第6章 反比例函数 单元培优检测题 2025-2026学年北师大版 数学九年级上册

《反比例函数》单元培优检测题 满分：100分；考试时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列关系式中，能表示a和b成反比例的是（a，b均不为0）（　　） A．a﹣b＝5 B．a+b＝5 C．ab＝5 D．a3＝5b 2．若是反比例函数图象上一点，那么下列各点不在其图象上的是（　　） A．（﹣1，1） B． C．（1，﹣1） D． 3．下列各对相关联的量中，一定成反比例关系的是（　　） A．北京奥运会冬奥会某赛场计划每天造雪5000立方米，造雪天数和总造雪量 B．计划用500元购买两种奖品，优秀奖奖品花费的金额与参与奖奖品花费的金额 C．圆柱的体积为6m3，圆柱的底面面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 4．已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数y的图象在（　　） A．一、二象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限 5．在反比例函数的图象上，当x＜0时，y随x的减小而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1 6．若点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 7．如图，已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（0，2），B（2，0），∠ABC＝90°．函数y（x＞0）的图象经过点C，则S△ABC＝（　　） A．4 B．3 C． D．2 8．调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数图象，该图象经过点P（880，0.25），下列说法中错误的是（　　） A． B．当I＜0.25时，R＜880 C．当R＝1000时，I＝0.22 D．当880＜R＜1000时，0.22＜I＜0.25 9．某市举行中学生梦想杯才艺大赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校成绩的优秀率y与该校参赛人数x的情况，乙、丁两校对应的点在同一双曲线上，则四所中学优秀人数最多的是（　　） A．甲校 B．乙校 C．丙校 D．丁校 10．双曲线C₁：和C₂：的图象如图所示，点A是C₁上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与C₂交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（　　） A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5 二．填空题（每题3分，共15分） 11．对于反比例函数，当x＞﹣2时，y的取值范围是　 　 ． 12．若点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ．（用“＜”号连接） 13．如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝　 　 ． 14．如图，菱形OABC与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，∠C＝60°，边BC交x轴于点D，则　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为 　 　 ． 三．解答题（共5小题，共55分） 16．如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（a，1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值． 17．如图，已知反比例函数与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A、点D，且点A的横坐标为2，点D的纵坐标为﹣2，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点C，求∠ACO的度数． （3）结合图象直接写出，当y1＞y2时，x的取值范围． 18．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 19．直线与双曲线交于点A（2，3），与y轴交于点B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点C是直线上第一象限内的一点，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当时，求的值； （3）如图2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，当∠AOP＝∠BAO时，求点P的坐标． 20．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点A，B，C的相伴矩形，在点A，B，C所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳相伴矩形．例如，图1中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3都是点A，B，C的相伴矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳相伴矩形． （1）如图2，点A（﹣1，0），B（2，4），C（1，t）（t为整数）． ①如果t＝3，则点A，B，C的最佳相伴矩形的面积是　 　 ． ②如果点A，B，C的最佳相伴矩形的面积是18，请写出一个符合题意的t值　 　 ． （2）如图3，已知点E（m，n）在函数的图象上，且点D的坐标为（3，1），点F的坐标为（﹣1，0）， ①求点D，E，F的最佳相伴矩形的面积S关于m的函数表达式， ②当m＝　 　 时S的值最小，最小值等于　 　 ． 参考答案 一．选择 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D C A D B C D 二．填空题 11．y＞0或y＜﹣3． 12．y2＜y1＜y3． 13．9． 14．． 15．． 三．解答题 16．解：（1）由条件可得， ∴k＝4， ∴反比例函数的关系式为， 把B（a，1）代入，得， ∴a＝4， ∴B（4，1）， 把A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入一次函数y＝mx+n得： ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）当∠BAP＝90°时，由勾股定理可得： （4+2）2+（1+2）2+（﹣2﹣0）2+（﹣2﹣b）2＝（4﹣0）2+（1﹣b）2， 整理得﹣6b＝36， ∴b＝﹣6； 当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2， 即（4+2）2+（1+2）2+（4﹣0）2+（1﹣b）2＝（﹣2﹣0）2+（﹣2﹣b）2， 整理得，6b＝54， ∴b＝9； 综上，b的值为﹣6或9． 17．解（1）∵点A的横坐标为2， ∴OA＝2， ∵S△AOB＝4， ∴OA•OB＝4， ∴AB＝4， ∴A（2，4）， 把A点坐标代入y1中，得k＝8， ∴y， 把y＝﹣2代入y中，得x＝﹣4， ∴D（﹣4，﹣2）， 设直线AD解析式为y＝ax+b， 将A、D两点坐标代入，得， 解得， ∴一次函数为y＝x+2； （2）由直线y＝x+2可知，C（﹣2，0）， 则BC＝OB+OC＝4，AB＝4， 所以，在Rt△ABC中，tan∠ACO1， 故∠ACO＝45°； （3）由图象可知，当y1＞y2时，x＜﹣4或0＜x＜2． 18．解：（1）∵3×4.5＝5×2.7＝13.5， ∴y是x的反比例函数， ∴y（x≥3）； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下： 当x＝15时，y0.9＜1， ∵13.5＞0， ∴y随x的增大而减小， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 19．解：（1）将点A（2，3）代入yx+b，得：32+b， 解得：b＝2； 将点A（2，3）代入y，得：3， 解得：k＝6； （2）如图1，过点A、C分别作AF⊥y轴于F，CG⊥y轴于点G， 则AF∥CG， ∴△BAF∽△BCG， ∴， ∴CGAF＝3， ∴C（3，）， ∵CE⊥x轴， ∴D（3，2），E（3，0）， ∴CE，DE＝2， ∴； （3）当点P在OA的右侧时，如图2， ∵∠AOP＝∠BAO， ∴OP∥AB， ∵直线AB的解析式为yx+2， ∴直线OP的解析式为yx， 联立得：x， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， 当x＝2时，y， ∴点P的坐标为（2，）； 当点P在OA的左侧时，如图3，设OP与AB交于点Q， ∵∠AOP＝∠BAO， ∴AQ＝OQ， 设Q（m，m+2）， ∴AQ2＝OQ2， ∴（m﹣2）2+（m+2﹣3）2＝m2+（m+2）2， 解得：m， ∴Q（，）， 设直线OP的解析式为y＝tx，则t， 解得：t， ∴直线OP的解析式为yx， 联立得：x， 解得：x或x（舍去）， 当x时，y， ∴点P的坐标为（，）； 综上所述，点P的坐标为（2，）或（，）． 20．解：（1）①当t＝3时，点C（1，3），则点A，B，C的最佳相伴矩形如图所示： ∴点A，B，C的最佳相伴矩形的面积＝3×4＝12， 故答案为：12； ②当点C在x轴上方时，点A，B，C的最佳相伴矩形如图所示： 则3t＝18， 解得：t＝6； 当点C在x轴下方时，点A，B，C的最佳相伴矩形如图2.3， 则3（4﹣t）＝18， 解得：t＝﹣2； 综上所述，t的值为6或﹣2， 故答案为：6或﹣2； （2）当0＜m＜3时，点D，E，F的最佳相伴矩形，如图3.1， ∴S＝4n， ∵， ∴； 当3≤m≤6时，点D，E，F的最佳相伴矩形，如图3.2， ∴S＝[m﹣（﹣1）]n＝（m+1）n， ∵， ∴； 当m＞6时，点D，E，F的最佳相伴矩形，如图3.3， ∴S＝[m﹣（﹣1）]×1＝m+1， 即S＝m+1； 综上所述，当0＜m＜3时，；当3≤m≤6时，；当m＞6时，s＝m+1； ②当时，S随m的增大而减小， ∵0＜m＜3， ∴； 当时，S随m的增大而减小， ∵3≤m≤6， ∴当m＝6时，S取最小值，此时最小值； 当S＝m+1时，S随m的增大而增大， ∵m＞6， ∴S＞6+1＝7； 综上，当m＝6时S的值最小，最小值等于7， 故答案为：6；7． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/8 22:59:20；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $