天津市武清区燕中文化艺术培训学校2025-2026学年高三上学期数学周练14

★2025年12月9日星期二 天津市武清区燕中文化艺术培训学校2025-2026学年高三数学周练14 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 5．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 . 其中正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，三棱柱中，是上靠近的三等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（   ）    A． B． C． D． 7．已知函数，下面结论错误的是（    ） A．在区间上单调递减 B．是函数图象的一个对称中心 C．在上的值域为 D．图象上的所有点向右平移个单位后得到函数的图象 8．在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．设表示不大于的最大整数，如，，若正数a满足，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 10．已知为虚数单位，，则的虚部为 ． 11．在三棱锥P﹣ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB， 则三棱锥P﹣AMN和三棱锥P﹣ABC的体积之比为 ． 12．在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为 . 13．已知，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当，的最小值为 ． 14．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 . 15．若函数恰有两个零点，则a的取值范围为 . 三、解答题 16．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求，； (3)若，求. 17．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 18．如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 19．在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求; ②设数列的前项和，求. 20．已知函数. (1)若，判断函数的单调性； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数有两个极值点，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 天津市武清区燕中文化艺术培训学校2025-2026学年高三上学期数学周练14参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C C B B C D C C 10． 11． 12． 13． 14． ； 15． 16．解（1）由, 根据正弦定理，得， 则， 在中，，则， 又，故. （2）由， 根据余弦定理可得，整理可得， 又，解得，或，（舍去）. （3）由，根据正弦定理，得， 则， 又，则，故为锐角， 所以， 则， ， 所以. 17．解（1）在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得，由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，显然，则，又平面， 所以平面. （2）由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此，所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 18．解（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以，所以，又平面， 所以平面. （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即，令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19．解（1）由题意知，， 当时， ，而也满足上式，. （2）①， 令， 当时，，此时， 当时，，此时所以 ②，记从第2项到第项的和为， ， ， 上述两式作差得，， 当时，； 当时，， 也满足上式，， 20．解（1）若，则，函数的定义域为， 所以，所以在上单调递增； （2）由，可得 ①若，易知在上恒成立， 所以在是减函数，又，所以，不符合题意， ②若，令，则，， 故时，，又， 所以时，，不符合题意， ③若，易知，故在是增函数， 又，所以，综上，； （3）由（2）知，，所以，且， 当时，，所以在上是减函数， 故要证，即证， 即， 又，所以，又， 代入化简得：，所以， 令，则，即证， 设，则， 所以在上是减函数，所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $