山东省泰安市泰山区泰山博文中学2025-2026学年上学期12月份阶段性检测七年级 数学试题

泰安市博文中学2025-2026学年12月份阶段性检测七年级上 一、单选题（共64分） 1．（本题4分）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题4分）下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤的算术平方根是；⑥是的平方根．其中是真命题的有（   ） A．①②⑤ B．①⑤⑥ C．①②④ D．①②④⑤ 3．（本题4分）点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（本题4分）已知在一条笔直的道路上顺次有、、三地，且、两地之间的距离为，甲、乙两车分别从地，地同时出发，沿这条笔直道路前往地，甲车到达地后立即以原速沿原路返回，乙车到达地后停止运动.两车距地的距离，与甲车行驶的时间之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．去程时 D．两车在时第一次相遇 5．（本题4分）一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 7．（本题4分）如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 9．（本题4分）如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 11．（本题4分）如图，，．，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（   ） A． B． C．3 D．2 12．（本题4分）如图，在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．（本题4分）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（   ） A．或 B． C．或 D．或 14．（本题4分）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 15．（本题4分）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（本题4分）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（共24分） 17．（本题4分）如图，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 18．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ． 19．（本题4分）将平遥古城景区的平面示意图放入如图所示的正方形网格内，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，其中A、B、C分别代表县衙、文庙和市楼的位置，且都在格点处，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．    20．（本题4分）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为 ． 21．（本题4分）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则 ． 22．（本题4分）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G，，，，则 度． 三、解答题（共62分） 23．（本题8分）已知3是的平方根，2是的立方根，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的值． 24．（本题10分）从有关方面获悉，某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用．下表是医疗费用报销的标准． 住院医疗费用x元 每年报销比例标准 （说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按报销，15000元按报销，余下的10000元按报销．自付住院医疗费用住院医疗费用按标准报销的金额） (1)某农民一年中住院医疗费用15000元，则他在这一年中自付住院医疗费用为______元． (2)当时，设自付住院医疗费用为y元，试求出y与x的函数关系式． (3)若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元，则该农民当年住院医疗费用为多少元？ 25．（本题10分）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系． 26．（本题11分）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 27．（本题11分）在平面直角坐标系中，的一个顶点为． (1)作关于x轴的对称图形，并求出的面积； (2)若P是x轴上一点，且与的面积相等，请直接写出点P的坐标． (3)在y轴上作出点Q，使的周长最小（保留作图痕迹）． 28．（本题12分）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市博文中学2025-2026学年12月份阶段性检测七年级上》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D C C C D B B 题号 11 12 13 14 15 16 答案 A A D C C B 1．C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数是一次函数． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解： ①可化为，满足一次函数定义； ②中含有项，不是一次函数； ③满足形式，是一次函数； ④ 可化为，不是一次函数； ⑤化简得，满足形式，是一次函数． 综上， 一次函数有①、③、⑤，共3个． 故选C． 2．B 【分析】本题考查了实数的性质，利用平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系是解题的关键．根据平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系，可得答案． 【详解】解：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，正确； ②当时，有平方根0，故原说法错误； ③的算术平方根是2，故原说法错误； ④平方根与立方根相同的数是0，故原说法错误； ⑤的算术平方根是，正确； ⑥是的平方根，正确． 综上所述：正确的有①⑤⑥． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知第二、四象限的角平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据第二、四象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点在第二、四象限的角平分线上， 所以点的横纵坐标互为相反数． 又因为点到原点的距离等于， 所以， 则时，；时，， 所以点坐标为或． 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查一次函数的应用、行程问题、求解函数解析式以及相遇问题，解题的关键是分析函数图像，确定甲、乙的速度，利用待定系数法求函数解析式．根据甲车往返路程与时间关系求，再利用待定系数法求函数解析式，通过列方程求相遇时间及时间间隔． 【详解】、由题意知，甲车往返路程相同，从出发到返回共用小时，所以到达地的时间小时，故错误； 、乙车小时行驶千米，根据速度公式可得乙车速度为，所以乙车距地的距离，故错误； 、甲在去程时小时行驶千米，根据速度公式可得去程甲车速度为，甲在去程距地的距离，故错误； 、两车第一次相遇时，乙车距地的距离等于甲车距地的距离，即，解得，故正确； 故选：． 5．C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据图象判断系数、的符号，验证两个函数的系数符号是否一致． 通过一次函数的图象确定（斜率）和（截距）的符号，再判断正比例函数的图象是否与的符号匹配，匹配则符合题意． 【详解】解：A、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，此选项不符合题意； B、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，此选项不符合题意； C、由一次函数图象，得，；正比例函数过二、四象限，与图中一致，此选项符合题意； D、由一次函数图象，得，；正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，此选项不符合题意； 故选：C． 6．C 【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果． 【详解】∵互为相反数， ∴． ∵互为倒数， ． ， 或． 当时，=． 当时，=． 故选C． 7．C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： 则， ∴ 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∴, ∵ ∴ 即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C 8．D 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类，涉及的知识点是 “三角形内角和为 ”“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义”．解题方法是利用内角和定理，结合各选项的角度关系列方程，求出最大角的度数，进而判断三角形类型；解题关键是通过设未知数将角度关系转化为方程，准确计算最大角的度数．易错点是角度比例或倍数关系转化时设未知数错误，导致计算出的角度不符合三角形分类．解题思路为：对每个选项，根据角度关系设未知数，结合内角和为 列方程，求出各角的度数，判断最大角的类型，进而确定三角形类型． 【详解】选项A：，且 ，∴ ，，故是直角三角形，A错误． 选项B：设 ， ，则 ，，，故是直角三角形，B错误． 选项C：设 ，， （由 和 得），则 ，，，故是钝角三角形，C错误． 选项D：设 ，，；，．则 ，，，故是直角三角形，D正确． 故选D． 9．B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，掌握折叠的性质是解题的关键；根据折叠的性质得，再由第2次折叠得到，于是把两式相加即可求解，再由即可求解． 【详解】解：纸条沿折叠， ， 纸条再沿折叠并压平， ， ， ， ， ， 纸条沿折叠并压平， ， ∴， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，是本题求解的关键． 首先根据已知条件，证明和全等，得到，进而得到答案． 【详解】解：由题意知，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河的宽度是米． 故选：B． 11．A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；根据已知条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 12．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和推导的度数； 先证得对应角相等，再利用的度数推出的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 13．D 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情形，分别求出速度为V． 【详解】解：设点Q的运动速度为， 由题意得：，，， ∵， ∴当时，，， 即：，， 解得：，， 所以点Q的运动速度为； 当时，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 所以点Q的运动速度为， 综上，点Q的运动速度为或， 故选：D． 14．C 【分析】分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，找临界点进行讨论即可. 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b， 将点，点代入得，解得 ∴直线AB的解析式为y=x+ ∵抛物线与线段有两个不同的交点 ∴有两个不同解 ∴ ∴ ∴ ①当a＞0时， 解得a≥1 ∴ ②当a＜0时 解得 ∴ 综上可知，或 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，利用分类讨论思想解决问题是解决问题的关键. 15．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由，，得，因为直角的顶点是的中点，所以，，可证明，则，，所以是等腰直角三角形，可判断①、③正确；由，可推导出，可判断④正确；由，得，因为，所以，则，所以，可判断②错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 直角的顶点是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 故①、③正确； ，且， ， 故④正确； ， ， 点不与，重合 ， ， ，， ， ， 故②错误， 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 16．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由可得， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 17．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴．先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点A表示，可得点C表示的实数． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点A表示的数为，点C在点A的右侧， 点C表示的数为， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查了一次函数的坐标特征、梯形面积公式，解题的关键是求出点、的坐标，确定梯形的上下底和高． 先求直线与轴交点的坐标，得的长度；再根据长方形边长确定点的横坐标，代入直线解析式求其纵坐标，得的长度；最后用梯形面积公式计算． 【详解】解：令直线中，则，故． ∵， ∴ ∵长方形中，，故点横坐标为， 代入直线解析式：，即． ∵， ∴． 梯形的高为， 则． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查坐标确定位置，根据点A的坐标和点C的坐标，可以在图中画出相应的坐标系，然后写出点B的坐标即可，解答本题的关键是明确题意，建立合适的平面直角坐标系． 【详解】解：由题意可得，建立平面直角坐标系如图：    由图可得：点的坐标为， 故答案为：． 20．20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用-路径最短问题，熟练掌握知识点是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，圆柱的侧面展开图如图所示： 用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕4圈到B的运动最短路线是， ∵柱子底面圆的直径为，高， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：20． 21．6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 22． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据可得，求得，根据等量变换，然后即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 23．(1)，， (2) 【分析】此题主要考查了平方根，立方根，估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键． （1）直接利用平方根，立方根，以及估算无理数的大小求出a，b，c即可； （2）把a，b，c的值代入即可求解． 【详解】（1）解：是的平方根， ， ， ， 是的立方根， ， ， ， ，而c是的整数部分， ， ，，； （2）解：当，，时， ， 24．(1)9500 (2) (3)29000元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，列函数关系式，求函数的自变量的值，正确理解题意是解题的关键． （1）分别计算出5000元报销的费用，超过5000元部分的报销费用，再根据自费住院医疗费用计算公式求解即可； （2）分别计算出5000元报销的费用，超过5000元不超过20000元部分的报销费用和超过20000元部分的报销费用，再根据自费住院医疗费用计算公式求解即可； （3）可推出该农民一年中住院医疗费用一定超过20000元，再把代入（2）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他在这一年中自付住院医疗费用为9500元； （2）解：由题意得， ； （3）解：， ∴该农民一年中住院医疗费用一定超过20000元， 在中，当时，，解得， 答：该农民当年住院医疗费用为29000元． 25．(1)； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）过点作轴于点D，证明，得到，，即可得到的坐标； （2）证明，得到，，根据线段的和差即可得到 【详解】（1）解：过点作轴于点D， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 轴， ，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． 26．(1) (2)与的周长差为 【分析】本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【详解】（1）解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 27．(1)图见解析，的面积为 (2)点的坐标为 (3)见解析 【分析】（1）作关于x轴的对称图形，再利用网格求的面积； （2）利用同底等高的两个三角形面积相等求解，再写出点P的坐标； （3）利用三角形三边关系，结合轴对称的性质求解． 【详解】（1）解：如图，作关于x轴的对称图形，即为所求， 的面积为 ； （2）如图，交轴于点， 则， 点即为所求作的点， 点的坐标为； （3）如图，作点关于轴的对称点，连结交轴于点， 点为轴上异于点的任意点， 则， ∴的周长为， ∵， ∴当、、三点在同一直线上时，的周长有最小值， 故连结交轴于点，点即为所求作的点． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，利用网格求三角形面积，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 28．（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $