2.5直线与圆的位置关系同步练习 2025-2026学年苏科版（2012）九年级数学上册

2.5 直线与圆的位置关系 同步练习题 一、单选题 1．在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 2．如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（    ） A． B． C．2 D． 3．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 5．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，分别与相切于两点，点在优弧上，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 9．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知是的切线，切点为A，连接交于D，点C在上，设，，则α，β满足的关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的直径，点C在上，过点C的切线交的延长线于点D，连接，若，则的大小是 用含的式子表示 12．如图，在的边上取点，以点为圆心，为半径作交于点，此时恰为的切线，为切点．若则的长为 ． 13．如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 15．如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为 ． 三、解答题 16．如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 (1)在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； (2)点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 18．如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 19．如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.5 直线与圆的位置关系 同步练习题 2025-2026学年苏科版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B B D D A A 1．B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．通过计算圆心到y轴的距离，与半径比较，判断圆与y轴的位置关系，即可作答． 【详解】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，，，可知，故在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可表示出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵为的切线，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得 , ∴ 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，，根据切线的性质求出，根据四边形的内角和为求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，分别与相切， ∴， ∵， ∴． ∴ 故选：B． 7．D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴， 又， ∴， ∴， 故选D． 8．D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选D 9．A 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：连接，作于点， ∵是的直径，点在上，， ， 是等边三角形， ， 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是四个全等的等边三角形，边长均为2， ∵， ∴， ∵ ∴弓形的面积弓形的面积， 图中阴影部分的面积为等边三角形的面积， 即图中阴影部分的面积为， 故选：A． 10．A 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 连接，在外的上找一点，连接，根据切线的性质得出直角三角形，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质列出算式即可． 【详解】解：如图，连接，在外的上找一点，连接， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 根据圆内接四边形的性质得，， ∴， ∴， 故选：A． 11． 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先根据圆周角定理可得：，再利用切线的性质可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ， ， 与相切于点， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了圆的切线的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等，关键是利用切线的性质连辅助线； 连接，在直角三角形中，利用勾股定理求的长． 【详解】解：连接， ∵为的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．10 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为： ， ． 故答案为：10． 14． 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 设直线的解析式为，当直线与圆相切时切点为C，连接，则，由于直线与x轴正方向夹角为，所以是等腰直角三角形，故，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解： ∵直线与x轴正方向夹角为， ∴设直线的解析式为，切点为C，连接， ∴， ∵的半径为1， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，， ∴． 15． 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质与判定，掌握“定角定弦”的隐圆模型是解题的关键． 延长至点N，使得，连接，过点E作，通过面积计算证明四边形的面积与的面积相等，同时根据条件可知始终都在同一个大小不变的圆上，画出对应的圆，根据图形即可求出面积的最大值，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点N，使得，连接，过点E作， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是梯形，面积为 又，， 始终都在同一个大小不变的圆上，如下图 根据图形可知当C点刚好在的垂直平分线上，即时，此时为等边三角形，面积最大，最大为，同时四边形的面积也最大，为． 故答案为：． 16．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理，证得，根据等腰三角形的性质，证得，进而证得； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即 是直径， ，即 ； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 17．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了作垂线，角平分线，切线的判定和性质； （1）构造正方形，作直线，即可； （2）连接，过点作的垂线，作的角平分线，分别交于点，延长交于点，则，根据圆的对称性可得，则弦，，即为所求． 【详解】（1）如图，点即为所求； （2）如图，线段，即为所求． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ； （2）证明：连接，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3）解：过点作于点，   ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 20．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． （2）当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． （3）如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $