精品解析：广东省佛山市华英学校2025-2026学年九年级上学期第2次月考数学试题

佛山市华英学校2025-2026学年第二阶段学习反馈 九年级数学 说明：1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下列函数中是反比例函数的是（　　　） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象开口方向是（　　） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 4. 如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知为锐角，，则的度数是______． 12. 若一个山坡的坡度为，则在水平方向上每前进米，就升高_____米． 13. 反比例函数在第一象限内的图象如图，点是图象上一点，垂直轴于点，如果的面积为4，那么的值是__________． 14. 如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为_______． 15. 如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 三、解答题（一）（本大题4小题，16、17题各6分，18、19题各7分，共26分） 16. 已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 17. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）的值是_____； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 18. 年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个元，此时每天可售出个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 19. 一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为后火箭到达处，此时测得仰角为．求火箭从处到处的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 四、解答题（二）（本大题4小题，20、21题各9分，22题12分，23题14分，共44分） 20. 【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形）． （1）如图1，在边长为的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为_____． （2）观察发现：如图2，不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到格点处，并且恰好在中．可以方便求出的值为； 方法迁移：如图3，在边长为的正方形网格中，与相交于点，则的值为_____． （3）如图4，在边长为的正方形网格中，与相交于点，求的值． （4）如图5，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 21. 【综合与实践】怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小斌发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小斌的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小斌在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）小斌初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由： （2）再次投篮时，小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小斌此次_____命中篮筐（填写：“能”或“不能”）？若能请说明理由；若不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 22. 【定义初窥】已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”的函数表达式为_____． （2）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，当时，求点的坐标． 【解构探微】 （3）点在函数的图象上，其横坐标为，点“关于的升幂点”为点，点在的“升幂函数”的图象上，其横坐标为． ①当点，点所在直线与轴平行时，求的值（用含有的代数式表示）； ②函数的对称轴为直线，它的图象上有两点，，若对于且，都有，直接写出的取值范围为_____． 23. 如图1，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接，沿着将矩形折叠使、两点重合，连接对角线． （1）点坐标是______（用含有的代数式表示）； （2）如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； （3）若折叠后，是等腰三角形，求此时反比例函数的值； （4）连接，直接写出的最小值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市华英学校2025-2026学年第二阶段学习反馈 九年级数学 说明：1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键．构选含有角的直角三角形，然后利用正切的定义解答即可． 【详解】解：如图，作，使，， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下列函数中是反比例函数的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数定义进行判定即可． 【详解】解：、＝是一次函数，故不正确； 、是反比例函数，故正确； 、是二次函数，不是反比例函数，故不正确； 、是一次函数，故不正确； 故应选：B 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解答关键是根据定义进行判定． 3. 二次函数的图象开口方向是（　　） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数开口方向由二次项系数的符号决定是解答本题的关键，二次项系数，开口向上；，开口向下． 根据题意分析，二次函数的二次项系数为，所以判断图象开口方向向上，进而选出答案． 【详解】解：已知二次函数， 二次项系数， 图象开口向上． 故答案为． 4. 如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数解析式的求法，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式，是做题的关键．将已知点的坐标代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 反比例函数 () 的图象经过点， ∴ 当时，， 代入函数解析式得，， ∴ ． 故选：D． 5. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，识别顶点式中的h和k是解题关键． 对比顶点式，可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴ 顶点坐标为 ． 故选 C． 7. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：D． 8. 已知，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象和性质是解题的关键．根据，，，都在反比例函数的图象上，将点的坐标分别代入函数解析式即可比较大小． 【详解】解：∵，，，都在反比例函数的图象上， ∴将点的坐标分别代入得， ，，． ， ． 故选：A． 9. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，理解正弦与余弦的含义是关键；由题意得，由，设，则由勾股定理得，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设（其中x为正数）， 则由勾股定理得， ∴， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，两点间的距离公式，一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是掌握以上知识点．根据题意，先求出点和点的坐标，进一步得，再根据两点间的距离公式求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求值． 【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则； 令，则， 即，， ． ， ． 设点，（） ． 解得，或（不符合题意，舍去）， ， 即点， 将点代入得， ． 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知为锐角，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵为锐角，，， ∴ 故答案为：． 12. 若一个山坡的坡度为，则在水平方向上每前进米，就升高_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是坡度的定义，掌握坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度比为，得比例关系求解即可． 【详解】解：设升高高度为米， 则根据坡度比得，， 解得，． 故答案为：． 13. 反比例函数在第一象限内的图象如图，点是图象上一点，垂直轴于点，如果的面积为4，那么的值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=4，然后利用反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：∵△MOP的面积为4， ∴|k|=4， ∴|k|=8， ∵反比例函数图象的一支在第一象限， ∴k＞0， ∴k=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质． 14. 如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识．先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：点的坐标为， 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点， 关于的不等式 的解集为或， 故答案为：或． 15. 如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是从图中获取信息． 连接，过点D作于点G；当点P在线段上运动时，在中，，则，函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；当点P在线段上运动时，S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大；由此得，，由勾股定理求得，再证明，即可求解， 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， 当点P在线段上运动时， 在中，，则， ∴函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大； 当点P在线段上运动时，的长度是先减小，到与点G重合时，达到最小，再增大，与点A重合时达到最大，而， ∴S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大， ∴结合图象知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（一）（本大题4小题，16、17题各6分，18、19题各7分，共26分） 16. 已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】（1）；（2）用电器可变电阻至少. 【解析】 【分析】（1）反比例函数经过点（10，4），代入反比例函数式，即可求得函数解析式． （2）I≤8时，根据反比例函数的单调递减性质，求电阻R的范围． 【详解】（1）设反比例函数表达式为, 将代入得，, ∴反比例函数表达式为； （2）对于，当时，, 由图像可知，随着的增大而减小， ∴当时，， 答：用电器可变电阻至少． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用问题，掌握反比例函数的单调性质是解答本题的关键． 17. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）的值是_____； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数的图象等知识，掌握二次函数的图象与性质、数形结合是解题的关键． （1）把，代入二次函数解析式即可求解； （2）描点、连线即可； （3）求出当时的函数值，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入中，得； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知 当时，，由表知，当时，， 又当时，函数取得最小值， ∴当时，由图象知． 18. 年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个元，此时每天可售出个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键． 先设每个降价元，每天的利润为元，则依题意可得，，再根据自变量的取值范围求最大值即可． 【详解】解：设每个降价元，每天的利润为元， 则依题意可得， ． 且， ． ， 当时，． 答：每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元． 19. 一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为后火箭到达处，此时测得仰角为．求火箭从处到处的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用—俯角、仰角问题，理解题意，掌握三角函数的相关概念是关键．在中，由正弦函数关系可求得的长，再由余弦函数关系求出；在中，由正切函数关系求出，再由求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 火箭从处到处的平均速度为， 答：火箭从处到处的平均速度为． 四、解答题（二）（本大题4小题，20、21题各9分，22题12分，23题14分，共44分） 20. 【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形）． （1）如图1，在边长为的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为_____． （2）观察发现：如图2，不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到格点处，并且恰好在中．可以方便求出的值为； 方法迁移：如图3，在边长为的正方形网格中，与相交于点，则的值为_____． （3）如图4，在边长为的正方形网格中，与相交于点，求的值． （4）如图5，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，平行线的性质，勾股定理与网格问题，菱形的性质，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟记三角函数定义． （1）过点作垂直于的延长线于点，构造直角三角形即可求值； （2）利用平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可求值； （3）先取格点，连接，，过点作于点，构造直角三角形，再利用平行线的性质即可求值； （4）先过点作交延长线于点，构造直角三角形，再利用平行线的性质，勾股定理和菱形的性质即可求值． 【小问1详解】 解：如图1，过点作垂直于的延长线于点， 由图可知：，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图2中，取格点，连接，． ， ． 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图3中，取格点，连接，，过点作于点， ， ． ． ，， ， ， ， 的值为． 【小问4详解】 如图5中，由题意得，， ． ，， ． 过点作交延长线于点， ，， ， ． ， ． ， ． 的值为． 故答案为：． 21. 【综合与实践】怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小斌发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小斌的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小斌在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）小斌初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由： （2）再次投篮时，小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小斌此次_____命中篮筐（填写：“能”或“不能”）？若能请说明理由；若不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） 解：由题意得：小斌初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小斌初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）不能； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求得二次函数解析式是解题的关键； （1）由题意得抛物线的顶点坐标为：，由此设解析式为顶点式，把点代入即可求得函数解析式，求出当时，的值，判断是否满足即可； （2）小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，得抛物线的解析式为：，当时，求出的值，判断不满足则不命中；设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为，当时，，根据列出不等式，求得m的取值范围，根据出手点的坐标为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 22. 【定义初窥】已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”的函数表达式为_____． （2）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，当时，求点的坐标． 【解构探微】 （3）点在函数的图象上，其横坐标为，点“关于的升幂点”为点，点在的“升幂函数”的图象上，其横坐标为． ①当点，点所在直线与轴平行时，求的值（用含有的代数式表示）； ②函数的对称轴为直线，它的图象上有两点，，若对于且，都有，直接写出的取值范围为_____． 【答案】（1）；（2）坐标为或；（3）①，②或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，新概念，理解新概念，掌握二次函数的图象与性质是关键． （1）根据“升幂函数”的含义即可求解； （2）设，根据条件得到关于t的方程，解方程即可； （3）①由题意得的“升幂函数”，根据点，点所在直线与轴平行得m、n的关系式，即可求解； ②由且，可确定的范围，确定与x轴的右边交点为，由题意可求得t的范围；当时也满足条件． 【详解】解：（1）由题意得，； 故答案为：； （2），设， 轴， 当时，， 即或， 解得， 点坐标为或． （3）①， ， 即； 点，点所在直线与轴平行， ， 解得； ②， ， ， ， ， ，对称轴为直线， ∴抛物线过原点，抛物线与x轴的另一个交点为， 当，即时，点和点都在轴的下方， ， ， 当时，则点都在轴的上方，， 或． 23. 如图1，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接，沿着将矩形折叠使、两点重合，连接对角线． （1）点坐标是______（用含有的代数式表示）； （2）如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； （3）若折叠后，是等腰三角形，求此时反比例函数的值； （4）连接，直接写出的最小值为_____． 【答案】（1） （2）2 （3）或． （4） 【解析】 【分析】（1）由点A的坐标及点在反比例函数上，可求得点E的横坐标，从而求得点E的坐标； （2）由题意得点F的坐标，进而可证明，从而可得，由平行线的性质及折叠的性质得，即可得； （3）分三种情况：；；；利用三角函数及折叠的知识即可求解； （4）确定点D在与的夹角等于的射线上运动，当时最小，利用正弦函数关系即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，且， ， ∵矩形中轴， ∴点E的纵坐标为3， 点在反比例函数上， ∴， ∴， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ∵点在上， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于N， ①当时，如图3， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ； ； ③当时，， ， ，即， ， 此时、、三点共线且点与点重合，不符合题意舍去， ， 综上所述，所求值为或． 【小问4详解】 解：的最小值．理由如下： 连接，如图， 由（2）知， 由折叠知， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点D在射线上运动， 根据垂线段最短，得当时，最小，故， 又， 故， 故的最小值． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $