精品解析：广东省深圳市海滨中学2025-2026学年上学期九年级数学月考卷

海滨中学九年级上数学 一、选择题 1. 在下列函数关系式中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3，4，5的小球，它们除数字不同外其他均相同，小华从两个盒子里各随机摸1个球，摸到的两个球上的数字之和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 下面几组相关联的量中，不成反比例关系的是（ ） A. 车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B. 社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数 C. 圆柱体的体积为， 圆柱的底面积与高 D. 计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 6. 已知反比例函数的图象上有两点、，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，AB＝1，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 已知，则的值为________． 10. 若函数是二次函数，则的值为_____ 11. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 12. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为10，则k的值是_______． 13. 如图，，，， ，，则________． 三、解答题（共7小题，共55分） 14. 计算： （1） （2） 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点； （2）在图1中作，交于点； （3）如图2，在边上找一点，使得； 16. 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （1）补充表格中的y值； x … … … ________ ________ ________ ________ … （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合图象，当时，y的取值范围为________． 17. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，，，求的面积． 18. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 销售量（件） （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 （填“一次函数”或“二次函数”），写出这个函数解析式为 ； （2）若物价局规定，该头盔售价不得超过元，不得低于进价，当售价为多少元时，利润达到元． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，出车库地面入口斜坡长． 素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头可以调整可识别角度，可识别角度的最大范围是，在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．(参考数据：) 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． 问题解决 任务一 确定斜坡坡比；如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 项目反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度，使汽车以最高限速行驶时，可以顺利通过闸口，请计算的取值范围． 20. 【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图，2，在矩形中，点是上一点，连接，过点A作的垂线交于点，垂足为点，若，，，求的长． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点是上一点，连接，作交于点，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，，作点关于的对称点，点为上一点，连接，过点作的垂线，交于，垂足为，若为中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海滨中学九年级上数学 一、选择题 1. 在下列函数关系式中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的概念依次判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故符合题意； B、是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的概念：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，熟记二次函数的概念是解答本题的关键． 2. 两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3，4，5的小球，它们除数字不同外其他均相同，小华从两个盒子里各随机摸1个球，摸到的两个球上的数字之和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图可知共有9种等可能的结果，甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：如图： 由树状图可知共有9种等可能的结果，其中甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种， ∴摸到球上的数字之和为奇数的概率为． 故选：C． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3. 如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 4. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 5. 下面几组相关联的量中，不成反比例关系的是（ ） A. 车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B. 社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数 C. 圆柱体的体积为， 圆柱的底面积与高 D. 计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式表示数量关系，掌握乘积是定值的两个相关联的量成反比例关系是解题关键．分别列代数式，根据成反比例关系的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、加工时间每天加工的零件个数，则加工时间与每天加工的零件个数的乘积是定值，成反比例关系，不符合题意； B、组数每组人数，则组数与每组人数的乘积是定值，成反比例关系，不符合题意； C、底面积高，则底面积与高的乘积是定值，成反比例关系，不符合题意； D、购买苹果的金额购买香蕉的金额，则购买苹果的金额与购买香蕉的金额的和是定值，不成反比例关系，符合题意， 故选：D． 6. 已知反比例函数的图象上有两点、，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质可得，解不等式即可解答． 【详解】解：∵当时，有， ∴， 解得． 故选：A 7. 图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，AB＝1，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解，求AB，BC，根据全等三角形的性质可得BD=AC，进一步可得结论． 【详解】解：如图， 在中，，AB＝1， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确识别直角三角形边角关系是解答本题的关键． 8. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题的关键．连接，根据题意易得和，设，则，根据，求出的长度，根据，求出的长度，进而求出的值即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， 、 设，则 解得 解得 故选：A． 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 10. 若函数是二次函数，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数，其中a，b，c为常数”，即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故答案为： 11. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 【答案】####4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为10，则k的值是_______． 【答案】－12 【解析】 【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，根据，设CE=4n，OE=3n，确定菱形的边长为5n，点C的坐标为(-3n，4n)，继而得到k=-12，根据△COD的面积为10，确定即可． 【详解】过点C作CE⊥x轴，垂足为E， ∵， 设CE=4n，OE=3n， ∴菱形的边长为OC==5n， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为(-3n，4n)， ∴k= -12， ∵△COD的面积为10，且， ∴， 解得=1， ∴k= -12= -12， 故答案为：-12． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，菱形的性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活运用三角函数是解题的关键． 13. 如图，，，， ，，则________． 【答案】8.5#### 【解析】 【分析】本题作的平分线交于F，连接交的延长线于H，证明，推出垂直平分，利用垂直平分线性质证明，利用全等的性质得到，，，设，推出，，再利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：作的平分线交于F，连接交的延长线于H， 设， ， ， ， ，， ， ， 由等腰三角形三线合一可知，垂直平分， ， ， ，即， ， 在和中， ，，， ， ，，， 设， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， 解之得， ， 故答案为：8.5． 【点睛】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（共7小题，共55分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可； （2）先计算负整数指数幂、零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数计算，负整数指数幂，零次幂，绝对值和实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数并正确计算是解题的关键． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点； （2）在图1中作，交于点； （3）如图2，在边上找一点，使得； 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，点即为所求； （3） 如图2所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似中心和位似比是解题的关键． （1）根据位似比为，作出位似图形即可； （2）利用网格性质作出即可； （3）取格点、，连接，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：在的延长线上取格点，在的延长线上取格点，使、，连接、， 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：取格点、，连接，交于点. 16. 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （1）补充表格中的y值； x … … … ________ ________ ________ ________ … （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合图象，当时，y的取值范围为________． 【答案】（1）填表如下： x … … … … （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键． （1）分别将值代入函数解析式求解即可； （2）描点，连线即可画出图象； （3）根据函数图象，写出时，的取值范围． 【小问1详解】 解： 当； 当； 当； 当； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象，当时，y的取值范围为 故答案为：． 17. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：在中，平分，的垂直平分线分别交于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，即可求的长，再根据三角形面积的计算方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 18. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 销售量（件） （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 （填“一次函数”或“二次函数”），写出这个函数解析式为 ； （2）若物价局规定，该头盔售价不得超过元，不得低于进价，当售价为多少元时，利润达到元． 【答案】（1）一次函数，； （2）当售价为元时，利润达到元． 【解析】 【分析】（）利用一次函数的性质和待定系数法求解可得； （）根据“月销售利润单件利润乘以月销售量”列出一元二次方程，然后解方程即可； 本题考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式和方程． 【小问1详解】 由表格知，售价每增加元，销售量对应减少元， ∴这个函数是一次函数， 设其解析式为， 根据题意，得：， 解得：， ∴， 故答案为：一次函数，； 【小问2详解】 依题意得， 解得或， ∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过元， ∴不合题意舍去， 答：当售价为元时，利润达到元． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，出车库地面入口斜坡长． 素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头可以调整可识别角度，可识别角度的最大范围是，在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．(参考数据：) 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． 问题解决 任务一 确定斜坡坡比；如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 项目反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度，使汽车以最高限速行驶时，可以顺利通过闸口，请计算的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：闸门没有打开；任务三： 【解析】 【分析】任务一：利用勾股定理求出，从而得解； 任务二：过点E作于F，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达B点的时间，从而得解； （3）求出达到B点恰好闸门打开时的长度，从而求出，继而求出此时的值，再根据即的最大范围是，确定的取值范围． 【详解】解：任务一：∵，长， ∴ ∴的值为： 任务二：闸门没有打开，理由如下： 过点E作于F， ∵， ∴设，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 解得： ∴ ∴车辆以最高限速行驶到达B点的时间为：秒， ∴闸门没有打开； 任务三：假设达到B点恰好闸门打开，则， 由任务二可知： ∴， 此时 ∵即的最大范围是， ∴的取值范围是 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线是解题的关键． 20. 【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图，2，在矩形中，点是上一点，连接，过点A作的垂线交于点，垂足为点，若，，，求的长． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点是上一点，连接，作交于点，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，，作点关于的对称点，点为上一点，连接，过点作的垂线，交于，垂足为，若为中点，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图，作，延长交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题； （2）作，延长交于点H，利用等腰三角形性质，证明，得到，再证明，利用相似三角形性质得到，结合等量代换，即可证明结论； （3）连接，交于点N，由对称的性质可知于点N，，作于点M，交于点Q，利用三角形内角和证明，得到，利用等面积法求得，进而得到，设，利用勾股定理建立等式求解，得到，再证明，利用相似的性质得到，再结合题干条件利用勾股定理得到，将代入等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， 于点G， ， ， ， ，即， 解得：； （2）略 （3）如图，连接，交于点N，由对称的性质可知于点N，，作于点M，交于点Q， ， ， ， ，， 解得：， ， ， 设， 解得：， ∴， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $