第16章 整式的乘法 单元测试 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第16章 整式的乘法（单元测试）2025-2026学年人教版数学八年级上册 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 的值为（　　） A．4 B．2 C．-2 D．-4 3．记 ，则 （　　） A．一个偶数 B．一个质数 C．一个整数的平方 D．一个整数的立方 4．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 5．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（　　） A． B． C． D． 6．在边长为 的正方形中挖掉一个边长为 的小正方形（ ），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A． B． C． D． 7．若 则m(　　). A．是完全平方数，还是奇数 B．是完全平方数，还是偶数 C．不是完全平方数，但是奇数 D．不是完全平方数，但是偶数 8．小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目。有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推.通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：a，，3，a，； ②第二次操作后，当，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有18个整式； ④第2024次操作后，所有的整式的和为.下列结论正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 二、填空题 9．计算　 　． 10．若、满足，则　 　． 11．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积=　 　. 12．已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是　 　． 13．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 　 　． 14．已知多项式为被除式，除式为，商式为，余式为1，则这个多项式为　 　． 三、解答题 15．若与 为同类项，求的值． 16．先化简，再求值：，其中，． 17．在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． （1）求，的值； （2）计算的正确结果． 18．求代数式的值： (1)当时，分别求代数式和的值． (2)当，时，分别求代数式和的值． 19．小王同学在学习完全平方公式时，发现这四个代数式之间是有联系的，他在研究后提出了以下三个问题： 请帮他解决这三个问题. （1）已知，求ab的值. （2）已知求的值. （3）如图，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，正方形AEHG，EBKF和NKCM都在它的内部，且BK>KC.记AE=a(cm)，CM=b(cm)，若a2+b2=18cm2，求长方形PFQD的面积. 20． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”． 小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索： 小明的方法是一个一个找出来： 小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”． 问题： （1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是　 　 （2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”． 21． 书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去，封皮展开后如图所示，求： (1)小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含的代数式表示） (2)当封面和封底各折进去时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少？ 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A、，此选项原计算错误，不符合题意，A错误； B、，此选项原计算正确，符合题意，B正确； C、，此选项原计算错误，不符合题意，C错误； D、，此选项原计算错误，不符合题意，D错误； 故答案为：B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方．利用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，据此可判断A选项；根据幂的乘法法则：幂的乘方，两个指数相乘，据此可判断B选项；根据积的乘方法则：根据积的乘方，等于两个数乘方之积，可判断C选项；根据积的乘方法则：根据积的乘方，等于两个数乘方之积，可判断D选项； 2．【答案】A 【解析】【解答】∵ ∴ 即 ， ∴求得： ， ∴把 和 代入 得： 故答案为：A 【分析】根据 ，变形可得： ，因此可求出 ， ，把 和 代入 即可求解． 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是一个整数的平方； 故答案为：C. 【分析】本题利用平方差公式计算即可，关键在等式两边同时乘（3-1）。 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2； 拼成的长方形的面积：(a+b)(a-b)， ∴ ． 故答案为：A． 【分析】在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；因为拼成的长方形的长为a+b，宽为a-b，根据“长方形的面积=长×宽”可得：(a+b)(a-b)，因为面积相等，进而得出结论． 7．【答案】A 【解析】【解答】解： =20062+20062×20072+20072 =20062+20062×(2006+1)2+(2006+1)2 =20064+2×20063+3×20062+2×2006+1 =（20062+2006+1）2. 即m是完全平方数，还是奇数。 故答案为：A . 【分析】把原式变形为完全平方式，m=（20062+2006+1）2，即可得出m是完全平方数，还是奇数。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：第一次操作后的整式串为：a，3，a+3， 第二次操作后的整式串为a，3-a，3，a+3-3，a+3， 即a，3-a，3，a，a+3，故①的结论正确，符合题意； 第二次操作后整式的积为3a(3-a)a(a+3)=3a2(9-a2)， 因为0＜∣a∣＜3， 所以a2＜9，即9- a2＞0 所以3a2(9-a2)≥0， 即第二次操作后，当0＜∣a∣＜3时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意； 第三次操作后整式串为a，3-2a，3-a，a，3，a-3，a，3，a+3 第四次操作后整式串为a， 3-3a， 3-2a， a， 3-a， 2a-3， a， 3-a， 3， a-6， a-3， 3 ， a， 3-a， 3， a， a+3共17个，故③的说法错误，不符合题意； 第一次操作后所有整式的和为a+3+a+3=2a+6， 第二次操作后所有整式的和为a+3-a+3+a+a+3=2a+9， 第三次操作后所有整式的和为a+3-2a+3-a+a+3+a-3+a+3+a+3=2a+12， …………………………………..， 第n次操作后所有整式的积为2a+3(n+1)， ∴第2024次操作后，所有的整式的和为2a+3(2024+1)=2a+6075， 故④的说法正确，符合题意. 综上所述，正确的说法有①④. 故答案为：D． 【分析】根据题示的“整式串”生成操作，分别操作二次、四次后判断①、③的正确性；写出第二次操作后所有整式相乘的表达式后整理成3a2(9-a2)的形式，根据条件 判断出3a2(9-a2)≥0，因此得出积为非负数，而不仅仅是正数的结论从而判断②；先分别写出前三次“整式串”生成操作后，所有整式的和的表达式并观察规律，不难得到n次操作后的整式和的表达式，最后代入n=2024得出结果并判断④. 9．【答案】3 10．【答案】 【解析】【解答】解：， ， 故答案为：9． 【分析】根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得，然后整体代入计算即可求解． 11．【答案】12.5 【解析】【解答】解：由题可得： 即 故答案为：12.5. 【分析】根据长方形的周长为16，面积为15.75，得到结合图形用含a，b的式子表示S1，S2，S3，利用完全平方公式计算出的值，从而求解. 12．【答案】c＝1+a+b 【解析】【解答】解：∵100＝2×5×10， ∴2c＝2×2a×2b＝21+a+b， 则c＝1+a+b， 故答案为：c＝1+a+b． 【分析】欲找 a、b、c之间满足的等量关系 ，可先找等式右边的三个数5、10、100之间满足的等量关系：100=2×5×10，然后再把三个等式代入即可. 13．【答案】20a3b3 14．【答案】 【解析】【解答】根据题意可得：， ∴x3-2x2+ax-1=bx3-（b+1）x2+（2b+1）x-1， ∴b=1，a=2b+1， ∴b=1，a=3， ∴=， 故答案为：. 【分析】根据题意可得，再利用待定系数法可得b=1，a=2b+1，求出a的值，即可得到=，从而得解. 15．【答案】10 16． 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得一5b，最后把a=2，b=－1分别代入进行计算，即可作答。 [详解】解:[(2a-b)² - (2a+3b)(2a-3b) - 3ab]÷（-2b) =[4a²-4ab+b²-(4a²-9b²)-3ab]+（-2b) =(4a²-4ab+b²-4a²+9b²-3ab)÷（-2b) =（-7ab+10b²)÷（-2b) 17．【答案】（1），； （2）． [答案】(1)(a+b)²=25. a²+2ab+bβ²=25 (2)(a-b)²=25. α²-2ab+b²=25 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键。 (1）将a=一3,b=一2代入，分别求值即可； (2）将a=4，b=-1代入，分别求值即可； 【详解】 (1）解: 当a= 一3. b= - 2时, (a+b)²=（-3-2)²=（-5)²=25 a²+2ab+b² =（-3)²+2×（-3)×（-2)+（-2)² =9+12+4 =25 (2) 解:当a=4, b= -1时, (a-b)²=[4-（-1)]²=²=25, a²-2ab+b²=4²-2×4×(-1)+（-1)²=16+8+1=25, 19．【答案】（1）解：∵， 又∵， ∴ab值为：. （2）解：∵ ∴ ∴ ∴. （3）解：正方形EBKF的边长可以表示为，也可以表示为， ∴， ∴ 阴影部分面积为： ∵ ∴， ∴长方形PFQD的面积为7cm2. 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式即可得到：，进而把代入计算即可； （2）根据题意得到：即可得到：进而即可求解； （3）根据题意得到阴影部分面积为：然后根据正方形的边长得到：进而即可求解. 20．【答案】（1）12 （2）解：设k是自然数， 由于 ． 因为k是自然数， 所以k+1是正整数， ∴4a(a为正整数) 都是“智慧数”． 【解析】【解答】解：（1）根据小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是：. 故答案为：12； 【分析】（1） 仿照小明的办法，继续下去，即可得出结； （2）模仿小王的做法，将（k+2）2-k2用平方差公式展开即可得出结论. 21．【答案】(1)包书纸的长是(42+2x)cm，宽是(28+2x)cm (2)包书纸的面积是1395cm² 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，注意计算的准确性即可，正确读懂题意是解题关键。 （1）根据封皮的展开图长和宽列代数式即可得到答案； (2)将x=1.5cm代入计算即可求解. 【详解】(1）解：包书纸的长是2×20.5+1+2x=(42+2x)cm， 包书纸的宽是(28+2x)cm， 答：包书纸的长是（42+2x)cm，宽是（28+2x)cm; (2) 解: 当x =1.5cm时,(42+2x)(28+2x) =(42+3) ×(28+3)=45×31=1395(cm²), 答：包书纸的面积是1395cm². 学科网（北京）股份有限公司 $