基础题专题练不等式与基本不等式-2026届高三数学一轮复习

不等式性质与基本不等式 一．知识点过关填空 1.不等式的性质 (1)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；同向可加性：a＞b，c＞d⇒ ； (2)可乘性：a＞b，c＞0⇒ ；同向可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ； 2.两实数比较大小的方法 （1）作差法： ； ； ； （2）作商法：任意两个值为正的代数式、 ； ； ； （3）构造函数： 3.基本不等式 若0，0，则 ，当且仅当 时，等号成立。 4．基本不等式的变形及重要不等式 （1） ，当且仅当时，等号成立； （2） ，当且仅当时，等号成立； （3）基本不等式链：，当且仅当时，等号成立； 5．利用基本不等式求最值问题： 在用基本不等式求函数的最值时，应考虑三个条件： （1）一正：函数的解析式中，各项均为 ； （2）二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为 ； ①如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值 ； ② 如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值 ； （3） 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 6.柯西不等式及权方和不等式 二元柯西不等式：设，有 ，当且仅当时等号成立。 二元权方和不等式：设，有 ，当且仅当时等号成立。 7.多元基本不等式 ①，则 ； ②， ； 8.两个重要模型 （1）对勾型： 变式1：： 变式2：： 变式3：： （2）“1”的代换型： 二．基础题型过关练 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．下列结论正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 5．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 6．已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 7．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 10．（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 12.已知，则的取值范围为 ． 13．已知，且，则的最小值为 ． 14.为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 15.（1）设，求函数的值域． （2）当时，求函数的最大值； （3）求函数的最大值； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式性质与基本不等式 一．知识点过关填空 1.不等式的性质 (1)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d ； (2)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；同向可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； 2.两实数比较大小的方法 （1）作差法： a-b＞0；a-b<0；a-b=0； （2）作商法：任意两个值为正的代数式、 ；；； （3）构造函数： 根据数式构造函数，利用函数单调性比较大小 ； 3.基本不等式 若0，0，则，当且仅当时，等号成立。 4．基本不等式的变形及重要不等式 （1），当且仅当时，等号成立； （2） ，当且仅当时，等号成立； （3）基本不等式链：，当且仅当时，等号成立； 5．利用基本不等式求最值问题： 在用基本不等式求函数的最值时，应考虑三个条件： （1）一正：函数的解析式中，各项均为 正数 ； （2）二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为 定值 ； ①如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值 ； ② 如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值 ； （3） 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 6.柯西不等式及权方和不等式 二元柯西不等式：设，有，当且仅当时等号成立。 二元权方和不等式：设，有，当且仅当时等号成立。 7.多元基本不等式 ①，则 ，当且仅当时等号成立。 ②， ，当且仅当时等号成立。 8.两个重要模型 （1）对勾型：，当且仅当时等号成立。 变式1：，当且仅当时等号成立。 变式2：，令，原式变成，再根据变式1求解。 变式3：，先分离常数，变成变式2形式，再进行求解。 （2）“1”的代换型： ，当且仅当时等号成立（其中、）。 二．基础题型过关练 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，，所以． 故选：D. 2．设，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ，， . 又，故. 则. 故选：C. 3．下列结论正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确； 对于B：当时，取时，有.故B不正确； 对于C：当，两边同乘以，则.故C正确； 对于D：当，取时，有.故D不正确. 4．设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 5．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 6．已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 【答案】D 【详解】∵x>0，y>0且， 当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得. 故选：D 7．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误， 故选：B. 8.若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】方法一  由条件得， 由，知， 从而， 当且仅当，即，时取等号． 故的最小值为5． 方法二  对原条件式转化得， 则 ， 当且仅当，，即，时取等号． 故的最小值为5． 故选：D 9．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 10．（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，，， 对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，取，，得，故D错误. 故选：ABC 11．（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】AB 【解析】当时，，当且仅当时，即时，等号成立，故A正确； 当时，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为，当且仅当时，此时 无解，故取不到等号，故D错误； 故选：AB 12.已知，则的取值范围为 ． (2)， ， ， 又， ，故. 13．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 14.为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立. 即，从而恒成立， 令， 又在为单调增函数，故.所以. 15.（1）设，求函数的值域． （2）当时，求函数的最大值； （3）求函数的最大值； 【解析】 （1）, 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以， 所以函数的值域为. （2）， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. （3）令，则，所以， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，即时，有最小值为4， 所以， 所以函数的最大值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $