精品解析：广东省广州市黄埔区玉岩实验学校2025-2026学年 九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学 本试卷共6页，25小题．满分120分．考试用时120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意要求，请将所选取的答案代号填入答题卡中相应的答题栏内） 1. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称中心是解答的关键．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3. 不解方程，判断方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上说法都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可．本题主要考查了根的判别式，熟练掌握“当时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 4. 点在抛物线上，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为轴， ∵点在抛物线上， ∵，离对称轴越远，函数值越大， ∴ 故选：A． 5. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移5个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移5个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移5个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移5个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2， 抛物线y=（x+2）2，再向下平移5个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-5． 故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移5个单位． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 6. 由二次函数可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为2 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据判断开口，根据解析式得出顶点坐标，进而得出对称轴为直线，最小值为，根据开口方向和对称轴判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线 A. 其图象的开口向上，故该选项不正确，不符合题意； B. 其图象的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意； C. 其最小值为，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时，y随x的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在△ABC中，∠BAC = 45°，∠C = 15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0° < α < 180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（ ） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得∠E=∠C，再由平行线的性质可得∠EAB=∠E，从而可得α=∠EAB+∠BAC，求得α的值． 【详解】由旋转的性质可得∠E=∠C=15°，∠EAC=α ∵DE∥AB ∴∠EAB=∠E=15° ∴α=∠EAB+∠BAC=15°+45°=60° 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握这两个性质是解题的关键． 8. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. C. 2023 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选C． 9. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果． 【详解】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步， ∴x(60-x)=864， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为，通过证得，得出，求出得到点的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点的坐标为． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ，，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， 点的坐标为， 如图，过，作y轴和x轴的垂线，垂足分别为D，E， 每次旋转， ，，即， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得：第2次旋转后点C的坐标为， 第3次旋转后点C的坐标为， 每旋转4次为一个循环． ， 第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查图形的规律，图形的旋转，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的思想解题是关键． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意把代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：把代入，可得， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解（根）的意义，以及解一元一次方程，注意掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 13. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 14. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 15. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的下方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，抛物线的顶点和抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是直线，有下列四个结论：①；②已知抛物线与轴一个交点的横坐标的取值范围是，则抛物线与轴另一个交点的横坐标的取值范围是；③；④当时，．其中正确的结论是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质，采用数形结合的思想，是解此题的关键． 根据抛物线的开口方向、与轴的交点以及对称轴即可得到，，，即可判断①；根据二次函数与轴的交点及对称轴即可判断②；根据一次函数求出与轴的交点为代入抛物线得出，求出抛物线的顶点坐标，代入一次函数即可判断③；由图象得出当时，，即，由此即可判断④；得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故①错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ，即，故②正确，符合题意； 在中，当时，， 一次函数与轴的交点为， 将代入得：， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 在中，当时，， 抛物线的顶点为， 将代入一次函数得：， ，故③正确，符合题意； 由图象可得：当时，，即， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有③④， 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 【答案】y＝﹣（x+2）2+2． 【解析】 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可． 【详解】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2， 把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1， 解得a＝﹣， 所以这个函数的关系式为y＝﹣（x+2）2+2． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式. 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点P即为所求，点P的坐标． ． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据旋转的性质得出 ，求出，证即可； （2）求出，进而求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值．原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）25元 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式； （2）根据每周的利润＝每本的利润×每周的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（22，36），（24，32）代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． 故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． （2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 整理，得：x2﹣60x+875＝0， 解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）． 答：每本纪念册的销售单价是25元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式及利用利润＝每本的利润×每周的销售数量列一元二次方程． 23. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. （1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. （2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1） （2）这辆货车能安全通过 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【小问1详解】 解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； 【小问2详解】 根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 24. 【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． （1）【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； （2）【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． （3）【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】（1） 解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点、与轴交于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求、、的值； （3）在（2）条件下，函数≥的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为、．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， ， （3）①当时，图象所表示的函数的最大值为；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，过点作轴于点，交于点，由点和点的坐标得出直线的解析式，用表示出点、点和点的坐标，再表示出，然后根据四边形的面积，写出关于的函数关系式，最后与比较系数即可得出答案； （3）①由（）条件下的、、的值，写出和的函数关系式，根据二次函数的性质分别得出相应的最大值和最小值，则可得图象所表示的函数的最大值； ②求得两个特殊点时，的值即可判断． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴于点，交于点， ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为，， 又∵点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交于点，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为， ∴，，， ∴，， ， ∴， 又∵四边形的面积，， ∴， 又∵与之间的函数关系式为， ∴，，； 【小问3详解】 解：①由知，，， ∴的解析式为；的解析式为； ∴的对称轴为，的对称轴为， ∵，中，中， ∴当或3时，取最小值为，当时，取最大值为； 当时，取最大值为，当时，取最小值为； ∵图象、合起来得到的图象记为， ∴当时，图象所表示的函数的最大值为； ②∵线段的两个端点坐标分别为、， ∴且轴， ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； 综上所述，当图象能够与线段有两个公共点时，的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质对称轴、最值等、图形面积计算以及函数图象交点问题．熟练掌握二次函数的相关性质和待定系数法，灵活运用图形面积的转化与函数交点的分析方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学 本试卷共6页，25小题．满分120分．考试用时120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意要求，请将所选取的答案代号填入答题卡中相应的答题栏内） 1. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 不解方程，判断方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上说法都不正确 4. 点在抛物线上，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移5个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移5个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移5个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移5个单位 6. 由二次函数可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为2 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 如图，在△ABC中，∠BAC = 45°，∠C = 15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0° < α < 180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（ ） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 8. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. C. 2023 D. 2027 9. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 13. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 14. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 15. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是________． 16. 如图，抛物线的顶点和抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是直线，有下列四个结论：①；②已知抛物线与轴一个交点的横坐标的取值范围是，则抛物线与轴另一个交点的横坐标的取值范围是；③；④当时，．其中正确的结论是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 18. 设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值．原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 23. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. （1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. （2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 24. 【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． （1）【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； （2）【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． （3）【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点、与轴交于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求、、的值； （3）在（2）条件下，函数≥的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为、．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $