选题 1．下列为勾股数的是（　　） A．，， B．5，12，13 C．，， D．0.9，1.2，1.5 2．以下列数组为边长中，能构成直角三角形的（    ） A．1，1， B．，， C． D．，， 3．如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图形如图2所示，已知在中，，过点作于点，若米，米，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（  ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是5，小正方形的面积是36，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．146 C．169 D．196 7．如图，，P是上异于B、C的一点，则的值是（   ） A．20 B．25 C．24 D．16 8．如图，A，B为方格纸（每个小正方形边长为1）中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得为等腰三角形，图中不符合要求的点是（   ） A． B． C． D． 9．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点处有一只小虫，要吃到点处的食物，需要爬行的最短路径的长是（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 10．如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 12．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 13．如图，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 14．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是 ．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 15．如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下四个结论：①；②若，则面积最小是2；③；④．上述结论中正确的有 ． 三、解答题 16．如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 17．如图是的正方形网格，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)以点为顶点作出的一个余角； (2)将绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在的延长线上，作出点． 18．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 19．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 20．在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点F落在线段上时，求证：； (2)如图2，当点F落在线段上时，且，，当时，求线段的长； (3)如图3，当点F落在的延长线上，且时，连接，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章 勾股定理 期末复习训练题2025-2026学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A C B D D D C 1．B 【分析】本题主要考查了勾股数， 勾股数是三个正整数，且满足勾股定理 ，选项A、C、D均非正整数，只有选项B满足条件． 【详解】解： 选项A：为分数，非正整数； 选项C： 为无理数，非正整数； 选项D：0.9, 1.2, 1.5 为小数，非正整数； 选项B：5, 12, 13 为正整数，且． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解： A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 3．B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；根据题意证明得出，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴ 在中， ∴， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用勾股定理求出米，可知米，从而可知米． 【详解】解：， ， ， ， 米， 米， 米， 在中，米， 米， 米． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的高也是等腰三角形的中线是解题的关键．根据等腰三角形底边上的高也是中线，将底边平分，形成两个全等的直角三角形，应用勾股定理即可计算腰长． 【详解】解：等腰三角形底边上的高也是中线， 底边的一半为， 又高为， 腰长． 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查勾股定理；先求出小正方形的边长，再求出直角三角形的长直角边，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵小正方形的面积是36， ∴小正方形的边长为， ∵直角三角形的短直角边是5， ∴直角三角形的长直角边是， ∴大正方形的面积为， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了“等腰三角形的性质”“勾股定理”，通过设而不求思想，通过等腰三角形的性质和勾股定理，设出参数，分别表示，，是解题关键． 过点A作的垂线，设，，通过勾股定理用含m和n的式子表示，再计算消参即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D， ∵， ∴， 设，则， ∴， 设，则，， ∴， ∴． 故选： D． 8．D 【分析】分别判断每个三角形中是否有两条边相等即可得解．本题考查了勾股定理和等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：中，， ∴是等腰三角形； 中，， ∴是等腰三角形； 中，， ∴是等腰三角形； 中，，，， ∵， ∴不是等腰三角形． ∴图中不符合要求的点是． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由，，得，因为直角的顶点是的中点，所以，，可证明，则，，所以是等腰直角三角形，可判断①、③正确；由，可推导出，可判断④正确；由，得，因为，所以，则，所以，可判断②错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 直角的顶点是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 故①、③正确； ，且， ， 故④正确； ， ， 点不与，重合 ， ， ，， ， ， 故②错误， 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 11．13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴．先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点A表示，可得点C表示的实数． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点A表示的数为，点C在点A的右侧， 点C表示的数为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键． 设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，在中，利用勾股定理表示出，从而得解． 【详解】解：设，则， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 15．①②③ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰直角三角形的中点性质证明三角形全等，进而分析各结论的正确性； 先由等腰直角三角形性质得且，证推导①；通过等腰直角三角形面积公式分析②；将四边形面积转化为三角形面积推导③；分析与的数量关系判断④． 【详解】解：∵，，是BC中点， ∴，，， ∵， ∴，即 ①在和中， ∵，，， ∴， ∴，①正确． ②若，则，由得，是等腰直角三角形，，当时最小为， ∴最小，②正确． ③， ∵， ∴，③正确． ④是等腰直角三角形，，，变化时，④错误． 故答案为：①②③． 16．(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 17．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了旋转，网格与勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转性质，网格与勾股定理即可求解； （）根据旋转性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：由网格可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：如图，点即为所求， 理由，由网格可知，，， ∴点即为所求． 18．(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 19．(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 20．(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理； （1）连接，由旋转的性质知，，，再证明，即可得到 （2）连接，由勾股定理求出，由旋转可得：，，得到，，再证明，得到，最后根据求解即可； （3）由和旋转可得，，，再证明 即可得到． 【详解】（1）解：连接， 由旋转的性质知，，， 在与， ， ； （2）解：如图，连接， ，，， ， 由旋转可得：，， ，， ， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， （3）解：， 理由：∵， ，，， 由旋转可得：， ，， ，， ， ， ， 在与中， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $