3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

附件1-4 第三届湖南省中小学青年教师教学竞赛 邵阳市选拔赛教学设计表 教学设计标题：3.1.1 椭圆及其标准方程 学情分析： 在此之前，学生在上一章已经学习了直线和圆，已经初步经历和体验了研究解析几何的方法——坐标法，所以，学生对用坐标法研究本节内容，并不陌生，已有相关知识经验，为顺利开展本节课的教学提供了方法保障.由于本节课的教学重点就是利用解析思想推导椭圆的标准方程，同时这也是本节的难点.教学中，根据椭圆的定义，按着建系、设点、列式，化简、说明这五个步骤推导椭圆标准方程.引导学生类比圆的标准方程的简洁、优美的形式，小组讨论，得到椭圆的标准方程，这个运算过程需要学生有沉着冷静的思维品质，特别有利于提升数学运算这一核心素养. 教学目标： 1）通过动手实践，直观体会椭圆生成的过程，从中归纳概括出椭圆的定义，发展数学抽象、直观想象的核心素养； 2）通过小组合作经历椭圆方程的建立与推导过程，发展逻辑推理、数学运算的核心素养。 教学重难点： 教学重点：理解椭圆的定义，会用待定系数法和定义法求椭圆的方程； 教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 教学过程： 1、 知识背景引入 引导语:前面我们用坐标法研究了直线和圆.接下来我们研究一类新的曲线圆锥曲线，它包含了椭圆、抛物线和双曲线. 在课前我们留了两项作业： 1.为什么椭圆、双曲线、抛物线都称为圆锥曲线？ 2.根据教材P105，用我们给定的工具画一个椭圆. 【设计意图】布置课前预习作业，充分调动全体学生学习探究的积极性和主动性，有利于开阔学生思路，提高课堂广度和深度.分组活动，有利于促进小组内的相互合作，更有利于发挥学生的特长，更广泛更深入的探究自己小组的课题. 问题1：请大家看一下第三章的章头图(第 页)，左上角显示了用一个平面截圆锥的情况，用一个垂直于圆锥轴线的平面截圆锥，截口曲线是圆，若改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形呢？ 师生活动：教师利用多媒体进行动画演示，得出当圆锥的轴线与平面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线和双曲线，通常把圆、椭圆、抛物线和双曲线统称为圆锥曲线。 追问1：圆锥曲线在现实生活中是较常见到的，以椭圆为例，你能举出一些实例说明吗？ 追问2： 椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础. 【设计意图】让学生从直观上感受椭圆有大有小、有圆有扁，但要如何才能精确的作出一个椭圆，椭圆的大小及圆扁程度受什么因素影响，这些是需要我们去探究思考的。 二、新课讲解 （一）椭圆定义的探究 【问题探究】 如果将圆的定义中的一个定点变成两个定点,动点到定点距离为定长变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？ 问题：下面大家合作一起来做个实验：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1、F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 师生活动： 1） 教师在PPT上展示上述问题。 2） 小组合作画椭圆：拿出事先准备好的教具（其中小组①②③的细绳长度为10cm，小组④⑤⑥的细绳长度为20cm），小组合作，学生操作画图。 3） 教师巡视并指导，展示学生小组合作的成果，并用几何画板再演示椭圆的形成过程。 4） 教师引导学生概括椭圆定义： 思考：在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? ①移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值； ②并且这个定值大于两定点间的距离，即 椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。数学符号表示：|MF1|+|MF2|=2ɑ常数（绳长） 当时，此时的图形形状为线段。 当时，图形不存在。 小组合作探讨椭圆几何特征与规律： 探究1： 动点的轨迹是椭圆满足细绳长度一定的前提下，椭圆的大小及形状与间的距离有关系： 在同样的绳长下， 两定点间距离较长，则所画出的椭圆 ; 两定点间距离较短，则所画出的椭圆 . 由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关． 【设计意图】在动手实验中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“定值”取值范围，在变化的过程中建立起用降级与发展的观点看问题；结合几何画板演示，形象直观地说明定义中的必备条件，感受椭圆位置与大小的影响因素，体会数学的理性与严谨。 2、 探究椭圆的标准方程 问题3：回顾用坐标法求曲线方程的步骤，结合椭圆的形状特点，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆的方程形式简单？你能根据所建的坐标系求出椭圆的方程吗？ 师生活动： 1）探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 方案二x y M O x y M O 2）将各组学生的讨论方案归纳起来评议，坐标系的建立选定以下两种方案，由各组学 生自己完成设点和列式，为了方便，设。(这里根据学生具体的讨论结果而定） 3）化简的过程根据实际情况来决定是教师用教学工具带领学生共同完成，还是由小组合作完成。 4）教师巡视并引导学生“怎么化简带根式的式子”，是直接平方或移式再平方？学生小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点，发现这种方法都需要二次平方，但是移式再平方计算较简单，并追问： ①怎么能让方程更简洁？ ②怎么能让方程看起来更简洁 按方案一建立坐标系，教师指导、小组研讨，探究得到椭圆方程： +=1（），其中b2 = a2－c2 ( b > 0 )； 选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出+=1，同样也有a2－c2 = b2 ( b > 0 )。 教师指出：我们所得的两个方程+=1（）是椭圆的标准方程，其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2.并引导学生对这两个方程作区分。 追问1：椭圆的标准方程有何特点？ 追问2：根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？ 探究2：观察各小组所建立的坐标系及椭圆，你能从中找出表示的 线段吗？从这个问题中师生总结得出的几何意义，再从图形中直观体会。 设计意图：方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征的方式，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学运算能力，培养学生独立主动获取知识的能力，培养数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理等数学素养。 三、例题讲解 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程。 追问：你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点. 师生活动：小组合作求解，并请不同小组成员阐述求解过程、求解思路，师生一起总结方法，并比较不同方法的特点。 设计意图：设计例题、不同方法解题，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神。 四、课堂小结： 教师提出问题供学生思考： 1） 本节课我们是如何得到椭圆的定义中，椭圆的定义是什么？ 2） 坐标法是研究曲线常用的方法，这节课我们是如何建立坐标系去推导椭圆的标准方程的，椭圆方程有什么特点？ 师生活动：学生思考、小组讨论、推举代表发言，其它同学补充。教师引导学生对所学 知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充。 设计意图：归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯。 五、作业布置 课后作业：.教材109页练习1，2，3，4。 补充：1.“神州5号”宇宙飞般的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别为，，求“神州5号”宇宙飞船运行的轨道方程。 设计意图：通过教材练习及补充题，培养学生归纳总结的能力，反馈学生对知识的掌握情况。通过补充题的探究，拓展学生的思维，加强学生的动手能力与举一反三的能力。 六、板书设计 3.1.1 椭圆及其标准方程 椭圆的定义 例1 多媒体课件 练习（学生板演） 椭圆的标准方程 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $