2.5直线与圆的位置关系培优练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.5直线与圆的位置关系培优练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册 一、单选题 1．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 2．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 5．的圆心在坐标原点，半径为，点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 6．已知的半径为，点在外，的长可以是（    ） A． B． C． D． 7．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应的读数是（　　） A．度 B．度 C．度 D．度 8．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是的直径，是的切线．若，则 度． 12．如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是 ． 13．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 14．如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 15．如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 16．如图，是的直径，点C是上一点，连接，，是的切线，点D是上一点，过点D作于点D，交于点F，交于点E． (1)如图1，当点D与点O重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，与交于点G，已知，，求的长． 17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）． 18．是的外接圆，是的直径，点D为上一点，过点D作，与的延长线交于点E，连接与交于点F． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若恰好切于点D，且，，求的半径和的长． 19．如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的直径． 20．如图，已知内接于，点在的延长线上，． (1)是的切线吗？说明理由； (2)若，，求的长； (3)在（2）的前提下，连接，则和有何数量关系？简要说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D B D C D A D 1．A 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 2．A 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．D 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点A到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点A在圆内，即可作答． 【详解】解：∵的圆心在坐标原点，点的坐标为， ∴ ∵半径为，且，， ∴， ∴点在内， 故选：B 6．D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，由点在外，的半径为，则有，故选项中符合题意，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在外，的半径为， ∴， 选项中符合题意， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了圆周角定理，点和圆的位置关系，连接，由，易得点共圆，然后由圆周角定理可得点在量角器上对应的读数，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴在以点为圆心，为直径的圆上， ∴点共圆， ∵， ∴， ∴点在量角器上对应的读数是， 故选：． 8．D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 9．A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 10．D 【分析】本题考查切线的判定，根据切线的判定方法，结合各选项中给出的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； B、∵，是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； C、、，， 是△的中位线， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 11． 【分析】本题考查了切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用切线的意义，得到，再根据三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， ∵是的直径，是的切线， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理和的余弦值即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 13． 【分析】本题重点考查切线的性质，圆的切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，熟练掌握定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，即可求出的周长，即可完成求解． 【详解】解：∵、分别切于、， ∴， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：16． 14．9 【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 15．①③ 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质． 延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得，结合可判断②． 【详解】解：延长交于点H，连接， 由作图过程可知平分，则， ∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分，即垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故②错误； 则正确的结论有①③． 故答案为：①③． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． （1）连接，由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即． （2）过点O作于点H，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点O作于点H， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 17．(1) (2)见解析 【分析】本题考查考查了复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质画图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 证明：如图，取格点，连接，设圆的圆心为，连接， 根据图形可得， ， ， ， ， 由作图可得且，点分别为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的垂直平分线， ， 所对的圆心角是， ， 为等边三角形； 由作图可得， ， ， , ， ， ， ， 即， 为圆的切线． 18．(1)， (2)半径为； 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）连接并延长交于H，由（1）知，根据切线的性质得到，根据矩形的性质得到，根据等腰三角形的性质的得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于H， 由（1）知， ∵恰好切于点D， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)8 【分析】此题主要考查了角平分定理、等边对等角、圆切线的判定及勾股定理等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． （1）由角平分线定理得，又，可得，结合即可证明即可证明； （2）在中，利用勾股定理求出半径，进而得到的直径． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ，且为的半径， 直线是的切线． （2）解：由（1）得，，为的半径， 在中，由勾股定理， 的直径为8． 20．(1)是，理由见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及垂径定理．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）首先连接，由，可求得，，继而可证得是的切线； （2）由，，根据垂径定理，可得，易得是等边三角形，可求得的长，继而求得答案； （3）首先连接，由（2）可得和是等边三角形，，继而证得结论． 【详解】（1）解：是的切线． 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴由（2）可得和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $