精品解析：河北省石家庄市栾城区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河北省石家庄市栾城区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （3）（4）（5） D. （4）（5）（6） 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 2. 使分式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 3. 在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数． 综上，无理数有2个， 故选：B． 4. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根. 直接计算 的算术平方根即可. 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是. 故选：A. 5. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的6倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 将x和y分别扩大3倍后代入分式，化简后与原分式相同，故分式的值不变． 【详解】解：∵新分式为，与原分式相等， ∴分式的值不变． 故选：A． 6. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由，得，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 8. 已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 9. 使分式的值为整数，则整数x可取的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】把分式化简为，因分式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．由此即可解答. 【详解】, 要使分式的值为整数， ∵分子3一定， ∴x-1=±3或±1， ∴整数x可取的取值为4，-2，0，2，共,4个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键． 10. 如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 11. 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解． 【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元． ∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根， 且第二批跳绳数是第一批的1.5倍， 根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第二批跳绳每根的进价是15元． 故选：B． 12. 分式方程有增根，则的值为（　　） A. 3 B. 6 C. 1或 D. 0或6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，求出，再求出增根，从而得到或，求出的值即可． 【详解】解：将原式去分母得：， ， ， ∵方程有增根， 或， 或， 或， 当时，方程无解， ， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 化简分式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 14. 如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， 理由是：∵在和中 ∴， 故答案为：或或（答案不唯一） 15. 定义运算“@”的运算法则为：，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据定义的运算法则，逐步计算先求，再求其结果与5的运算． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：7． 16. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为________；当时，x的值为________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）无解． 【解析】 【分析】（）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可； （）先对分式方程变形，再分母分式方程把转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可； 本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解方程并进行检验是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以得， ， 解得， 把代入最简公分母得， ， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 原方程可变为，， 方程两边同时乘以得， ， 解得， 把代入最简公分母得， ， ∴原分式方程无解． 19. 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 【答案】 ；， 证明：， ， ，， ． 在和中， ∵， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，再由，，可得，可证明，即可解答． 【详解】略 20. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步． 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是__________________； （2）上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程． 【答案】（1）通分；分式的基本性质 （2）四； 正确化简过程如下： 解：原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算的步骤是解题的关键． （1）根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据异分母运算法则判断，然后按照先通分，再加减的运算法则即可得出答案． 【小问1详解】 解：以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：通分；分式的基本性质； 【小问2详解】 略 21. 【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 （1）的整数部分是          ，小数部分是          ； （2）若，其中是整数，且，求的相反数； （3）已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】（1）4， （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； 【小问3详解】 解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 22. 某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 7200 乙 3200 李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件． 请你帮助他们补全补货单． 【答案】甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用． 设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件，根据数量总价单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值；即可得乙商品的进价，从而求得甲商品的进价；进而甲、乙商品的进货数量． 【详解】解：设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴乙商品的进价是40元件， 甲商品的进价是(元/件)， 甲商品的进货数量：(件)， 乙商品的进货数量：(件)． 答：甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件． 23. 一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． （1）求这块长方形空地的周长； （2）如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】（1）这块长方形空地的周长为160米 （2）宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【解析】 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【小问1详解】 解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； 【小问2详解】 设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 24. 李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． （1）【教材回顾】 例4 如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； （2）【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等； （2） 解：，理由如下： ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得出，，再证，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）证明，得到，，证明，得到，即可证得； （3）延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河北省石家庄市栾城区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （3）（4）（5） D. （4）（5）（6） 2. 使分式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的6倍 6. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 9. 使分式的值为整数，则整数x可取的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A. B. C. D. 11. 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 12. 分式方程有增根，则的值为（　　） A. 3 B. 6 C. 1或 D. 0或6 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 化简分式：______． 14. 如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是___________. 15. 定义运算“@”的运算法则为：，则______． 16. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为________；当时，x的值为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 20. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步． 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是__________________； （2）上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程． 21. 【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 （1）的整数部分是          ，小数部分是          ； （2）若，其中是整数，且，求的相反数； （3）已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 22. 某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 7200 乙 3200 李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件． 请你帮助他们补全补货单． 23. 一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． （1）求这块长方形空地的周长； （2）如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 24. 李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． （1）【教材回顾】 例4 如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； （2）【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $