第6章 图形的相似 章节重难点复习 讲义 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理图形的相似单元7个核心知识点，涵盖比例线段、黄金分割、相似三角形判定与性质等，清晰呈现各考点内在逻辑与重难点分布，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义亮点在于10种典型题型分层设计，如相似三角形应用（测量立柱高度）培养数学眼光，动点问题（△ABP与△PCD相似探究）发展推理意识，例题与变式题结合满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第6章图形的相似章末重难点复习（7个知识点+10种题型) 一、考点梳理 【考点1比例线段的概念】 a_m (1)如果选用同一单位量得两条线段Q,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是bn, 或写成a:b=m:n.注：在求线段比时，线段单位要统一。 (2)在四条线段a,b,c,d中，如果Q和b的比等于c和d的比，那么这四条线段Q,b,C,d叫做成 比例线段，简称比例线段. b_d 注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,C,d的第四比例项，那么应得比例式为：Ca· 在比例式=S(a:b=cd)中， ② b d 、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比 例后项，d叫第四比例项，如果b=c,即a:b=b:d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2=ad。 【考点2黄金分割】 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中 项，即AC2=AB:BC,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中 AC-5-14B AC BC 5-1 长短√5-1 2 ≈0.618AB.即ABAC2 简记为：全长2 注：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 【考点3比例的基本性质】 1 (1)基本性质：①a:b=c:d台ad=bc: ②a:b=b:c→b2=ac a c b d →一三 (2)反比性质（把比的前项、后项交换）：bdac （@)等比任质：知婴台分6+1+f++以子0 a_ce a+c+e+…+m_a n 那么b+d+f+…+nb 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.如： ace a_2c 3e a-2c+3e a bdfb-2d3fb-2d+3fb;其中b-2d+3f≠0 【考点4平行线分线段成比例】 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例： (1)三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得 的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边， 此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线 (2)平行线的应用：在证明有关比例线段时，铺助线往往做平行线，但应遵循的原则是不要破坏条件中的 两条线段的比及所求的两条线段的比 【考点5作位似变换】 画位似图形的一般步骤： (1)确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点） (2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）· (3)根据己知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. (4)顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤ 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点 上)。 2 ②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形） ③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形） (5)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点0为位似中心，相似比为k(k>0),原图形上点的坐 标为(x,y),那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky) 【考点6相似三角形的判定】 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似. 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相 似. 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简 述为：两角对应相等，两三角形相似. 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似， 简述为：三边对应成比例，两三角形相似： 【考点7相似三角形的性质】 相似三角形的性质： (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例 (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比. (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 二、典型例题 3 【考点1比例线段的概念】 【例1】（福建模拟）如图，albc,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.已知AB =3,BC=2,DE=6,则DF等于() AD B b C A.4 B.9 C.10 D.15 【变式1】（秋·清苑区期中）如图，直线ablc,点A,B在直线a上，点C,D在直线c上，线段 AE AC,BD分别交直线b于点E,F,则下列线段的比与 一定相等的是() Ac a B D E CE BF BF A. B. AC BD C.FD AB D. CD 【考点2黄金分割】 【例2】（秋·杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中， 正确的是() A. PB 5+1 B.PB=5+1 c.AP=5-1 D. AP_5-1 AP AB 2 AB 2 PB 2 【变式2】（秋·姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给 人一种协调的美感.某女老师上身长约61.8cm,下身长约94cm,她要穿约 cm的高跟鞋才能达到 黄金比的美感效果（精确到1cm). 4 【考点3比例的基本性质】 【例3】（秋·灌云县期末）已知=，且+y=24.则x的值是( A.15 B.9 C.5 D.3 a-2b b-2c c-2a 【变式3】（春·南票区期末）若k=c=a=b,且a+b+c0,求k的值. 【考点4平行线分线段成比例】 【例4】（镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2FD,直线BF交 BE AC于点E,交CD的延长线于点G,则 G的值为() G F D 1 A. 2 c D. 变式4】（秋·宜兴市校级月考）如图，1，Il2,AF:BF=2:5,BC:CD=4:1,则AE:EC的值为( ) C D A.5:2 B.1:4 C.2:1 D.3:2 5 【考点5相似三角形的判定】 【例5】（秋·临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F,AB-AC AD AE' 且∠BAD= ∠CAE. (1)求证：△ABC一△ADE: (2)求证：△AEF一△BCF. 【变式5】（秋·鼓楼区期末）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC=∠DBE,∠3= ∠4. 求证：(1)△ABD~△CBE: (2)△ABC~△DBE. A B C E 【考点6相似三角形的应用】 6 【例6】（江苏徐州中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面CQ,坡角 ∠QCN=30°.在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻， 小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm(其影子完全落在地面上)，求立柱AB的高度. mhmmmiN 【变式6】（雁塔区校级模拟）随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关 注，环保宣传也随处可见.如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从 窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测 得窗户距地面的高度OD=1m,窗高CD=1.5m,并测得OE=1m,OF=3m.请根据以上测量数据，求 环保宣传牌AB的高度. A DN B OEF 【考点7相似三角形的判定和性质】 7 【例7】（山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D,E分别在△ABC的边BC,AC上，连接 AD,DE. (1)若∠C=∠BAD,AB=5,求BDBC的值； (2)若点E是AC的中点，AD=只2AE,求证：∠1=LC. 5 【变式7】（武昌区模拟）在△ABC中，∠.ACB=90°，CD为高，BC=nAC 3 AD (1)如图1，当n=2时，则BD的值为 ；(直接写出结果) PE (2)如图2，点P是BC的中点，过点P作PFLAP交AB于F,求P℉的值；（用含n的代数式表示） (3)在(2)的条件下，若PF=BF,则n=·（直接写出结果) A P 图1 图2 8 【考点8相似证明中的比例式】 【例8】（越秀区校级二模）如图，F是△ABC的AB边上一点，下列结论正确的个数是() ①若∠AFC=∠ACB,则△ACF一△ABC ②若∠AFC=∠B,则△ACF一△ABC ③若AC2=AFAB,则△ACF一△ABC ④若AC:CF=AB:BC,则△ACF一△ABC. B C A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式8】（宁洱县模拟）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CDLAB于D,E是AC的中点， ED的延长线与CB的延长线交于点F. 求证：FD=FBFC. D 9 【考点9利用相似三角形的性质解决动点问题】 【例9】（秋·砀山县期末）如图所示，已知AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,AB=4,CD=6,BC=14,P为 BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？ D d B C 【变式9】（秋·正定县期末）在矩形ABCD中，AB=I2cm,BC=6Cm,点P沿AB边从点A开始向点B以 2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用 t(秒)表示运动时间(0≤≤6)，那么当1为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由. D Q 8 10第6章 图形的相似章末重难点复习（7个知识点+10种题型) 一、考点梳理 【考点1比例线段的概念】 (1)如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是？=m, 或写 b n 成a:b=m:n.注：在求线段比时，线段单位要统一。 (2)在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段， 简称比例线段. 注：①比例线段是有顺序的，如果说a是bc,d的第四比例项，那么应得比例式为：b_d. c a ②在比例式g=C(a:b=c:d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例 b d 后项，d叫第四比例项，如果b=c,即a:b=b:d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2=ad。 【考点2黄金分割】 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项，即 4C2=ABBC,叫微把线段B黄金分制，点C叫微线段B的黄金分梨点，其中HC=5-4B≈ 2 0.618AB,即4C=BC-V5-1 长短√5-1 AB AC 2 简记为：全长2 注：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 【考点3比例的基本性质】 (1)基本性质：①a:b=c:d台ad=bc; ②a:b=b:c÷b2=a·c. (2)反比性质（把比的前项、后项交换）：g=9台么_4， b d a c (3)等比性质：如果4=二=三=…=m(b+d+了+…+n≠0)，那么+C+e+…+m= b d f n b+d+f+…+nb 1 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.如： 9-9=e→0--2c-3e→a-2c+3e_a 之 其中b-2d+3f≠0. b d f b -2d 3f b-2d+3f b 【考点4平行线分线段成比例】 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例， (1)三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的 对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边， 此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线： (2)平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线，但应遵循的原则是不要破坏条件中的 两条线段的比及所求的两条线段的比. 【考点5作位似变换】 画位似图形的一般步骤： (1)确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点） (2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）， (3)根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. (4)顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤ 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。 ②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形) ③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形） (5)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点0为位似中心，相似比为k(k>0),原图形上点的坐标 为(x,y),那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky). 【考点6相似三角形的判定】 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似. 2 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简 述为：两角对应相等，两三角形相似. 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简 述为：三边对应成比例，两三角形相似. 【考点7相似三角形的性质】 相似三角形的性质： (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例. (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比. (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 二、典型例题 【考点1比例线段的概念】 【例1】（福建模拟）如图，a∥b∥c,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.已知 AB=3,BC=2,DE=6,则DF等于() AD ⊙ E b C A.4 B.9 C.10 D.15 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题. 【解答】解：，a∥b∥c, 3 “器=器，即子=品， ∴，EF=4, ∴.DF=EF+DE=4+6=10, 故选：C 【变式1】（秋·清苑区期中）如图，直线a∥b∥c,点A,B在直线a上，点C,D在直线c上，线段AC, AB BD分别交直线b于点E,F,则下列线段的比与光一定相等的是() B D A.器 BE B. C. D.部 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可. 【解答】解：，a∥b∥c, BE 故选：B. 【考点2黄金分割】 【例2】（秋·杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中， 正确的是（) A器= B.器=+ c器=n.$= 【分析】根据黄金分割的定义判断即可. 【解答】解：点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项， 4 ∴AP2=PB⋅AB， ∴ 点P是AB的黄金分割点， $$\frac { A P } { A B } = \frac { \sqrt 5 - 1 } { 2 } ，$$ 故选：C. 【变式2】(秋·姜堰区校级月考)从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给 人一种协调的美感.某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到 黄金比的美感效果(精确到1cm). 【分析】设她要穿xcm的高跟鞋， 根据题意列出方程， 解方程得到答案. 【答案】解：设她要穿xcm的高跟鞋， 由题意得， $$\frac { 6 1 . 8 } { 9 4 + x } = 0 . 6 1 8$$ 解得 x=6， 故答案为：6. 【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，根据题意列出方程是解题的关键，注意要准确找出等量关系. 【考点3 比例的基本性质】 【例3】(秋·灌云县期末)已知 $$\sqrt { \frac { X } { 3 } }$$ $$\frac { x } { 3 } = \frac { y } { 5 } ，$$ ，且 x+y=24. x 的值是() A.15 B.9 C.5 D.3 【分析】 $$i \frac { x } { 3 }$$ $$\frac { x } { 3 } = \frac { y } { 5 } = k$$ ，根据比例的性质求出 x=3k，y=5k， ，根据x+y=24得出 3k+5k=24， ，求出k， 再求出x即可. 【解答】解：设 $$\frac { x } { 3 } = \frac { y } { 5 } = k$$ 则 x=3k，y=5k， ∵x+y=24. 5 ∴.3k+5k=24, 解得：k=3, ∴.x=3×3=9, 故选：B. 【变式3】（春南票区期末）若k=a-2B=b-2c=c-2a,且a+b+c≠0，求的值. c a b 【分析】根据比例的性质，即可解答. 【答案】解：k=a-2b-b-2c=c-2a,且叶b+c≠0， a b :.k=a-2b+b-2ctc-2a=-a-b-e=-（a+btc)=-1. atb+c atb+c atb+c 【点晴】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟记比例的性质， 【考点4平行线分线段成比例】 【例4】（镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2FD,直线BF交 4C于点B,交CD的延长线于点G,则器的值为() G D E A.3 B.青 c.号 D. 【分析】由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k,证明AB=AF=2k,DF=DG=k,再利 用平行线分线段成比例定理即可解决问题. 【解答】解：由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥CD,AD=BC=3k, 6 “瓷=能=子， ∴器=器=黄 故选：C G F A D 【变式4】（秋·宜兴市校级月考）如图，1∥h,AF:BF=2:5,BC:CD=4:1,则AE:EC的值为() B A.5:2 B.1:4 C.2:1 D.3:2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出部=部=号，瓷=部，求出4G=BD,CD=BD ，再求出8即可。 【解答】解：：∥12， 册=器。 AF:BF=2:5, ∴器= 即AG=号BD, .'BC:CD=4:1,BC+CD=BD, :.CD=BD, 7 昌BD BD = ,1∥12 故选：C 【考点5相似三角形的判定】 【例5】（秋·临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F, =指， 且∠BAD= ∠CAE. (1)求证：△ABC∽△ADE; (2)求证：△AEF∽△BCF. ⊙ 【分析】(1)根据相似三角形的判定定理证明； (2)根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E,结合图形，证明即可. 【解答】(1)：∠BAD=∠CAE .∴.∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD 即∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中 器=噩，∠B4C=∠D4E, ∴.△ABC∽△ADE; 8 (2),△ABC∽△ADE, ∴.∠C=∠E 在△AEF和△BFC中，∠C=∠E,∠AFE=∠BFC, ∴.△AEF∽△BCF. D B 【变式5】（秋·鼓楼区期末）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC=∠DBE,∠3=∠ 4. 求证：(1)△ABD∽△CBE; (2)△ABC∽△DBE D E 【分析】(1)根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE; (2)先利用得到∠I=∠2得到∠ABC=∠DBE,再利用△4BD∽△CBE得D=BD, 根据比例的性质 BC BE 得到D=BC. 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE BD BE 相似. 【答案】解：(1)相似.理由如下： 9 ∠1=∠2，∠3=∠4. ,∴.△ABD∽△CBE: (2)相似.理由如下： ∠1=∠2， .∴.∠1+∠DBC=∠2+DBC,即∠ABC=∠DBE, '△ABD∽△CBE, ..ABBD BC BE ..ABBC BD BE ∴.△ABC∽△DBE. 【点睛】本题考查了三角形相似的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形 与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三 角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似. 【考点6相似三角形的应用】 【例6】（江苏徐州中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面CQ,坡角 ∠QCN=30°.在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻， 小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm(其影子完全落在地面上)·求立柱AB的高度. A 77777 10