青海省西宁市大通县东峡民族中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年青海省西宁市大通县东峡民族中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.二道区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是(    ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 6.下列y关于x的函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 7.将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 8.若二次函数的图象经过点，则a的值为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形如图所示，该正八边形绕其中心O旋转后能与自身重合，那么n的值可能是(    ) A. B. 30 C. 45 D. 60 10.对于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上，顶点坐标： B. 开口向上，顶点坐标： C. 开口向下，顶点坐标： D. 开口向下，顶点坐标： 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.点关于原点对称的点的坐标是______. 12.如图，已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为      . 13.抛物线与y轴的交点坐标为      . 14.将一元二次方程化成一般形式为      . 15.方程的根为______. 16.抛物线的对称轴      . 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程： ； 18.本小题8分 如图，为格点三角形.请用直尺在网格中画图： 画出，使和关于直线MN成轴对称； 画出，使和关于点O成中心对称. 19.本小题10分 已知点， 若A，B两点关于原点对称，求m，n的值. 若A，B两点关于y轴对称，求m，n的值. 20.本小题8分 如图，已知抛物线经过点 求出此抛物线的顶点坐标； 当时，直接写出x的取值范围. 21.本小题10分 已知关于x的一元二次方程 若方程的一个根为2，求m的值； 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根. 22.本小题16分 已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与y轴交于点 直接写出A，B的坐标； 画出这个二次函数的图象； 当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围. 23.本小题12分 已知关于x的方程 当m为何值时，该方程是一元二次方程？ 当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：根据一元二次方程的定义，逐项分析判断如下： A、不是方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，不符合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程”及形式“”判定即可． 本题考查了一元二次方程的定义，表示形式，掌握其定义及表示方法是关键． 2.【答案】C  【解析】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2022的教育经费为：万元， 2023的教育经费为：万元， 那么可得方程： 故选： 增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元”，可以分别用x表示2021以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程． 3.【答案】A  【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形进行判断即可． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以a可以取 故选： 利用根的判别式的意义得到，再解不等式得到a的取值范围，然后利用a的取值范围对各选项进行判断． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5.【答案】C  【解析】解：， ，，， ， 故该二次方程没有实数根， 故选： 求出根的判别式即可解答． 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根． 6.【答案】A  【解析】解：根据二次函数定义逐项分析判断如下： A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，不符合题意； C、中x的次数为，不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，不符合题意． 故选： 根据二次函数定义进行分析即可． 本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得 故选： 根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解是关键． 8.【答案】B  【解析】解：由条件可得，  解得，  故选： 根据待定系数法，可得函数解析式． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征. 9.【答案】C  【解析】解：， 该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合，即 故选： 根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 10.【答案】D  【解析】解：抛物线中， 此抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故选： 根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可． 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系及顶点坐标公式是解答此题的关键． 11.【答案】  【解析】解：点A的坐标是， 点A关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 本题考查点的对称，解决的关键是对知识点的正确记忆，同时能够根据点的坐标符号确定点所在的象限． 12.【答案】  【解析】解：结合图象可得 ， 解得 故二次函数的关系式为 故答案为 由图可知抛物线的对称轴方程为，由此可得，从而可求出b；由图可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，代入抛物线的解析式，得到关于b、c的一个方程，把b的值代入就可求出c的值，问题得以解决． 本题主要考查运用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线对称轴方程、抛物线上点的坐标特征等知识，从图中获取有用的信息是解决本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：依题意，令，则， 即抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为： 根据在y轴上的点的横坐标为0，即把代入进行计算，即可作答． 本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，熟练掌握该知识点是关键． 14.【答案】  【解析】解：由，得 所以将一元二次方程化成一般形式为 故答案为： 一元二次方程的一般形式是：是常数且 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 15.【答案】，  【解析】解：， ， ， ，或， ，， 故答案为：， 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法． 16.【答案】1  【解析】解：将一般式化为顶点式为， 抛物线的对称轴是直线 故答案为： 先将一般式化为顶点式，即可求解． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 17.【答案】，；   ，  【解析】， 变形为：， 或， 解得：，； ， ， 或， 解得， 原方程利用因式分解法求解即可； 原方程利用因式分解法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18.【答案】见解析；   见解析．  【解析】关于直线MN成轴对称的，如图1即为所求； 如图所示． 根据轴对称的性质，分别找出点，，，再依次连接，即可作答． 根据中心对称的性质，分别找出点，，，再依次连接，即可作答． 本题考查了画轴对称图形、中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19.【答案】解：点，关于原点对称， ，， ，； 点，关于y轴对称， ，， ，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.【答案】解：把代入得： ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； ， 抛物线开口向下，有最大值4， 当时，或， 当时，x的取值范围是或  【解析】把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标； 分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． 21.【答案】解：方程的一个根为2， ， 解得， 即m的值为； 证明：， 无论x取何值，， 即无论x取何值，， 不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．  【解析】将代入方程得，解出m的值即可； 计算，无论x取何值，，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 22.【答案】，；   ；   当时，函数值y的取值范围  【解析】， ， 令，则， ； 先利用对称性列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 2 … 然后描点连线，得到的图象，作图如下， 二次函数， 当时，； 当时，， 二次函数的对称轴为直线， 当时，， 当时，函数值y的取值范围 将二次函数解析式化为顶点式可得顶点A的坐标，令，求出y的值即可得图象与y轴交点B 的坐标； 先利用对称性列表，注意x，y要取整数，然后描点连线即可画出图象； 根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 23.【答案】解：根据题意，， 解得：， 当时，该方程是一元二次方程； 根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程．  【解析】根据一元二次方程的定义求解即可； 根据一元一次方程的定义求解即可． 本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的定义，根据定义二次项系数、一次项系数不等于0是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $