江苏省淮安市淮阴区阳光初级中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年江苏省淮安市淮阴区阳光中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，关于x的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 2.若，则下列变形错误的是(    ) A. B. C. D. 3.给出下列各组线段，其中成比例线段的是(    ) A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，4cm，5cm C. ，，， D. 1cm，，， 4.某社区青年志愿者小分队年龄情况如表所示： 年龄岁 18 19 20 21 22 人数 2 5 2 2 1 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(    ) A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁 5.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 6.春节期间，《中国诗词大会节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光，甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在了纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，D、E分别在AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是(    ) A. B. C. D. 8.过的顶点B的两条直线分三角形BC边上的中线所成的比AE：EF：：3：1，则这两条直线分AC边所成的比AG：GH：HC为(    ) A. 4：5：3 B. 3：4：2 C. 2：3：1 D. 1：1：1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是______. 10.从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是      . 11.某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的5：3：2的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80，70，75，则这位超市员工的总分为______. 12.甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，方差分别是、，且，则队员身高比较整齐的球队是          . 13.若a：b：：2：3，则______ 14.已知线段，，线段c是a，b的比例中项，那么c等于______. 15.点C是AB的黄金分割点，，则线段AC的长为______. 16.在中，，点D在直线BC上，，点E为AB边的中点，连接AD，射线CE交AD于点M，则的值为______. 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程： ； 18.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根，满足，求k的值． 19.  20.本小题8分 在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． 若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； 若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率要求画树状图或列表 21.本小题10分 苏州某工厂生产一批小家电，2019年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元. 这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率精确到 某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？ 22.本小题10分 已知：如图，，，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，，垂足为F，我们可以证明成立不要求考生证明 若将图中的垂线改为斜交，如图，，AD，BC相交于点E，过点E作交BD于点F，则： 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； 请找出，和间的关系式，并给出证明. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、，化简后为，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； B、，当时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； C、是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意； D、含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.【答案】D  【解析】解：， ， A.， ，故本选项不符合题意； B.， ，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意； 故选： 根据分式的性质可得，再逐个判断即可． 本题考查了分式的基本性质，能根据分式的性质求出是解此题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 故选： 根据成比例线段的定义逐项进行判断即可． 本题主要考查成比例线段的定义，掌握四条线段a、b、c、d构成比例线段的条件是满足a：：d是解题的关键 4.【答案】D  【解析】【分析】 众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解． 本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 【解答】 解：在这12名队员的年龄数据里，19岁出现了5次，次数最多，因而众数是19岁； 12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据都是19岁，因而中位数是19岁． 故选： 5.【答案】D  【解析】解：由题意可知：， ， 解得： 故满足条件的最小整数a的值是2， 故选： 根据根的判别式即可求出a的范围． 本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 6.【答案】B  【解析】解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能结果，其中他们选取的诗句恰好相同的结果有4种， 他们选取的诗句恰好相同的概率为， 故选： 画树状图列出所有等可能结果，从中找到他们选取的诗句恰好相同的结果数，根据概率公式计算可得． 此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7.【答案】D  【解析】解：A、，， ，， ， 故本答案错误； B、，， ，， ， ， ，故本答案错误； C、，， ，， ， ，故本答案错误； D、，， ，， ，故本答案正确． 故选： 根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关健． 8.【答案】B  【解析】解：如图，过点D作交BG、BH于点N、M， ，， ：EF：：3：1， ，， ，， 又是的中线， 点D是BC的中点， 点N是BG的中点，点M是BH的中点， ，， ，， ，， ，， ， ：GH：：：：4： 故选： 根据AD是中线得点D是中点，过点D作交BG、BH于点N、M，则N、M也是边BG与边BH的中点，然后根据平行线分线段成比例定理列式求出AG与AC的关系，CH与AC的关系，再求出GH与AC的关系，然后即可求出AG：GH：HC的比值． 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线等于第三边的一半的性质，作出平行线，用AC表示出AG、GH、HC是解题的关键，本题难度较大，灵活性较强，是道不错的好题． 9.【答案】  【解析】解：一组数据5，8，10，x，9的众数是8， 是8， 这组数据的平均数是， 这组数据的方差是： 故答案为： 根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 此题考查了众数、平均数和方差，掌握众数、平均数和方差的定义及计算公式是此题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差… 10.【答案】  【解析】解：从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A的概率是： 故答案为： 直接利用概率求法进而得出答案． 此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． 11.【答案】76  【解析】解：这位员工得分分 故答案为 运用加权平均数的计算公式求解． 本题考查了加权平均数的计算，注意平均数等于所有数据的和除以数据的个数． 12.【答案】乙  【解析】【分析】 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义作出判断即可． 【解答】 解：， 队员身高比较整齐的球队是乙， 故答案为：乙． 13.【答案】  【解析】解：由a：b：：2：3，可设，，， 故答案为： 设，，把a、b、c的值代入，求出即可． 本题考查了分式的化简求值，主要考查学生的计算能力． 14.【答案】8  【解析】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， 故答案为： 根据线段比例中项的概念a：：b，可得，即可求出c的值． 此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数． 15.【答案】或  【解析】解：①当时， 点C是线段AB的黄金分割点， ； ②当时， 点C是线段AB的黄金分割点， ， ； 综上所述，线段AC的长为或； 故答案为：或 分两种情况，根据黄金分割的定义即可得出答案． 本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 16.【答案】或  【解析】解：当D点在B点右侧时，如图： 过D作，交AB于点N， 则，， ∽， ， ， ， ， 为AB的中点， ， ， ， ，， ∽， ， ， ； 当D点在B点左侧时，如图： 过D作，交AB的延长线于点N， 则，， ∽， ， ， ， ， 为AB的中点， ， ， ， ，， ∽， ， ， 故答案为或 可分点D在B点的右侧和左侧两种情况，过D点作CE的平行线，通过两次证明三角形相似结合中点的定义可求解． 本题主要考查相似三角形的性质与判定，作适合的辅助线证明相似三角形是解题的关键． 17.【答案】    【解析】解：， ， ， 则或， 所以； ， ， ， 则， 所以 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18.【答案】解： ， 无论k为何实数，， ， 无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； 由根与系数的关系得出，， ， ， ， ， 化简得， 解得或  【解析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，， 根据根的判别式得出，据此可得答案； 先根据根与系数的关系得出，，由知，即，从而列出关于k的方程，解之可得答案． 19.【答案】    【解析】  20.【答案】解：若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好一黄一白的结果数为4， 所以两次摸出的球恰好一黄一白的概率  【解析】直接利用概率公式计算； 画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好一黄一白的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 21.【答案】解：设平均下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去 答：平均下降的百分率约为 设销售单价应为y元，则每台的销售利润为元，每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得： 答：销售单价应为125元．  【解析】设平均下降的百分率为x，根据2021年的出厂价年的出厂价下降率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论； 设销售单价应为y元，则每台的销售利润为元，每天的销售量为台，根据每天盈利=每台的利润每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及近似数和有效数字，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】成立． 证明： ； 关系式为： 证明如下：分别过A作于M，过E作于N，过C作交BD的延长线于K 由题设可得： 即 又，   【解析】由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； 要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 此题考查平行线分线段成比例定理的运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $