精品解析：湖北省黄冈市蕲春县2025-2026学年上学期 八年级期中数学试卷

蕲春县2025年秋初中期中教学质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 分数：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，4，9 C. 5，6，10 D. 6，7，13 3. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 4. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的角平分线，点P在上，于点D，于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正和正与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P’（a，3），则a＝___． 12. 如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是______（写出一个即可） 13. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是________． 14. 已知三角形的三边长为2，，4，化简的结果是______． 15. 如图，在中，，点E在边上，点D在边的延长线上，且，连接并延长交于点F，若，则 （1）的度数是________； （2）的长是________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算题：． 17. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，，．求证：． 18. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形； （2）若与点A关于一条直线成轴对称，那么点B关于这条直线的对称点坐标是______； （3）求的面积． 20. 为增强师生的国家安全意识，闵行区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有___________人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，___________，C等级对应的圆心角为___________度； （3）成绩为A等级人数比成绩为B等级人数少百分之几？ 21. 如图，已知为等腰三角形，，D、E分别是边、上的点，且满足，连接、交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和2辆B型车共销售70万元，3辆A型车和1辆B型车共销售80万元． （1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共7辆，购车费不少于154万元，求最多可购进A型车多少辆？ 23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【发现问题】如图1，和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）【解决问题】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，求证：． （3）【尝试探究】如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，求的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________； （2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蕲春县2025年秋初中期中教学质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 分数：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，4，9 C. 5，6，10 D. 6，7，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 3. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 4. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，外角性质，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 故， 故选：A． ． 5. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 7. 如图，是的角平分线，点P在上，于点D，于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：是的角平分线，，， ． 故选：B． 8. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正和正与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和、外角和的性质等知识的综合，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是关键． 可证得①正确；可证得④正确；由得得为等边三角形，故②正确；因为是的外角，所以，又因为，所以，故⑤正确；在中，，所以，则，又因为，所以，故③错误． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，，故④正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； ∵是的外角， ∴，且， ∴， ∴，即，故③错误； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P’（a，3），则a＝___． 【答案】-2 【解析】 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，根据轴对称的性质解答． 【详解】解：∵点P（2，3）关于y轴的对称点是点P’（a，3）， ∴a=-2， 故答案为：-2． 【点睛】此题考查关于坐标轴对称的点的坐标性质，熟记性质是解题的关键． 12. 如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据三角形的内角和为，可得只能为顶角，从而可求出底角． 【详解】解：∵， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：． 故答案为：35． 14. 已知三角形的三边长为2，，4，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，根据三角形的三边关系列不等式求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点E在边上，点D在边的延长线上，且，连接并延长交于点F，若，则 （1）的度数是________； （2）的长是________． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】（1）根据题意推出为等边三角形，得到，结合等腰三角形性质和三角形外角性质，推出，再根据求解，即可解题； （2）根据直角三角形性质得到，结合勾股定理求出，进而推出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）在中，， 为等边三角形， ， ， ， ； （2）， ， ，， ， 解得， ， ，， ，， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质，三角形外角性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算题：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是关键． 先算乘方，乘法，化简绝对值，再算加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 首先得到，然后证明出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴ 在和中 ∴． 18. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：，推出即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形； （2）若与点A关于一条直线成轴对称，那么点B关于这条直线的对称点坐标是______； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换作图、对称点坐标的特征，熟练掌握点的特征是解题的关键． （1）根据关于y轴对称，得出对称点、、的坐标，顺次连接即可； （2）根据点与点的坐标，得出两点关于轴对称，据此计算点坐标即可； （3）用割补法求解，长方形面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：由于、 则点与点A关于轴对称， 因此点坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 答：的面积为4． 20. 为增强师生的国家安全意识，闵行区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有___________人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，___________，C等级对应的圆心角为___________度； （3）成绩为A等级人数比成绩为B等级人数少百分之几？ 【答案】（1），图见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由等级的人数和所占的比例求出参加知识竞赛的学生人数，再求出等级的人数，最后补全条形统计图即可； （2）用等级的人数除以总人数即可得出的值，用等级人数所占比例乘即可得出圆心角度数； （3）求出成绩为A等级人数比成绩为B等级人数少多少人，再除以成绩为B等级人数即可． 【小问1详解】 解：参加知识竞赛的学生共有人， 故等级的人数为人， 补全条形统计图如图所示： ； 【小问2详解】 解：，即； C等级对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：成绩为A等级人数比成绩为B等级人数少． 21. 如图，已知为等腰三角形，，D、E分别是边、上的点，且满足，连接、交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质．通过全等三角形结合外角性质推导角度是解题关键． （1）等腰三角形中，有一个内角为，则该三角形是等边三角形，据此选择适当条件证明三角形全等即可． （2）根据三角形全等可得对应角相等，再结合三角形的外角性质可求的度数． 【小问1详解】 证明：为等腰三角形，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 是的一个外角， ， 将代入上式，可得， 是等边三角形， ，即． 答：． 22. 某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和2辆B型车共销售70万元，3辆A型车和1辆B型车共销售80万元． （1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共7辆，购车费不少于154万元，求最多可购进A型车多少辆？ 【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元 （2）最多可购进A型车3辆 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据购车费不少于154万元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元． 根据题意，可列方程组：， 解得． 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； 【小问2详解】 解：设购进型车辆，则购进型车辆． 因为购车费不少于154万元， 所以可列不等式：， 解得：． 因为为车辆数，应为正整数，所以的最大值为3． 即最多可购进A型车3辆． 23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【发现问题】如图1，和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）【解决问题】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，求证：． （3）【尝试探究】如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，求的长度． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解顶角相等的等腰三角形，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意证明，即可求证； （2）根据题意证明，有等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等量代换即可求解； （3）过点作于点，延长线于点，可证，得，结合题意得到，再，得，从而证明，得，设，则，，根据，，列式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为中边上的高， ∴，即， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点，的延长线于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，由是等腰直角三角形得，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵由（2），，且， ∴， ∴， ∴，，，即， ∴，， ∵， 设， ∴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得，， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________； （2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值． 【答案】（1）点C的坐标是；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值，过点作轴于点，然后证明，进而得出结论； （2）过点E作轴于点M，根据题意证明，在和中，根据三角形内角和定理可得结论； （3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明可得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴, ∴， ∴点C的坐标是； （2）证明：过点E作轴于点M，依题意有， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又，即， ∴， ∴， 即，又，设与相交于点N， ∴在和中， ，， ∴； （3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K， 则DF＝DH＝2， ∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA， ∴DF＝DK＝2， ∵，,， ∴, ∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2， 在Rt△DAH和Rt△DAK中， ， ∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL） ∴AK＝AH＝a−2， ∴BK＝c＋a−2， ∴c＋a−2＝b＋2， ∴a−b＋c＝4． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算术平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $