2025—2026学年人教版九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷（培优卷）

人教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷（培优卷）考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分 1．下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 3．下面事件中确定事件是(    ) A．今天下午刮风，则明天下雨 B．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等 C．两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数 D．抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6 4．在一个不透明袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 第6题图 7．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　） A．2 B．8 C．2 D．2 8．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（  ） A． B． C． D． 10．二次函数（b，c，为常数），若，记，则（  ） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标为，则 ． 12．若是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为 ． 13．已知关于的方程的一个根是2，则该方程的另一个根是 ． 14．如图，在边长为2的正方形中，点E是线段上异于A，C的动点，将线段绕着点B顺时针旋转得到，连接，则的最大面积为 ． 15．若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为 ． 16．已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为 ． 第II卷 人教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷（培优卷）姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________ 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题 11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______ 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知抛物线的顶点坐标为． (1)求的值，并写出抛物线的解析式； (2)已知点在该抛物线上，将点向右平移6个单位长度后得到点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标． 19．年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分； (2)请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； (3)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 20．已知等腰三角形，，． (1)若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值． (2)若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长． (3)若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标． 21．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； 22．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 23．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）． （1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 24．已知关于的函数． (1)当，时， ①求当时，该函数的最小值； ②当时，有最小值为，求当时，的最大值． (2)当时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求的值； (3)当，且时，若该函数图象与轴有两个不同交点，试说明该图象与直线始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围． 25．已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的右边），交y轴于点C． (1)若． ①直接写出抛物线的解析式： ； ②如图1，连接，过抛物线第四象限上的点M作交y轴于N，若平分线段，求点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，点P在点B左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线的解析式为，当C为的中点时，试证明k为一个定值，并求出这个定值． 参考答案 一、选择题 1—10:BCDAB BDCBB 二、填空题 11． 12． 13．-7 14．1 15．±6 16．或 三、解答题 17．【解】（1）解： 解得：，； （2）解 或 解得：，． 18．【解】（1）解：将代入中得：， ， 的值为10，抛物线的解析式为； （2）解：将点向右平移6个单位长度得到点， 点、之间的距离为6， 点与点关于对称轴直线对称， ∴， ， 将代入中得：． 点的坐标为． 19．【解】解：（1）由直方图可知在组人数：人； ∵， ∴中位数为：； （2）（人）； ∴估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 20．【解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两根， ， ， ； （2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根， 另两边的长之和， 周长； （3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等， ， ， ， 顶点坐标为； ②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6， 当时，可得， ， ， 顶点坐标为； 综上所述：顶点坐标为或． 21．【解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：由（）可得，抛物线，一次函数， 由，解得或， ∴， 由函数图象可知，当时，， ∴不等式的解集为． 22．【解】（1）证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 23．【解】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000， ∴x≤10， ∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000， 当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000， 综上所述：W＝； （2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝， ∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元， 当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28， ∴当x＝28时，W有最大值为46400元， ∵46400＞18000， ∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元． 24．【解】（1）解：①当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当，该函数的值最小，为； ②∵， ∴当时，有最小值为， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴当时，的最大值为； （2）解：当时，， ∵当时，该函数图象与坐标轴有两个交点， ∴当时， 解得：或， 当时，，与坐标轴只有一个交点，不符合题意； 当时，，符合题意； 当且过原点时， 将代入得：， ∴， ∴此时函数解析式为，符合题意； 综上所述，或； （3）解：当时，， ∵该函数图象与轴有两个不同交点， ∴， ∵， ∴， ∴； 联立可得：， ∴， ∴该图象与直线始终有两个交点， 设两个交点为，， 由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ∴ ， ∵， ∴． 25．【解】（1）解：①将代入 ， 解得：， ∴抛物线解析式为； ②过点作轴交于点， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 设， ∵， ∴， 设直线， 代入点，得， 解得：， ∴直线， 当， ∴， ∴， ∵平分线段， ∴， ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求直线， ∵轴， ， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴； （2）解：联立直线和抛物线表达式，则， 则， ∴， ∴， ∴直线， 同理可得直线， 直线， 对于直线，当，， ∴， 同理， ∵为中点， ∴， ∴， 又∵由题意可知， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $