精品解析：山西省大同市北岳中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

北岳中学2025——2026学年八年级第一学期期中学情监测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：A.该选项不是轴对称图形，符合题意； B. 该选项是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：设这个三角形第三边的长为， ∵这个三角形的两边长分别为4和9， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 3. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的稳定性．由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：在人字梯的中间一般会设计一拉杆，可以使人字梯稳定， 这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 故选：B． 4. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 6. 一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和角平分线的定义是解题的关键，根据三角形内角和角平分线定义解答即可得到答案． 【详解】解：平分，平分， ∴，， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为20得到，接着利用得到，所以，然后解方程即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为20， ∴， ∴， ∵的周长比四边形的周长多10， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 8. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，一块三角形玻璃摔成了三部分，要去玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是（ ）． A. 只带①去 B. 只带②去 C. 只带③去 D. 带①②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有，，，等．此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案． 【详解】解：带去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项不符合题意； B．带去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项不符合题意； C．带去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条完整的边，符合判定方法，故C选项符合题意； D．带和去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 已知与点关于x轴对称，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 12. 在中，，，_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和为180度列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理先求和，根据角平分线的定义可得，推出，得到，利用在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， 平分， ， ， ， 在中，，， ， ． 15. 已知是等腰三角形，若为腰边上的高，当时，的度数是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：当时，取的中点Q，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，； 当时，∵，， 根据前面证明得， ∴； 当时，∵，， 根据前面的证明，得 ∴； ∵， 故． 故答案为：或或． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 如图，在中，于点，于点E，、相交于点F，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线定义，三角形内角和定理，连接，根据垂线定义得出，根据，，得出，根据，求出即可． 【详解】解：连接， ∵于点，于点E， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 18. 如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． 请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）请画出的中线和高． （2）在线段右侧找到点F，使得． 【答案】（1） 解：的中线和高，如图， （2） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图的应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点P（与网格线的一个交点），连接，取格点T，连接交于点H，线段即为所求； （2）利用数形结合的思想，旋转度和平移，作出，即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， 证明：∠BAC=∠B+2∠E 【答案】 在△BCE中，∠1=∠B+∠E， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线， ∴∠1=∠2， 在△ACE中，∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E， 即：∠BAC=∠B+2∠E． 【解析】 【分析】在△BCE中，利用外角的性质，得∠1=∠B+∠E；利用角平分线的性质得，∠1=∠2；在△ACE中，利用外角的性质，得∠BAC=∠E+∠2，因为∠1=∠2，得∠BAC=∠E+∠1=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E．得证. 【详解】略 【点睛】本题目是一道证明题，主要是运用三角形外角的性质来证明.两次利用外角的性质，注意从不同的角度观察图形是解决问题的关键. 21. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分； （2） 证明：，， ． 平分， ， ． ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．涉及知识点较多，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识． 22. 数学模型学习与应用： （1）【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：； （3）【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【答案】（1），； （2） 证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得答案； （2）根据，求出，利用AAS证明△BDE≌△CFD即可得出结论； （3）根据，求出，利用AAS证明△ACD≌△CBE，得到，，再根据线段的和差可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∴DE，AE， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ， ， ， 又， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． 23. 如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． （2）则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】（1）； （2）当或时，是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）分情况讨论，由直角三角形的性质列方程即可求解． 【小问1详解】 解：能，∵为等边三角形， 根据题意得，， ， ． 时，为等边三角形， ， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ， 当时， ， ， ， 即， 解得； 当时，同理 即，解得． 综上所述：当或时，是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北岳中学2025——2026学年八年级第一学期期中学情监测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 3. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 4. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 6. 一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一块三角形玻璃摔成了三部分，要去玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是（ ）． A. 只带①去 B. 只带②去 C. 只带③去 D. 带①②去 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 已知与点关于x轴对称，则______． 12. 在中，，，_______． 13. 如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 14. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为___________． 15. 已知是等腰三角形，若为腰边上的高，当时，的度数是________． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 如图，在中，于点，于点E，、相交于点F，若，求的度数． 17. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 18. 如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 19. 如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． 请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）请画出的中线和高． （2）在线段右侧找到点F，使得． 20. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， 证明：∠BAC=∠B+2∠E 21. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：． 22. 数学模型学习与应用： （1）【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：； （3）【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______． 23. 如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． （2）则当t为何值时，是直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $