北京市第四十四中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年北京四十四中七年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数的倒数是(    ) A. 2 B. C. D. 2.近十年来，我国居民人均可支配收入从16500元增加到35100元.将35100用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 3.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.下列各组中的两项，属于同类项的是(    ) A. 与 B. 与18ba C. 与 D. 4m与4mn 6.下列各题去括号所得结果正确的是(    ) A. B. C. D. 7.下列关系中，成反比例关系的是(    ) A. 圆的面积一定，与的关系 B. 速度一定，行驶的路程与时间 C. 张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数和制作的时间 D. 平行四边形面积一定，它的底和高 8.下列等式变形错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9.小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10.如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有(    ) ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 11.比较大小：           12.已知：，，且，则          . 13.单项式的系数是______，次数是______. 14.用“四舍五入”法将精确到，所得到的近似数为      . 15.已知，则      . 16.多项式中，不含xy项，则______. 17.如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c，则化简的结果为      . 18.若每条棱上的小球数为m，则正方体上小球总数是      用含m的代数式表示 19.我国古代数学著《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为x尺，则可列方程为        . 20.对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下： ；且规定为大于1的整数 如，，，则        ，        . 三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题16分 ； ； ； 22.本小题5分 化简： ； 23.本小题6分 求的值，其中， 24.本小题8分 解方程： ； 25.本小题4分 张先生到某大楼办事，假定乘电梯向上一楼记为，向下一楼记为王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下单位：层：，，，，，， 请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼？ 该大楼每层高米，电梯每上或下1米需要耗电度.根据王先生现在所处的位置，你算一算，当他办事时电梯需要耗电多少度？ 26.本小题6分 已知， 化简； 当，，求的值； 若的值与b的取值无关，求a的值. 27.本小题7分 定义：关于x的方程与方程、b均为不等于0的常数称互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”. 若关于x的方程与方程互为“对立方程”，则______； 若关于x的方程与方程互为“对立方程”，求m、n的值； 若关于x的方程与其“对立方程”的解都是整数、求整数k的值. 28.本小题8分 已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段AB的长度.对于线段AB和数轴上的点C，给出如下定义： ，此时，我们称是点C和线段AB的极大距离. 例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，，且，所以 当数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C对应的数是1时，______. 当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是______. 当数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是数轴上的动点，的最小值是______. 已知数轴上P，Q两点表示的数分别为，3，P、Q两点同时沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，运动时间为t，数轴上M，N两点表示的数分别为4，8，那么线段MN上存在点R，使得最小，直接写出t的取值范围______. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：实数的倒数是： 故选： 直接利用倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案． 此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键． 2.【答案】C  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和a，n的值的取值要求是解题关键． 3.【答案】D  【解析】解：，故A选项计算错误，不合题意； ，故B选项计算错误，不合题意； 3a与2b不是同类项，不能合并，故C选项计算错误，不合题意； ，故D选项计算正确，符合题意； 故选： 根据合并同类项法则逐项判断即可得出答案． 本题考查同类项的定义，合并同类项的计算法则．多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，系数相加，字母及字母的指数不变，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：由数轴可知，， A、，故选项不正确，不符合题意； B、，故选项不正确，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项不正确，不符合题意； 故选： 根据数轴可得，据此逐一判断各选项即可． 本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴与实数的关系是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项A不符合题意； B.与18ba所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，选项B符合题意； C.与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项C不符合题意； D.4m与4mn所含字母不相同，不是同类项，选项D不符合题意； 故选： 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：根据去括号的方法可知， ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 故选： 根据去括号的方法逐一验证即可． 本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是”+“，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是”-“，去括号后，括号里的各项都改变符号． 7.【答案】D  【解析】解：A、圆的面积，与的关系不是反比例关系，故本选项不符合题意； B、行驶路程=速度时间，行驶的路程与时间不是反比例关系，故本选项不符合题意； C、制作的小红花朵数制作的时间，制作的小红花朵数和制作的时间不是反比例关系，故本选项不符合题意； D、平行四边形的底和高的积等于面积，平行四边形面积一定，底和高是反比例关系，故本选项符合题意． 故选： 根据反比例的定义解答即可． 本题考查了反比例的定义，掌握相关定义是解答本题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：等式的两边同时乘以2，，故A错误； 故选： 根据等式的性质即可求出答案． 本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 9.【答案】C  【解析】解：把代入，得 ， 解得■； 故选 根据方程的解是，把代入，解出方程即可． 本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键． 10.【答案】C  【解析】解：小长方形的较短的边长为4cm， 阴影A的较长边为，较短边为； 阴影B的较长边为 阴影A的较长边与小长方形的较长边相等， 小长方形的较长边为：小长方形的较短边为： ①正确； 阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为： ②错误； 阴影A和阴影B的周长和为： ， 若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值． ③正确； 阴影A和阴影B的面积和为： ， 当时， ， 当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． ④正确． 综上，正确的结论有：①③④， 故选： 利用图形求得阴影A，B的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影A，B的长与宽是解题的关键． 11.【答案】>  【解析】解：， 因为， 所以， 故答案为： 先求出各个数的绝对值，再比较绝对值的大小，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断即可． 本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 12.【答案】  【解析】解：，， ，， ， ，， ， 故答案为： 利用绝对值的定义和已知条件判断a、b的取值，再计算ab的值． 本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，解题的关键是掌握绝对值的定义及有理数的加法运算． 13.【答案】；3  【解析】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的数字因数即为系数，所有字母的指数和为，故次数是 故答案为：； 根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 14.【答案】  【解析】解： 即用“四舍五入”法将精确到，所得到的近似数为 故答案为： 把千分位上的数字6进行“四舍五入”即可． 本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 15.【答案】1  【解析】解：， ， 故答案为： 根据得出，然后整体代入求值即可． 本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用． 16.【答案】3  【解析】解： ， 多项式中，不含xy项， ， 解得 故答案为： 根据合并同类项法则、多项式的定义是解决本题的关键． 本题主要考查合并同类项、多项式，熟练掌握合并同类项法则、多项式的定义是解决本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：根据题意，得，， ，， 故答案为： 根据数轴上有理数的位置，绝对值的化简，合并同类项，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，绝对值的化简，合并同类项，熟练掌握数绝对值的化简是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：除8个顶点个有1个小球外，每一条棱上都有个小球，由于正方体有12条棱， 所以小球的总数为 故答案为： 根据正方体的形体特征以及圆点的摆放规律进行计算即可． 本题考查认识立体图形，掌握正方体的形体特征以及圆点的摆放规律是正确解答的关键． 19.【答案】  【解析】解：用绳索去量竿，绳索比竿长5尺， 绳索长为尺， 又将绳索对折去量竿，索子就比竿子短5尺， 故答案为： 根据绳索和竿子之间的关系，可得出绳索长为尺，根据“将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺”，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 20.【答案】   【解析】解：由题知， ，，，，…， 由此可见，为正整数 当，即时， 故答案为：， 根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及点的坐标，能根据题意得出为正整数是解题的关键． 21.【答案】        【解析】解： ； ； ； 先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； 从左到右计算即可； 根据乘法分配律计算即可； 先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法即可． 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22.【答案】    【解析】解： ； 合并同类项计算即可； 先去括号，然后合并同类项计算即可． 本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 23.【答案】解： ， ，， 原式  【解析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将x，y的值代入即可求解． 本题主要考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 24.【答案】  无解  【解析】去括号，得， 移项、合并同类项，得， 未知数的系数化1，得； 移项、合并同类项，得， 原方程无解． 按照解一元一次方程的步骤解答即可． 本题考查解一元一次方程，掌握其步骤是解题的关键． 25.【答案】王先生最后回到出发点1楼；   当他办事时电梯需要耗电度  【解析】由题意得：， 王先生最后回到出发点1楼； 层， 度， 当他办事时电梯需要耗电度． 把这些正数和负数全部相加，进行计算即可解答； 把这些正数和负数的绝对值全部相加，进行计算即可解答； 本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 26.【答案】；   ；    【解析】由条件可知 ； 由条件可知 ； ， 的值与b的取值无关， ， 将，代入中，然后去括号，合并同类项即可； 将中所得的结果进行变形，然后将，整体代入进行计算即可； 根据求出的答案，先把b提出来，再根据的值与b的取值无关，可求出a的值即可． 本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，整式加减中的无关型问题，正确运算是解题的关键． 27.【答案】； 将写成的形式， 方程与方程互为“对立方程”， ， 解得：； 关于x的方程与其“对立方程”， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， ， 解得：或  【解析】解：由题可知，关于x的方程与方程、b均为不等于0的常数称互为“对立方程”， 方程与方程互为“对立方程”， 故答案为： 将写成的形式， 方程与方程互为“对立方程”， ， 解得： 关于x的方程与其“对立方程”， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， ， 解得：或 根据“对立方程”的定义直接可得答案； 将“对立方程”组成方程组求解可得答案； 根据“对立方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 本题主要考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键． 28.【答案】3  5或     【解析】解：，B两点表示的数分别为，3，点C对应的数是1， ，， 故答案为：3； 点A表示的数为，点C对应的数是1， ， ， 点B对应的数是或 故答案为：5或； 点C是AB中点时，， 的最小值是， 故答案为：； 、Q两点同时沿数轴以每秒2个单位长度向右运动， ：，Q：， 中点表示的数是， 使得最小， 点R是PQ中点， 当时，； 当时，， 使得最小，t的取值范围 分别求出CA，CB的长即可求解； 由可知，然后分两种情况求解即可； 由点C是AB中点时，有最小值，求解即可； 由点R是PQ中点时，有最小值，然后求出临界值即可求解． 本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $