专题05 相似三角形的动点问题（高效培优专项训练）数学苏科版九年级下册

专题05 相似三角形的动点问题 题型一：与运动时间相关 题型二：求线段长度 题型三：函数关系图象辨别 题型四：线段、线段和的最值问题 题型五：与特殊几何结合的综合问题 题型一：与运动时间相关 1．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 2．如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为 秒时，与相似． 【答案】3或7.5 【分析】 【详解】解：在中，，，， ， ， ①当时，，， ， ； ②当时，，， ， ． 或7.5秒时，与相似． 故答案为：3或7.5． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间． (1)当为何值时，与相似； (2)当为何值时，四边形的面积为． 【答案】(1)为或 (2)t为2或10 【分析】 【详解】（1）解：①若时，，即， 解得； ②若时，，即， 解得； 所以当或时，与相似． （2）解：，，，， ， ， 则有， 解得，， ∴当t为2或10时，四边形的面积为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质、三角形面积问题和一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 4．如图，在中，，，，点P在线段上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用（单位：秒）表示． (1)求线段的长； (2)求当t为何值时，与相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 (3)不能，见解析 【分析】 【详解】（1）解：，，， 故． （2）解：根据题意，得，， 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 综上所述，运动秒或秒时，与相似． （3）解：过点Q作于点N， 根据题意，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 故， ∵四边形与面积相等，， ∴， 整理，得， 此时， 故原方程无实数根， 故不存在时间t使得四边形与面积相等． 5．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，当或时，以点为顶点的三角形与相似． 6．如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27 (2)的值为秒或3秒 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 当，四边形是梯形， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴梯形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27； （2）解：， 当，则， ， 由（1）得； 当，则， ∴，即， ∴， 当的值为秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了坐标与图形，梯形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握分类讨论思想的运用以及三角形的相似的判定定理是解题的关键． 7．如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)t的值为或 (4)或 【分析】 【详解】（1）解：∵动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒， ∴， 又∵， ∴， ∵动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒， ∴； （2）解：， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， 当四边形是菱形时，， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∴，即， 解得： ， 当时，， ∴， ∴，即， 解得： ． ∴t的值为或； （4）解：由（3）知当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， 当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， ∴将沿翻折，点A的对应点在外部时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形、菱形的性质，折叠的性质，以及相似三角的判定与性质等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，特别注意分类讨论，分别求出t的值，避免漏解． 题型二：求线段长度 8．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 9．如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】1或3或8 【分析】 【详解】解：设，则， ∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似， ①当时，，解得 经检验，是该方程的解． ②当时，，解得或， 经检验，或是该方程的解． ∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8． 故答案为：1或3或8． 10．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 11．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：根据题意，作图如下，连接，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， 在中，，，则， ①如图所示，当点在上时，当时， ∴，则， ∴； ②如图所示，当点在上时，当时，    连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形， ∴根据上述证明可得，点是的中点，且， ∴当时，点关于点对称， ∴， ∴点为的中点，且， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 12．如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 【答案】2、12或 【分析】 【详解】解：， ∴， 设，则， 情况1：当时，， ∴， ∴， 解得，或， 经检验，当或时，原方程有意义； 情况2：当时，， ∴， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义； 综上所述，长为2、12或． 13．如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． (1)为何值时，； (2)是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2)存在， 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 若，则有， ∴， 即， 解得， ∴当时，； （2）解：存在． ∵， ∴， 要使，只需， 即， 解得， ∴． 题型三：函数关系图象辨别 14．如图，在中，，，．点D以的速度从点B出发，沿匀速运动，同时点E从点B出发，沿的路径匀速运动，D，E两点同时运动到点A停止．设点D的运动时间为，的面积为y（），则能表示y与x函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D以的速度从点B出发，沿匀速运动，同时点E从点B出发，沿的路径匀速运动，D，E两点同时运动到点A停止， 则点D从点B运动到点A用时， ∴点E的运动速度为， 根据题意，点D的运动时间为， ∴， ∴， 当点E在线段上，即时，如下图， 此时， ∴的面积， ∵， ∴该抛物线开口向下，且对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大； 当点E在线段上，即时，如下图， ， 过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，且y随x的增大而减小． 综上所述，选项A符合题意． 故选：A． 15．如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在正方形中，，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设（），，则， ∴， ∴， ∵，且， ∴y关于x的函数图象为开口向下，顶点坐标为的抛物线，故选项A符合题意， 故选：A． 16．如图，在中，，点D从点C出发沿方向以向点B匀速运动，过点D作于点D．以所在直线为对称轴，将折叠，点C的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间，则S与t之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵， ∴当D在中点时，和B重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 此时，S与t之间函数关系的图象是顶点在原点，开口向上的抛物线； ②当时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 由①知，， 同理可知，， ∴，， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为2， 此时，S与t之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当时，S取得最大值． 故选：A． 17．如图，在中，于点．点从点出发，沿的路径匀速运动，运动到点停止，过点作于点，设点运动的路程为的面积为，则与的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， 当在线段上时，即时， ∴ ∴，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项A、D错误； 当在线段上时，即时，如图： 依题意得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得; ∵ ∴ ∴ ∴ ∴此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项C错误； 故选：B． 18．如图，在矩形中，，，E是上一点，连接，过点E作交于点F．设（点E不与A，C重合），面积的与的面积之比为，的长为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析，随着x的增大而减小 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：过点作交于，如图， 在矩形中，，， ∴, 由勾股定理得，, ∵， ∴， ∴， ∴； ∵, ∴， ∴，即， ∴； （2）解：画的图象： 列表， x ⋯ 1 2 3 6 ⋯ y ⋯ 6 3 2 1 ⋯ 描点，连线，如图： 画的图象： 列表， x ⋯ 2 6 ⋯ y ⋯ 3 1 ⋯ 由函数图象可知，随着x的增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，矩形的性质，解直角三角形，利用三角函数求出函数解析式是解题的关键． 19．如图1，在矩形中，，，E为边上的中点，连接，与对角线交于点F，G为边上的动点（含端点），过点G且平行于的直线分别与，交于P，Q两点.设，.          (1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出此函数的图象，并写出此函数的一条性质： (3)若函数的图象与该函数的图象有两个交点，则m的取值范围为__________. 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：过点作，则， ∵，E是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时， ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 综上， （2）如图所示， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 （3）当过时， 解得：， 当过时， 解得：， 结合函数图象，可得：函数的图象与该函数的图象有两个交点，则m的取值范围为 故答案为：． 题型四：线段、线段和的最值问题 20．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB． ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm， ∴C（-3，0），B（0，4）， ∵∠CDB=90°， ∴BC==5（cm）， ∵EH∥CD， ∴△BEH∽△BCD， ∴， ∴， ∴EH=0.3t，BH=0.4t， ∴E（-0.3t，4-0.4t）， ∵F（0，0.4t）， ∵QE=QF， ∴Q（-t，2）， ∴点Q在直线y=2上运动， ∵B，D关于直线y=2对称， ∴QD=QB， ∴QP+QD=QB+QP， ∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)， ∴QP+QD≥2， ∴QP+QD的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动． 21．如图，半径为5，弦，Q是弦上的一个动点，过点Q作弦，在点Q运动过程中，始终保持A点是的中点，则长度的最大值为（    ） A．8 B．9.5 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：连接， ∵A点是的中点， ∴， ∴ 又∵为公共角， ∴∽， ∴， 设，有，， 当时取最大值； 故选：C． 22．如图，在矩形ABCD中，AB=3， ，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上的一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】 如图，过点A作AG⊥BD于G点， ∵∠BAD=90°， ∴， ∵， ∴， ∴点C到BD的距离为， ∵BD是圆的切线， ∴圆的半径为， 过点P作PE⊥BD于点E， ∴∠AGT=∠PET， ∵∠ATG=∠PTE， ∴， ∴， ∴， ∵， 要使最大，则最大，即PE最大， ∵点P是圆上动点，BD是圆的切线， ∴PE最大为圆的直径， 即PE最大值为：3， ∴最大值为， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质及相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 23．如图，在矩形中，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的最大值为 ． 【答案】36 【详解】在中，， ∵，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，PE•PF有最大值，最大值为36， 故答案为：36． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，作于点G，设运动的时间为t秒，则AG的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于，由题意知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴过定点，，， 如图，过作于，过作于， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，，， ∵，过定点， ∴当与重合时，有最大值，为， 在中，由勾股定理得， ∴最大值为 故答案为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于确定过定点． 题型五：与特殊几何结合的综合问题 25．如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 26．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．当 时，为直角三角形． 【答案】或． 【详解】， ． ，， ， ，． ， ，又， ∴， 在和中 ． 当为直角三角形时，是直角三角形． 当时，则， ， ，即 解得： 当时，则 ， ，即， 解得：． 综上所述：当或时，为直角三角形． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 27．已知中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，同时动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒．    (1)如图①，若，求的值； (2)如图②，将沿翻折至，当为何值时，四边形为菱形？ 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得：cm，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，连接交于D，    ∵四边形为菱形， ∴，， ∵点Q的速度是每秒， ∴， 过点P作于O， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P的运动速度是每秒， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，作出相应辅助线是解题的关键． 28．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的邻边分别落在x轴，y轴的正半轴上，且顶点O与原点重合，，，连接，点E由点B出发沿方向向点O匀速运动，速度为；点F由点O出发沿方向向点A匀速运动，速度为，点E，F同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s），连接EF．回答下列问题： (1)填空：点B的坐标______；用含t的代数式表示OE的长______； (2)如图2，连接AC，交OB于点D，连接DF，若，求点E的坐标； (3)连接，把沿翻折，点E的对应点为，得到四边形．当四边形为菱形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)；； (2) (3)s 【分析】 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点B的坐标为； 由勾股定理得：， 由题意得：， ∴； 故答案为：；； （2）∵，四边为矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴点E、F的运动时间为1秒， ∴， 过点E作，如图所示： ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴点E的坐标为； （3）如图，连接，交于点N， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】题目主要考查矩形的性质，动点问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点，作出相应辅助线上解题关键． 29．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． (1)根据题意知：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)若与相似，求的值； (3)试探究为何值时，是以为底等腰三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)当时，是以为底的等腰三角形 【分析】 【详解】（1）解：由题意得． 故答案为：，； （2）解：依题意知，在中，，， ∴， 与相似，， ∴分两种情况讨论： 当时， 有，即， 解得； 当时， 有，即， 解得． ∴综上所述：当与相似时，或； （3）解：由题意得：，如图，过作于， 则， ，， ， ，即，解得． ∴当时，是以为底的等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形等知识，综合性较强，理解题意，熟知相关知识，根据题意进行分类讨论是解题关键． 30．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 31．如图，在直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，．动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．当两个动点运动了x秒（）时，解答下列问题： (1)求点N的坐标（用含x的代数式表示）； (2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，是等腰三角形．（直接写出x的值） 【答案】(1) (2)秒或2秒时，是直角三角形 (3)秒或秒或秒时，是等腰三角形 【分析】 【详解】（1）解：如图1，作垂足为H， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N坐标； （2）解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：秒或2秒时，是直角三角形； （3）解：①当时，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，， 解得：． ③当时，如图2，作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述：秒或秒或秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，学会转化的思想，分类讨论的思想，用方程去思考是解题的关键． 32．如图，在矩形中，点从点出发沿向终点运动；点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为．    (1)当为何值时，四边形是矩形? (2)当为何值时，四边形是菱形? (3)是否存在某一时刻，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻使得，理由详见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得 ， 四边形 是矩形 ， 即 解得 （2）四边形 是矩形， ，    四边形 是菱形， ， 在中，即 解得 （3）假设存在某一时刻 使得 ， 过点 作 于点 ， 则， ， 四边形 是矩形， ，    ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中 ， ， 即， 整理得， ， 此方程无解 不存在某一时刻，使得 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式的意义；熟练掌握特殊四边形的性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形的动点问题 题型一：与运动时间相关 题型二：求线段长度 题型三：函数关系图象辨别 题型四：线段、线段和的最值问题 题型五：与特殊几何结合的综合问题 题型一：与运动时间相关 1．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 2．如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为 秒时，与相似． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间． (1)当为何值时，与相似； (2)当为何值时，四边形的面积为． 4．如图，在中，，，，点P在线段上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用（单位：秒）表示． (1)求线段的长； (2)求当t为何值时，与相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 6．如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 7．如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 题型二：求线段长度 8．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为 ． 9．如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 ． 10．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 11．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 12．如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 13．如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． (1)为何值时，； (2)是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 题型三：函数关系图象辨别 14．如图，在中，，，．点D以的速度从点B出发，沿匀速运动，同时点E从点B出发，沿的路径匀速运动，D，E两点同时运动到点A停止．设点D的运动时间为，的面积为y（），则能表示y与x函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，点D从点C出发沿方向以向点B匀速运动，过点D作于点D．以所在直线为对称轴，将折叠，点C的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间，则S与t之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 17．如图，在中，于点．点从点出发，沿的路径匀速运动，运动到点停止，过点作于点，设点运动的路程为的面积为，则与的函数图象是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在矩形中，，，E是上一点，连接，过点E作交于点F．设（点E不与A，C重合），面积的与的面积之比为，的长为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 19．如图1，在矩形中，，，E为边上的中点，连接，与对角线交于点F，G为边上的动点（含端点），过点G且平行于的直线分别与，交于P，Q两点.设，.          (1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出此函数的图象，并写出此函数的一条性质： (3)若函数的图象与该函数的图象有两个交点，则m的取值范围为__________. 题型四：线段、线段和的最值问题 20．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 21．如图，半径为5，弦，Q是弦上的一个动点，过点Q作弦，在点Q运动过程中，始终保持A点是的中点，则长度的最大值为（    ） A．8 B．9.5 C．10 D．12 22．如图，在矩形ABCD中，AB=3， ，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上的一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 23．如图，在矩形中，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的最大值为 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，作于点G，设运动的时间为t秒，则AG的最大值是 ． 题型五：与特殊几何结合的综合问题 25．如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．当 时，为直角三角形． 27．已知中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，同时动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒．    (1)如图①，若，求的值； (2)如图②，将沿翻折至，当为何值时，四边形为菱形？ 28．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的邻边分别落在x轴，y轴的正半轴上，且顶点O与原点重合，，，连接，点E由点B出发沿方向向点O匀速运动，速度为；点F由点O出发沿方向向点A匀速运动，速度为，点E，F同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s），连接EF．回答下列问题： (1)填空：点B的坐标______；用含t的代数式表示OE的长______； (2)如图2，连接AC，交OB于点D，连接DF，若，求点E的坐标； (3)连接，把沿翻折，点E的对应点为，得到四边形．当四边形为菱形时，请直接写出t的值． 29．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． (1)根据题意知：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)若与相似，求的值； (3)试探究为何值时，是以为底等腰三角形． 30．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 31．如图，在直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，．动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．当两个动点运动了x秒（）时，解答下列问题： (1)求点N的坐标（用含x的代数式表示）； (2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，是等腰三角形．（直接写出x的值） 32．如图，在矩形中，点从点出发沿向终点运动；点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为．    (1)当为何值时，四边形是矩形? (2)当为何值时，四边形是菱形? (3)是否存在某一时刻，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $