专题15轴对称(15大题型+知识点梳理+题型精讲)2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义通过表格对比、思维导图系统构建轴对称单元知识体系，涵盖轴对称图形与成轴对称的区别联系、性质应用、折叠问题、等腰三角形及最短路径等核心内容，清晰呈现知识点内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法提炼，如折叠问题“标对应边角-用全等性质-列方程求解”四步法，最短路径“作对称-连线段”转化策略，培养几何直观与推理能力。典例结合跟踪训练适配不同学生，助力教师实施精准复习与学生自主提升。

专题15轴对称 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称图形的特征判断 3.成轴对称特征的应用求解 4.轴对称中的折叠问题 5.线段垂直平分线的性质应用 6.轴对称图形的绘制方法 7.坐标与图形变化--轴对称 8.轴对称中的线段问题 9. 轴对称相关的角度计算问题 10. 等腰三角形的“等边对等角”性质 11. 等腰三角形的“三线合一”性质 12. 含30度角的直角三角形性质 13. 等腰三角形的性质和判定方法 14. 等边三角形的判定和性质 15. 轴对称中的最短路径问题 【知识点01】轴对称的基本概念 1.轴对称图形 *定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线是对称轴。 注意：对称轴是直线；一个图形可有多条（如圆有无数条）。 2.两个图形成轴对称 *定义：把一个图形沿某直线折叠后，与另一个图形重合，这两个图形成轴对称，直线是对称轴，重合点是对称点。 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 项目 轴对称（两个图形） 轴对称图形（一个图形） 图形个数 2 个 1 个 对称轴位置 可在图形外 / 内 / 公共边 一定经过图形本身 对称轴数量 只有 1 条 1 条 / 多条 / 无数条 联系 1.成轴对称的两图看作整体→轴对称图形； 2.轴对称图形分两部分→成轴对称 【知识点02】轴对称的性质 一.核心性质（成轴对称的图形 / 轴对称图形） 1.对应关系 *对应点：任意一对对应点所连线段，被对称轴垂直平分（对称轴是对应点连线的垂直平分线）。 *对应线段：长度相等，对应线段所在直线与对称轴的夹角相等。 *对应角：大小相等。 2.图形全等性 *成轴对称的两个图形全等（形状、大小完全相同）； *轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。 二、轴对称变换的性质 将一个图形进行轴对称变换（沿某直线折叠）： *变换后图形与原图形全等； *变换后图形上的每一点，都是原图形对应点的对称点； *变换不改变图形的形状、大小，仅改变位置。 三、特殊图形的轴对称性质（延伸） *线段：有 2 条对称轴（自身所在直线、垂直平分线）； *角：有 1 条对称轴（角平分线所在直线）； *等腰三角形：有 1 条对称轴（底边上的高所在直线）； *等边三角形：有 3 条对称轴（各边上的高所在直线）。 【知识点03】轴对称图形的特征 核心特征 1.存在 “一条直线”（对称轴） 图形内部（或经过图形）存在一条直线（对称轴），是折叠的参照线。 2.折叠后 “两部分重合” 沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合（形状、大小均一致）。 延伸特征（由核心推导） *对应元素相等：折叠后重合的线段长度相等、重合的角大小相等； *对称轴的 “垂直平分” 作用：对称轴是图形上任意一组 “折叠重合点（对称点）” 所连线段的垂直平分线； *对称轴数量：一个轴对称图形可能有 1 条、多条甚至无数条对称轴（如圆有无数条）。 【知识点04】折叠问题 “折叠问题” 是轴对称章节的高频考点，本质是利用轴对称的全等性 + 对应关系解题，核心思路和常见类型如下： 一、折叠问题的核心逻辑 折叠过程 =轴对称变换→折叠前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴（对应点连线的垂直平分线）。 二、常见折叠类型及解题要点 1. 矩形 / 正方形折叠 *常考：边的长度、角的度数、重叠部分面积。 *方法：设未知数（如设某线段为x），利用 “折叠后对应边相等” 列方程，结合矩形对边相等、直角等性质求解。 2.三角形折叠 *常考：等腰 / 直角三角形折叠后求边长、角度。 *方法：标记 “折叠前后的对应边、对应角”，利用 “等边对等角”“三角形内角和” 计算角度；用勾股定理 / 相似求边长。 3.角的折叠 *常考：折叠后求重叠角的度数。 *方法：利用 “折叠前后对应角相等”，结合平角 / 周角的度数计算。 三、解题步骤总结 标： 标记折叠前后的对应边、对应角； 用： 利用 “全等→对应边 / 角相等” 转化已知条件； 列： 结合勾股定理、三角形内角和等列方程 / 算式； 验： 验证结果是否符合图形实际边长 / 角度范围。 【知识点05】轴对称的操作应用 1.画轴对称图形 步骤： 1 找原图形的特殊点（如线段端点）； 2 画各点的对称点； 3 连接对称点。 2.坐标与轴对称 *点(x,y)关于x轴对称：(x,−y)； *点(x,y)关于y轴对称：(−x,y)； *坐标系中画图：计算对称点坐标→描点→连接。 【知识点06】线段垂直平分线 定义：经过线段中点且垂直于线段的直线。 性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等（P在垂直平分线上→PA=PB）。 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（PA=PB→P在垂直平分线上）。 【知识点07】等腰三角形 一.核心定义 两边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为“腰”，另一条边称为“底边”；两腰的夹角称为“顶角”，腰与底边的夹角称为“底角”。 二、关键性质 (1)等边对等角：等腰三角形的两底角相等（若AB=AC，则∠B=∠C）。 (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（均为同一条线段，是等腰三角形的对称轴）。 (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，仅有1条对称轴（即“三线合一”对应的线段所在直线）。 (4)其他延伸：两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线分别相等。 三、判定方法 (1)定义法：直接判定三角形中有两条边相等。 (2)等角对等边：若一个三角形的两个角相等，则这两个角所对的边也相等（若∠B=∠C，则AB=AC）。 易错要点 1.“三线合一”仅适用于“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的中线/高与顶角平分线不重合。 2.判定时需注意“等角对等边”的前提是“同一三角形内”。 3.等腰三角形的顶角可为锐角、直角或钝角，但底角一定是锐角（三角形内角和为180°）。 【知识点08】等边三角形 1、 核心定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形（也称为正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，其三条边均可看作“腰”，三个角均为“底角”。 二、关键性质 1.边的性质：三条边长度相等（若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC）。 2.角的性质：三个内角均相等，且每个内角都等于60°（∠A=∠B=∠C=60°）。 3.对称性：是轴对称图形，有3条对称轴，每条对称轴均为某条边上的“三线合一”线段（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）所在直线。 4.延伸性质：具备等腰三角形的所有性质，且“三线合一”特性适用于三条边对应的每一组角与线段；任意边上的高、中线、角平分线长度都相等。 三、判定方法 1.定义法：直接判定三角形的三条边都相等。 2.角度判定法：三个内角都相等的三角形（三个角均为60°）是等边三角形。 3.特殊等腰判定法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（注意：需先明确三角形是等腰三角形，再补充一个60°角的条件） 易错与注意要点 1.等边三角形的“三线合一”适用于三条边，不同于普通等腰三角形仅适用于底边，需注意区分适用范围。 2.用“有一个角是60°的等腰三角形”判定时，需先确认三角形是等腰三角形（即有两条边相等或两个角相等），不可直接由“一个角是60°”判定为等边三角形。 3.等边三角形的高、中线、角平分线重合且长度相等，计算时可利用勾股定理（高h = (√3/2)×边长）快速求解 .【知识点09】含30度角的直角三角形 1、 核心定义 定义：有一个内角为30°的直角三角形（另一个内角为60°），是特殊直角三角形。 二、核心性质（高频考点） 核心性质：30°角所对的直角边 = 斜边的一半 符号表示：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°→BC=1/2 AB（BC为30°角对边，AB为斜边）；反之，若直角边=1/2斜边，则该边对角为30°。 三、延伸结论 1.三边比例：30°对边:60°对边:斜边 = 1:√3:2（设30°对边为a，则斜边2a，60°对边 a） 2.与等边三角形关联：两个全等的此类三角形可拼成一个等边三角形 四、常见应用场景 1.求边长：已知斜边或30°对边，可快速求其他边（结合勾股定理验证） 2.角度判定：已知直角三角形中一条直角边是斜边的一半，可直接判定该直角边所对的角为30°。 3.折叠/对称问题：结合轴对称性质，转化线段长度求未知边、角 易错要点 适用前提：仅直角三角形有效，非直角三角形不适用 对应关系：注意是“30°角所对的直角边”，不可混淆60°角对边 计算注意：根号需化简，必要时取近似值（√3≈1.732） 【知识点10】最短路径问题 一.核心原理 利用轴对称变换，将“直线同侧两点到直线上某点的距离和”转化为“直线异侧两点间的线段长度”（两点之间，线段最短），从而找到最短路径。 二、常见题型及解题方法 题型1：直线异侧两点（基础型） 条件：点A、点B在直线l异侧，在l上找一点P，使PA+PB最短。 解法：直接连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求点P。 依据：两点之间，线段最短。 题型2：直线同侧两点（核心型） 条件：点A、点B在直线l同侧，在l上找一点P，使PA+PB最短。 解法：1. 作点A关于直线l的对称点A'（或作点B的对称点B'）；2. 连接A'B（或AB'），线段A'B与直线l的交点即为所求点P；3. 此时PA+PB=A'B，即为最短距离。 依据：1. 轴对称性质：PA=PA'（对称点到直线上同一点距离相等）；2. 两点之间，线段最短。 题型3：两直线间一点（变式型） 条件：点P在两条相交直线l、m之间，在l上找一点A，m上找一点B，使PA+AB+BP最短。 解法：1. 分别作点P关于直线l的对称点P1、关于直线m的对称点P2；2. 连接P1P2，线段P1P2与l的交点为A，与m的交点为B；3. 此时PA+AB+BP=P1P2，即为最短距离。 三、解题步骤总结 1.判位置：判断点与直线的位置关系（同侧/异侧）； 2.作对称：将同侧点转化为异侧点（作其中一点的轴对称点）； 3.连线段：连接对称点与另一点，找与直线的交点； 4.定路径：交点即为最短路径的关键点，对应线段长度为最短距离。 注意要点 1.作对称点时，必须确保是关于指定直线的对称点，对称轴不能找错； 2.最短路径的长度是转化后线段的长度，而非原两点到交点的距离直接相加（需利用轴对称性质转化后计算）； 3.实际问题（如牧马饮水、造桥选址）可先抽象为几何图形，再用上述方法求解。 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：符合轴对称图形的是D选项； 故选D． 【跟踪训练1】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【跟踪训练2】以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 题型2.成轴对称图形的特征判断 【典例】如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接对应点的线段被对称轴 ． 【答案】垂直平分 【分析】直接利用轴对称的性质求解． 【详解】解：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 【点睛】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． .【跟踪训练1】已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分求解即可 【详解】解：与点关于直线l对称， 线段被直线l垂直平分， 故选：B 【跟踪训练2】．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，垂直平分， ∴，， 综上可知：①②④正确，③错误， 故选：C． 题型3.成轴对称特征的应用求解 【典例】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上，连接和．则关于和的关系，下面表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，两个图形的对应线段，对应角，分别相等，由此即可解决问题． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴， ∴，故选项A正确， 无法得到和的数量关系，故选项B，C，D错误． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形内角和定理，根据对称得到的度数，用三角形内角和为求解． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ． 故选：B． 【跟踪训练2】如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型4.轴对称中的折叠问题 【典例】如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，掌握折叠的性质是解题的关键；根据折叠的性质得，再由第2次折叠得到，于是把两式相加即可求解，再由即可求解． 【详解】解：纸条沿折叠， ， 纸条再沿折叠并压平， ， ， ， ， ， 纸条沿折叠并压平， ， ∴， 故选：B． 【跟踪训练1】如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠可得，，即得，进而根据的周长即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：． 【跟踪训练2】如图，中，在上，将沿翻折得到，设，，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质，平角、周角定义，由折叠性质可知，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5.线段垂直平分线的性质应用 【典例】如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图的识别与基本性质，涉及垂直平分线的定义、性质与尺规作图痕迹的理解，解题的关键是通过观察尺规作图的痕迹，正确判断所作线段的性质，特别是线段垂直平分线的判定与性质（垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等），并能识别出图形中哪些结论是必然成立的，从而找出错误的说法． 【详解】解：根据作图痕迹判断出， 是的垂直平分线， 选项A、∵是的垂直平分线，∴，选项A正确，不符合题意； 选项B、∵是的垂直平分线，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，∴，选项B正确，不符合题意； 选项C、错误，符合题意； 选项D、∵是的垂直平分线，∴，选项D正确，不符合题意； 故选C． 【跟踪训练1】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O．若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，连接，根据，，可得：，根据可证，可得：，同理可证：，从而可证：，即可得到：． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 故答案为：6． 【跟踪训练2】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，若的周长为，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． 题型6.轴对称图形的绘制方法 【典例】如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，解决本题的关键是根据不同的对称轴来确定点的位置． 根据轴对称图形的性质，分类讨论不同的对称轴求解即可． 【详解】解：情况1： 情况2： 情况3： 综上，符合条件的点共有3个． 故选：B． 【跟踪训练1】如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（    ）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【详解】如图所示，共有4种平移方法．    故选：C 【点睛】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义． 【跟踪训练2】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质画出图形即可：    题型7.坐标与图形变化-轴对称 【典例】已知点P关于x轴对称的点的坐标是，则点P关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，掌握关于y轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变是解题的关键． 先求出点P的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点P关于x轴对称的点的坐标是， ∴点P的坐标为 ∴点P关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称图形性质，点坐标特点等．根据题意可知点关于直线对称，继而再利用的坐标，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴设点的坐标为， ∴，即：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪训练2】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系． 根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案． 【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合． 故选：D． 题型8.轴对称中的线段问题 【典例.】如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 【跟踪训练1】某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题．根据轴对称分析即可得到答案． 【详解】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 【跟踪训练2】如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【答案】16 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键 根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．可得，，根据三角形周长的定义即可解答． 【详解】点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M， ，， ∵的周长， ， ， 故答案为：16． 题型9.轴对称相关的角度计算问题 【典例】如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 【答案】50 【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值； 【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， ∵AM=AM， ∴△AME≌△AMN， ∴ME=MN， ∴BM+MN=BM+ME≥BE． ∵BM+MN有最小值． 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC， ∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°； 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数． 【跟踪训练1】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 【跟踪训练2】如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 【答案】D 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可． 【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N， ∴，，， 根据轴对称的性质可得，， ∴的周长的最小值为长度， 由轴对称的性质可得， ∴等腰中， ， ∴ ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 题型10.等腰三角形的“等边对等角”性质 【典例】如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、圆的性质，熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，利用圆的性质得到，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，从而求出的度数． 【详解】解：在中，， 故选：C． 【跟踪训练1】如图，分别是的中线和角平分线，相交于点F．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义； 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的中线，，， ，． 是的角平分线， ， ∴． 故选C． 【跟踪训练2】已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 题型11.等腰三角形的“三线合一”性质 【典例】如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点F，连接，下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，逐项判断，即可求解． 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：若， 为中线， ， 为BC边上的高线，且三角形的三条高线交于一点， ， 故A正确； 若， 为边上的高线， ， 为边上的中线， 故， ， ， ， ， 故B正确； 若， 点F是的三条垂直平分线的交点， ，， 由题意可得：，，即， 点F是的三条角平分线的交点， 是的角平分线， ， 故C正确； 若， 为边上的高线，为边上的中线， 无法得到点F的位置，无法得到与的关系． 故D错误； 故选：D 【跟踪训练1】老君台，又名升仙台、拜仙台，原为明道宫的一部分，是河南省鹿邑县的国家级景区．如图①是老君台正殿梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的三线合一直接进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为5． 【跟踪训练2】如图，在中，，是的平分线，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是利用面积法求高的值； 由等腰三角形三线合一可得，过点作交于点，当重合时的值最小，最小值为的长度． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴过点作交于点，当重合时的值最小，最小值为的长； ∵，， ∴， ∴的值最小值为：， 故答案为：． 题型12.含30度角的直角三角形性质 【典例】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，在中，平分，，点，分别在，上，则的最小值等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短，垂线段最短的性质，直角三角形的性质．作点关于的对称点，连接，，作于点，得到，求得的最小值等于的长，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴作点关于的对称点，连接，，作于点， ∴， ∴， ∴的最小值等于的长， ∵，，， ∴， 故答案为：6． 【跟踪训练2】如图，中，，，于H，若，则（    ）． A．3 B．6 C．12 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义. 根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 题型13.等腰三角形的性质和判定方法 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出各角的度数，再根据等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵，， 是等腰三角形，， 是的角平分线， ， ， ∴， 是等腰三角形． ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【跟踪训练1】已知B，C为直线上两点，点A不在直线上，连，取中点M，点N为线段上一动点，作直线，若点A关于直线的对称点D刚好落在直线上，连，，，则的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，先求出的度数，再分当点D与点B重合时，当点D在延长线上时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，当点D与点B重合时， 由轴对称的性质可得， ∴； 如图所示，当点D在延长线上时， 由轴对称的性质可得， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 【跟踪训练2】如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 题型14.等边三角形的判定和性质 【典例】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，则此时两点之间的距离是（    ） A．8 B．12 C．18 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据题意，易得为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，为等边三角形， ∴，即两点之间的距离是18； 故选C． 【跟踪训练1】如图，已知：，点、、在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， 同理可得：， ∴， ， ， …， 则的边长为． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，在等边中，平分的一个外角，的垂直平分线交于点，交线段于点．连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分定义，由是等边三角形，得，则，根据角平分线定义得，又的垂直平分线，则，可得是等边三角形，再通过等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 题型15.轴对称中的最短路径问题 【典例】如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 【跟踪训练1】如图，在中，，，于点，，、分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握“将军饮马”数学思想是解题的关键，根据“将军饮马”数学思想得到的最小值为的长，再利用三角形的面积不变性列式子，即可求得的长，从而得到答案． 【详解】解：过点作，交于，如图： ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值为， ∵的面积不变，且， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 【跟踪训练2】如图，在中，，D是中点，P是上一动点，当最短时，的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查轴对称-最短路径问题、轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识， 作点C关于的对称点E，连接交于F，则，连接交于P，则此时最短，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：作点C关于的对称点E，连接交于F， 则， 连接交于P，则此时最短， 连接， ∵D是中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 一.单选题. 1．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 2．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 3．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 4．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 5．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 6．如图，等腰三角形纸片中，平分．小花放入一张等边三角形纸片，在上，为与的交点，过点作．小花量得，那么的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．21 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键。 先证明,推断出,,,，继而证明是等边三角形，推导出,则，即可解答. 【详解】解：∵平分， ∴, ∵是等边三角形， ∴,, ∴, ∴, ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴, ∵ ∴, ∴. 故选C. 7．如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由折叠的性质可得，易得是线段的垂直平分线，即可判断①； 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，进而，即可判断②；先说明，再运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差可判断③；先证明可得，再说明，即边上的高为，如图：过F作，则四边形是矩形，即，易得边上的高为，无法得到，据此可判断④． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处，连接． ∴， ∴是线段的垂直平分线，即，故①正确； ∵在等边中，， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即③正确； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴边上的高为， 如图：过F作，则四边形是矩形，即， ∴边上的高为， ∵无法得到， ∴无法得到，即无法得到，故④错误． 综上，正确的有3个. 故选B． 二.填空题 8．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”， 则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 9．如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接利用轴对称图形的性质得出，，进而结合已知得出答案． 【详解】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ， 则的度数为：． 故答案为：． 10．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___________． 【答案】70°/70度 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质确定，利用平行线性质得到、的度数进行求解即可． 【详解】解： 由折叠的性质得，， ． 故答案为：． 11．光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，三角形内角和定理，根据镜面反射原理，入射角等于反射角得出，，，根据三角形内角和是，即可求解． 【详解】解：如图：分别过入射点做垂线，根据结合反射定律可知，，， 故，，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 12．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，， cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 13．如图，在坐标系中，，在轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，作线段的垂直平分线等知识，分三种情况∶∶以A为圆心，为半径画弧，与x轴有2个交点(除B外的1个，加上可能的另一个)；：以B为圆心，为半径画弧与x轴有2个交点；3．：作的垂直平分线，与x轴有1个交点．这三种情况结合，这样的点C共有4个． 【详解】解：如下图：C点共有4个： 故答案为：4. 14．已知，如图，在中，，，，点D在边上运动，连接，将沿着翻折，点B落在点E处，连接．当时，的长为 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查了翻折，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，根据翻折得出，，根据平行线的性质得出，，等量代换得出，根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵翻折， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 三.解答题 15．如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交边于点D，交边于点E，连接，若，，． (1)求的周长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）由折叠性质得，，则，，根据的周长为得，进而得，由此可得的周长； （2）先利用三角形内角和定理求出，由折叠性质得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：， 由折叠性质得：，， ，， 的周长为， ， ， 的周长为：； （2）解：在中，， 由三角形内角和定理得：， 由折叠性质得： ． 16．如图，点，均在内部，请用尺规作图法在内部求作一点，使得点到和的距离相等，且点到点和点的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规基本作图−作角平分线 、作线段的垂直平分线，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，作的平分线和线段的垂直平分线，两线相交于点P，即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求， ． 17．如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 18．已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 19．在平面直角坐标系中，已知点，对于点P、实数t和非零实数m，给出如下定义：过点作x轴的垂线l，过点P作点P关于直线l的对称点Q；若，将点Q向上平移个单位得到点R，若，将点Q向下平移个单位得到点R；我们称点R为点P的“滑移反射点”．例如，已知，当，时，点，点P的滑移反射点R的坐标为． (1)已知点， ①当，时，则点M的“滑移反射点”坐标为______． 已知点是点M的“滑移反射点”，则______． ②如果点R是点M的“滑移反射点”，且点R在第一象限，是等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的t值：______． (2)已知，，，上任意一点的“滑移反射点”组成的图形记为图形G；如果存在t，m，使图形G与有且只有一个公共点，直接写出符合条件的t的取值范围：______． 【答案】(1)①；；②或或； (2) 【分析】（1）①根据“滑移反射点”的定义即可求解；②根据等腰直角三角形的定义，分3类情况讨论，、、，利用全等三角形的性质与判定求出的坐标，再结合“滑移反射点”的定义即可求解； （2）求出点分别关于直线对称点的坐标，由题意可知图形G可以通过上下平移得到，再结合图形G与有且只有一个公共点，列出关于t的不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：①过点作x轴的垂线l为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴点向上平移1个单位得到， ∴点M的“滑移反射点”坐标为； 由题意得，点的“滑移反射点”坐标为， ∵点是点M的“滑移反射点”， ∴， 解得； 故答案为：；； ②当时， 如图，作轴于点，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 由①得，点的“滑移反射点”坐标为， ∴， 解得； 当时， 如图，作轴于点，作轴于点， 同理可证， ∴，， ∴， 由①得，点的“滑移反射点”坐标为， ∴， 解得； 当时， 同理可证， ∴，， 设点的坐标为， 则， 解得， ∴， 由①得，点的“滑移反射点”坐标为， ∴， 解得； ∴综上所述，符合条件的t值为或或； 故答案为：或或； （2）解：∵，，， ∴，轴， 点关于直线的对称点坐标为， 点关于直线的对称点坐标为， 点关于直线的对称点坐标为， 由题意得，图形G可以通过上下平移得到， ∵图形G与有且只有一个公共点， ∴与至少有一个公共点， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，求不等式组的解集，理解“滑移反射点”的定义是解题的关键．本题属于坐标与图形综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15轴对称 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称图形的特征判断 3.成轴对称特征的应用求解 4.轴对称中的折叠问题 5.线段垂直平分线的性质应用 6.轴对称图形的绘制方法 7.坐标与图形变化--轴对称 8.轴对称中的线段问题 9. 轴对称相关的角度计算问题 10. 等腰三角形的“等边对等角”性质 11. 等腰三角形的“三线合一”性质 12. 含30度角的直角三角形性质 13. 等腰三角形的性质和判定方法 14. 等边三角形的判定和性质 15. 轴对称中的最短路径问题 【知识点01】轴对称的基本概念 1.轴对称图形 *定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线是对称轴。 注意：对称轴是直线；一个图形可有多条（如圆有无数条）。 2.两个图形成轴对称 *定义：把一个图形沿某直线折叠后，与另一个图形重合，这两个图形成轴对称，直线是对称轴，重合点是对称点。 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 项目 轴对称（两个图形） 轴对称图形（一个图形） 图形个数 2 个 1 个 对称轴位置 可在图形外 / 内 / 公共边 一定经过图形本身 对称轴数量 只有 1 条 1 条 / 多条 / 无数条 联系 1.成轴对称的两图看作整体→轴对称图形； 2.轴对称图形分两部分→成轴对称 【知识点02】轴对称的性质 一.核心性质（成轴对称的图形 / 轴对称图形） 1.对应关系 *对应点：任意一对对应点所连线段，被对称轴垂直平分（对称轴是对应点连线的垂直平分线）。 *对应线段：长度相等，对应线段所在直线与对称轴的夹角相等。 *对应角：大小相等。 2.图形全等性 *成轴对称的两个图形全等（形状、大小完全相同）； *轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。 二、轴对称变换的性质 将一个图形进行轴对称变换（沿某直线折叠）： *变换后图形与原图形全等； *变换后图形上的每一点，都是原图形对应点的对称点； *变换不改变图形的形状、大小，仅改变位置。 三、特殊图形的轴对称性质（延伸） *线段：有 2 条对称轴（自身所在直线、垂直平分线）； *角：有 1 条对称轴（角平分线所在直线）； *等腰三角形：有 1 条对称轴（底边上的高所在直线）； *等边三角形：有 3 条对称轴（各边上的高所在直线）。 【知识点03】轴对称图形的特征 核心特征 1.存在 “一条直线”（对称轴） 图形内部（或经过图形）存在一条直线（对称轴），是折叠的参照线。 2.折叠后 “两部分重合” 沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合（形状、大小均一致）。 延伸特征（由核心推导） *对应元素相等：折叠后重合的线段长度相等、重合的角大小相等； *对称轴的 “垂直平分” 作用：对称轴是图形上任意一组 “折叠重合点（对称点）” 所连线段的垂直平分线； *对称轴数量：一个轴对称图形可能有 1 条、多条甚至无数条对称轴（如圆有无数条）。 【知识点04】折叠问题 “折叠问题” 是轴对称章节的高频考点，本质是利用轴对称的全等性 + 对应关系解题，核心思路和常见类型如下： 一、折叠问题的核心逻辑 折叠过程 =轴对称变换→折叠前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴（对应点连线的垂直平分线）。 二、常见折叠类型及解题要点 1. 矩形 / 正方形折叠 *常考：边的长度、角的度数、重叠部分面积。 *方法：设未知数（如设某线段为x），利用 “折叠后对应边相等” 列方程，结合矩形对边相等、直角等性质求解。 2.三角形折叠 *常考：等腰 / 直角三角形折叠后求边长、角度。 *方法：标记 “折叠前后的对应边、对应角”，利用 “等边对等角”“三角形内角和” 计算角度；用勾股定理 / 相似求边长。 3.角的折叠 *常考：折叠后求重叠角的度数。 *方法：利用 “折叠前后对应角相等”，结合平角 / 周角的度数计算。 三、解题步骤总结 标： 标记折叠前后的对应边、对应角； 用： 利用 “全等→对应边 / 角相等” 转化已知条件； 列： 结合勾股定理、三角形内角和等列方程 / 算式； 验： 验证结果是否符合图形实际边长 / 角度范围。 【知识点05】轴对称的操作应用 1.画轴对称图形 步骤： 1 找原图形的特殊点（如线段端点）； 2 画各点的对称点； 3 连接对称点。 2.坐标与轴对称 *点(x,y)关于x轴对称：(x,−y)； *点(x,y)关于y轴对称：(−x,y)； *坐标系中画图：计算对称点坐标→描点→连接。 【知识点06】线段垂直平分线 定义：经过线段中点且垂直于线段的直线。 性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等（P在垂直平分线上→PA=PB）。 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（PA=PB→P在垂直平分线上）。 【知识点07】等腰三角形 一.核心定义 两边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为“腰”，另一条边称为“底边”；两腰的夹角称为“顶角”，腰与底边的夹角称为“底角”。 二、关键性质 (1)等边对等角：等腰三角形的两底角相等（若AB=AC，则∠B=∠C）。 (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（均为同一条线段，是等腰三角形的对称轴）。 (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，仅有1条对称轴（即“三线合一”对应的线段所在直线）。 (4)其他延伸：两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线分别相等。 三、判定方法 (1)定义法：直接判定三角形中有两条边相等。 (2)等角对等边：若一个三角形的两个角相等，则这两个角所对的边也相等（若∠B=∠C，则AB=AC）。 易错要点 1.“三线合一”仅适用于“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的中线/高与顶角平分线不重合。 2.判定时需注意“等角对等边”的前提是“同一三角形内”。 3.等腰三角形的顶角可为锐角、直角或钝角，但底角一定是锐角（三角形内角和为180°）。 【知识点08】等边三角形 1、 核心定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形（也称为正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，其三条边均可看作“腰”，三个角均为“底角”。 二、关键性质 1.边的性质：三条边长度相等（若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC）。 2.角的性质：三个内角均相等，且每个内角都等于60°（∠A=∠B=∠C=60°）。 3.对称性：是轴对称图形，有3条对称轴，每条对称轴均为某条边上的“三线合一”线段（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）所在直线。 4.延伸性质：具备等腰三角形的所有性质，且“三线合一”特性适用于三条边对应的每一组角与线段；任意边上的高、中线、角平分线长度都相等。 三、判定方法 1.定义法：直接判定三角形的三条边都相等。 2.角度判定法：三个内角都相等的三角形（三个角均为60°）是等边三角形。 3.特殊等腰判定法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（注意：需先明确三角形是等腰三角形，再补充一个60°角的条件） 易错与注意要点 1.等边三角形的“三线合一”适用于三条边，不同于普通等腰三角形仅适用于底边，需注意区分适用范围。 2.用“有一个角是60°的等腰三角形”判定时，需先确认三角形是等腰三角形（即有两条边相等或两个角相等），不可直接由“一个角是60°”判定为等边三角形。 3.等边三角形的高、中线、角平分线重合且长度相等，计算时可利用勾股定理（高h = (√3/2)×边长）快速求解 .【知识点09】含30度角的直角三角形 1、 核心定义 定义：有一个内角为30°的直角三角形（另一个内角为60°），是特殊直角三角形。 二、核心性质（高频考点） 核心性质：30°角所对的直角边 = 斜边的一半 符号表示：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°→BC=1/2 AB（BC为30°角对边，AB为斜边）；反之，若直角边=1/2斜边，则该边对角为30°。 三、延伸结论 1.三边比例：30°对边:60°对边:斜边 = 1:√3:2（设30°对边为a，则斜边2a，60°对边 a） 2.与等边三角形关联：两个全等的此类三角形可拼成一个等边三角形 四、常见应用场景 1.求边长：已知斜边或30°对边，可快速求其他边（结合勾股定理验证） 2.角度判定：已知直角三角形中一条直角边是斜边的一半，可直接判定该直角边所对的角为30°。 3.折叠/对称问题：结合轴对称性质，转化线段长度求未知边、角 易错要点 适用前提：仅直角三角形有效，非直角三角形不适用 对应关系：注意是“30°角所对的直角边”，不可混淆60°角对边 计算注意：根号需化简，必要时取近似值（√3≈1.732） 【知识点10】最短路径问题 一.核心原理 利用轴对称变换，将“直线同侧两点到直线上某点的距离和”转化为“直线异侧两点间的线段长度”（两点之间，线段最短），从而找到最短路径。 二、常见题型及解题方法 题型1：直线异侧两点（基础型） 条件：点A、点B在直线l异侧，在l上找一点P，使PA+PB最短。 解法：直接连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求点P。 依据：两点之间，线段最短。 题型2：直线同侧两点（核心型） 条件：点A、点B在直线l同侧，在l上找一点P，使PA+PB最短。 解法：1. 作点A关于直线l的对称点A'（或作点B的对称点B'）；2. 连接A'B（或AB'），线段A'B与直线l的交点即为所求点P；3. 此时PA+PB=A'B，即为最短距离。 依据：1. 轴对称性质：PA=PA'（对称点到直线上同一点距离相等）；2. 两点之间，线段最短。 题型3：两直线间一点（变式型） 条件：点P在两条相交直线l、m之间，在l上找一点A，m上找一点B，使PA+AB+BP最短。 解法：1. 分别作点P关于直线l的对称点P1、关于直线m的对称点P2；2. 连接P1P2，线段P1P2与l的交点为A，与m的交点为B；3. 此时PA+AB+BP=P1P2，即为最短距离。 三、解题步骤总结 1.判位置：判断点与直线的位置关系（同侧/异侧）； 2.作对称：将同侧点转化为异侧点（作其中一点的轴对称点）； 3.连线段：连接对称点与另一点，找与直线的交点； 4.定路径：交点即为最短路径的关键点，对应线段长度为最短距离。 注意要点 1.作对称点时，必须确保是关于指定直线的对称点，对称轴不能找错； 2.最短路径的长度是转化后线段的长度，而非原两点到交点的距离直接相加（需利用轴对称性质转化后计算）； 3.实际问题（如牧马饮水、造桥选址）可先抽象为几何图形，再用上述方法求解。 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【跟踪训练2】以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． B． C． D． 题型2.成轴对称图形的特征判断 【典例】如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接对应点的线段被对称轴 ． .【跟踪训练1】已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 题型3.成轴对称特征的应用求解 【典例】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上，连接和．则关于和的关系，下面表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 题型4.轴对称中的折叠问题 【典例】如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，中，在上，将沿翻折得到，设，，则与的数量关系是 ． 题型5.线段垂直平分线的性质应用 【典例】如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O．若，，则 ．    【跟踪训练2】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，若的周长为，，则的周长为 ． 题型6.轴对称图形的绘制方法 【典例】如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练1】如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（    ）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【跟踪训练2】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    题型7.坐标与图形变化-轴对称 【典例】已知点P关于x轴对称的点的坐标是，则点P关于y轴对称的点的坐标是 ． 【跟踪训练1】如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【跟踪训练2】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 题型8.轴对称中的线段问题 【典例.】如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪训练1】某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 题型9.轴对称相关的角度计算问题 【典例】如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 【跟踪训练1】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 题型10.等腰三角形的“等边对等角”性质 【典例】如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） . A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，分别是的中线和角平分线，相交于点F．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 题型11.等腰三角形的“三线合一”性质 【典例】如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点F，连接，下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练1】老君台，又名升仙台、拜仙台，原为明道宫的一部分，是河南省鹿邑县的国家级景区．如图①是老君台正殿梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，，若，则 ． 【跟踪训练2】如图，在中，，是的平分线，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 题型12.含30度角的直角三角形性质 【典例】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【跟踪训练1】如图，在中，平分，，点，分别在，上，则的最小值等于 ． 【跟踪训练2】如图，中，，，于H，若，则（    ）． A．3 B．6 C．12 D．9 题型13.等腰三角形的性质和判定方法 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】已知B，C为直线上两点，点A不在直线上，连，取中点M，点N为线段上一动点，作直线，若点A关于直线的对称点D刚好落在直线上，连，，，则的大小为 ． 【跟踪训练2】如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型14.等边三角形的判定和性质 【典例】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，则此时两点之间的距离是（    ） A．8 B．12 C．18 D．6 【跟踪训练1】如图，已知：，点、、在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【跟踪训练2】如图，在等边中，平分的一个外角，的垂直平分线交于点，交线段于点．连接，则的度数为 ． 题型15.轴对称中的最短路径问题 【典例】如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪训练1】如图，在中，，，于点，，、分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【跟踪训练2】如图，在中，，D是中点，P是上一动点，当最短时，的度数为 ． 一.单选题. 1．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． B． C． D． 2．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 3．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 5．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 6．如图，等腰三角形纸片中，平分．小花放入一张等边三角形纸片，在上，为与的交点，过点作．小花量得，那么的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．21 7．如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二.填空题 8．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 9．如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为 ． 10．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___________． 11．光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则 ． 12．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，， cm． 13．如图，在坐标系中，，在轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点共有 个． 14．已知，如图，在中，，，，点D在边上运动，连接，将沿着翻折，点B落在点E处，连接．当时，的长为 ． 三.解答题 15．如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交边于点D，交边于点E，连接，若，，． (1)求的周长； (2)求的度数． 16．如图，点，均在内部，请用尺规作图法在内部求作一点，使得点到和的距离相等，且点到点和点的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 18．已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 19．在平面直角坐标系中，已知点，对于点P、实数t和非零实数m，给出如下定义：过点作x轴的垂线l，过点P作点P关于直线l的对称点Q；若，将点Q向上平移个单位得到点R，若，将点Q向下平移个单位得到点R；我们称点R为点P的“滑移反射点”．例如，已知，当，时，点，点P的滑移反射点R的坐标为． (1)已知点， ①当，时，则点M的“滑移反射点”坐标为______． 已知点是点M的“滑移反射点”，则______． ②如果点R是点M的“滑移反射点”，且点R在第一象限，是等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的t值：______． (2)已知，，，上任意一点的“滑移反射点”组成的图形记为图形G；如果存在t，m，使图形G与有且只有一个公共点，直接写出符合条件的t的取值范围：______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $