河南省新乡市辉县市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省新乡市辉县市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式一定是二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.若，则的值为(    ) A. B. C. 1 D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知一元二次方程有一个根为3，则k的值为(    ) A. 2 B. C. 4 D. 5.若两个相似三角形周长的比为1：8，则这两个三角形对应边的比是(    ) A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16 6.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(    ) A. B. 2a C. D. 7.如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断与相似的是(    ) A. B. C. D. 8.某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，的边OB在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移3个单位长度，得到，连接AC，DB，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10.如图，为等腰三角形，顶点A的坐标，底边OB在x轴上．将绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得，点A的对应点在x轴上，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.请写出的一个同类二次根式      . 12.一元二次方程的根的判别式的值是      . 13.长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为______. 14.如图，中，D是BC中点，AE平分，，，，则      . 15.如图，正方形ABCD的边长为4，，，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当______时，与相似． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题16分 计算：； 计算：； 解方程：； 解方程： 17.本小题8分 如图，已知， 若，，求CE的长； 求证： 18.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 若方程的一个根为，求a的值； 若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值. 19.本小题8分 如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB为，那么大树EF的高为多少？ 20.本小题8分 已知：三个顶点的坐标分别为，， 画出关于x轴对称的； 以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出 ①点的坐标为______. ②求的面积. 21.本小题8分 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆平行于的长方形花圃. 求： 当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由. 22.本小题9分 数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题： 已知，求的值.经过思考他们是这样解答的： ，，即， ， 请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题： ______； 计算按规律排列的式子：； 若，求的值. 23.本小题10分 综合与探究 如图，在中，，BD是边AC上的高，点P在边AC上从点C向点A移动，点Q在边AB上从点A向点B移动，连结PQ，P，Q两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为t s，， 求AB的长； 当的面积为时，求此时t的值； 当是等腰三角形时，请直接写出t的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、是二次根式，正确，符合题意； B、无意义，不是二次根式，不符合题意； C、的根指数是3，不是二次根式，不符合题意； D、当时，无意义，不是二次根式，不符合题意， 故选： 依据二次根式的定义求解即可． 本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：， ， ， 故选： 先利用内项之积等于外项之积得到，然后利用合比性质求解． 本题考查了比例的性质：熟练掌握常用的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 根据二次根式加减运算法则进行计算判断A和B，根据二次根式乘除运算法则进行计算判断C和 本题考查二次根式的运算，理解同类二次根式的概念，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键． 4.【答案】D  【解析】解：把代入方程得：， 移项合并得：， 解得： 故选： 把代入方程计算即可求出k的值． 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5.【答案】C  【解析】解：两个相似三角形的周长比为1：8，它们对应的相似比为1： 故选： 根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答． 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：由图可知，， ， 故选： 根据数轴得出，则，根据绝对值和二次根式的非负性，即可解答． 本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握相应的运算法则是关键． 7.【答案】D  【解析】解：，，∽，故该选项不符合题意； B.，，∽，故该选项不符合题意； C.，，∽，故该选项不符合题意； D.，而与不一定相等，不能使和相似，故该选项符合题意； 故选： 运用相似三角形的判定定理进行解答即可． 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：依题意得： 故选： 根据“每两支球队之间都要进行一场比赛，且共比赛21场”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：设， 由条件可知， 由平移的性质可知，， ， 由三角形面积公式可知：， ， ， 故选： 设，利用三角形面积公式求出n的值，再求出BC，可得结论． 本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是求出点A的纵坐标． 10.【答案】D  【解析】解：如图，过点A作于C，过点作于D， ， ，， 由勾股定理得，， 为等腰三角形，OB是底边， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ， 点的坐标为 故选： 过点A作于C，过点作于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得，，然后解直角三角形求出、BD，再求出OD，然后写出点的坐标即可． 本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 11.【答案】答案不唯一  【解析】解：的同类根式有、…答案不唯一 故答案为：答案不唯一 利用同类二次根式定义写出答案即可． 本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解本题的关键． 12.【答案】29  【解析】解：在中，，，， ； 故答案为： 根据一元二次方程的判别式列式计算即可． 本题考查一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握准确的计算． 13.【答案】  【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：表示瑞金的点的坐标为 故答案为： 由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案． 此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：延长BE交AC于F， 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，， ， 故答案为： 延长BE交AC于F，证明≌，根据全等三角形的中线得到，，进而求出FC，根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】解：， ， 又与以M、N、C为顶点的三角形相似， 分两种情况： ①CM与AD是对应边时，， ， 即， 解得：； ②CM与AE是对应边时，， ， 即， 解得： 综上所述：当CM为或时，与相似． 故答案是：或 根据，中，所以在中，分CM与AE和AD是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可． 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；主要利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解． 16.【答案】        【解析】解：原式 ； 原式 ； ， ， ， 则或， 所以； ， ， ， 则或， 所以 根据实数的运算法则进行计算即可； 根据实数的运算法则进行计算即可； 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及二次根式的混合运算，熟知二次根数的运算法则及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 17.【答案】解：由题意可知：， ， ， 即， ； 证明：， ， ， ，   【解析】先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； 根据，得出，根据，得出，即可得证． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 18.【答案】解：方程的一个根为， 将代入一元二次方程， 可得， ； 是一元二次方程， ， 方程有实数根， ， ， 且， 是正整数， ，3，  【解析】将代入一元二次方程即可求a； 由于根的存在性可得，再结合二次项系数，可求a的范围为且，即可求解． 本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键． 19.【答案】解：作于H，AH交CD于G点，如图， 易得，， ，， ， ， ∽， ，即，解得， ， 即大树EF的高为  【解析】作于H，AH交CD于G点，如图，利用判断∽，然后利用相似比计算出EH，从而得到EF的长． 本题考查了相似三角形的应用：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，然后利用三角形相似，对应边成比例解决问题． 20.【答案】  【解析】解：如图所示，即为所求． 如图所示，即为所求． ①由图知点的坐标为； ②的面积为 故答案为： 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再收尾顺次连接即可得； 根据位似变换的概念作出三个顶点在第一象限的对应点，再首尾顺次连接即可得； 由所作图形和割补法求解可得． 本题主要考查作图-位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念与性质，并据此得出变换后的对应点． 21.【答案】解：设花圃的一边AB为x m，BC的长可用含x的代数式表示为， 依题意有， 解得，； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 故当AB的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米； 不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ， 该方程没有实数根， 不能围成的花圃．  【解析】设花圃的一边AB为x m，BC的长可用含x的代数式表示为，令该面积等于63平方米，求出符合题意的x的值，即是所求AB的长； 不能，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即不能围成80平方米的花圃． 本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”． 22.【答案】 ；    【解析】由题意， 故答案为： 由题意，原式… 由题意，， ， ， ， 依据题意，把分子分母都乘以然后利用平方差公式计算； 依据题意，先分母有理化，然后同类二次根式即可； 依据题意，先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式然后再录音同样方法计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． 23.【答案】解：设，则， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 的长为13cm； 如图，过点Q作于点E， 是边AC上的高， ， ， ∽， ， 根据题意，得，，， ， ，的面积为， ， 解得，， 答：此时t的值为4或9； 是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得， ②当时，过P作于H， ，， ， ∽， ， ， 解得， ③，如图，过Q作于G， 则，， ∽， ， ， 解得， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或  【解析】设，则，根据勾股定理即可得到结论； 如图，过点Q作于点E，由BD是边AC上的高，得到，根据相似三角形的性质得到，根据题意得到，，，求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； ①当时，，②当时，过P作于H，③，如图，过Q作于G，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $