精品解析：四川省泸州市古蔺县金兰、蔺阳集团2025-2026学年九年级数学上学期期中联考试题

2025年秋期金兰教育集团、蔺阳教育集团九年级联合检测 数学试卷 注意事项： 1．全卷共六个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号． 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示这个数为（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 7. 某种商品原价是 100 元，经过两次提价后的价格是 120 元，求平均每次提价的百分率．设平均每次提价的百分率为x ，下列所列方程中正确的是 （ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点时，…按此规律继续旋转，直至得到点为止，则为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 14. 二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是_____． 15. 已知、是方程的两个根，则的值是__________． 16. 定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为___________. 三、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 化简：． 四、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在中，点B的坐标是，点A的坐标是． （1）画出将向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的； （2）画出将绕点O逆时针旋转后的； （3）求的面积． 21. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为正数，求的取值范围． 五、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式． （2）当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离． 23. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小敏按照政策投资销售本市生产的一种品牌服装．已知这种品牌服装的成本价为每件100元，出厂价为每件130元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系：． （1）求出月利润为（元）与销售单价（元）的关系式； （2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润是多少元？ 六、解答题（本题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形，点M是直线上一个动点，点N在直线上，且满足，连接． （1）如图1，当点M在边上时，求证：． 请根据下面的思路分析填空：因为，所以．将绕点A逆时针旋转得到，由旋转性质可得，所以 ．由此可证明__________，可得出__________，再由线段的加法可以得出． （2）如图2，，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上． ①猜想之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若，则__________． 25. 如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期金兰教育集团、蔺阳教育集团九年级联合检测 数学试卷 注意事项： 1．全卷共六个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号． 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示这个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：∵ ∴Δ＝b2−4ac＝12−4×1×（－3）＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac的关系是解答此题的关键． 4. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 5. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法解方程即可判断. 【详解】解 ∴ 故选D. 【点睛】此题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法的运用. 6. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质及求代数式的值，根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 某种商品原价是 100 元，经过两次提价后的价格是 120 元，求平均每次提价的百分率．设平均每次提价的百分率为x ，下列所列方程中正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键，若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，根据一元二次方程的增长率问题直接进行求解即可． 【详解】解：由题意，得， 故选：． 8. 把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图象平移规则：“左加右减”针对x，“上加下减”针对函数值．先向下平移，再向右平移，依次应用规则即可解答． 【详解】解：∵ 原抛物线为 ， 向下平移2个单位：， 再向右平移1个单位：将x替换为， ∴ ． 故所得抛物线为 ， 故选：B． 9. 已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故选B． 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，解题的关键是结合图像特征进行判断．根据二次函数和一次函数的图像与系数的关系逐一判断即可． 【详解】解：A、由抛物线知，，，由直线知，，故本选项错误； B、由抛物线知，，，由直线知，，故本选项错误； C、由抛物线知，，，由直线知，，两结论一致，故本选项正确； D、由抛物线知，，，由直线知，，故本选项错误． 故选：C． 11. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故②符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 12. 如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点时，…按此规律继续旋转，直至得到点为止，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．观察图形的变化可得，，，；； ；；；；；……现规律即可求解． 【详解】解：观察图形的变化可知： ， ， ； ； ； ； ； ； ； …… 发现规律： ； ； ， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 14. 二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)，其顶点坐标为(h，k). 【详解】解：由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式. 15. 已知、是方程的两个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据、是方程的两个根，可得，，把所求式子变形后代入即可求解． 【详解】解：、是方程的两个根， ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义画出函数图象，设直线y=x+1，抛物线，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：依题意，设直线y=x+1，抛物线， 联立直线与抛物线方程得 ， 解得或， ∴直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3）， 如图， ∴x≤-1时，y=，函数最大值为y=0， -1＜x≤2时，y=x+1，函数最大值为y=3， 当x＞2时，y=，y＜3， ∴x=2时，函数取最大值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 三、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算零指数幂与负整数指数幂、算术平方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】可以利用配方法解一元二次方程． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 四、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在中，点B的坐标是，点A的坐标是． （1）画出将向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的； （2）画出将绕点O逆时针旋转后的； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； ； （3）6 【解析】 【分析】本题考查坐标变换——平移与旋转变换，掌握平移与旋转的性质是解题的关键． （1）根据题意作出平移后的，即可； （2）根据题意作出旋转后的，即可； （3）利用公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知， ∴． 21. 已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为正数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ，，， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系． （1）通过计算判别式证明其非负，即，从而证明方程总有两个实数根； （2）利用韦达定理，根据两根均为正数的条件列不等式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设方程的两根为和， 根据韦达定理，，， 方程两根均为正数， 且， 即且， 解，得 ， 解，得， 的取值范围为． 五、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式． （2）当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，理清题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解． （2）当时，y有最大值，将x的值带入解析式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为， ∵点E和点B均在抛物线的图像上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵抛物线的解析式为， 当时，， 绳子与地面的最大距离为米． 23. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小敏按照政策投资销售本市生产的一种品牌服装．已知这种品牌服装的成本价为每件100元，出厂价为每件130元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系：． （1）求出月利润为（元）与销售单价（元）的关系式； （2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为200元时，每月可获得最大利润20000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． （1）由总利润销售量每件纯赚利润，列出二次函数即可； （2）由总利润销售量每件纯赚利润，得，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润． 【小问1详解】 解：依题意得，， 【小问2详解】 解：， ， 当时，有最大值20000． 即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润，最大利润为20000元． 六、解答题（本题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形，点M是直线上一个动点，点N在直线上，且满足，连接． （1）如图1，当点M在边上时，求证：． 请根据下面的思路分析填空：因为，所以．将绕点A逆时针旋转得到，由旋转性质可得，所以 ．由此可证明__________，可得出__________，再由线段的加法可以得出． （2）如图2，，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上． ①猜想之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若，则__________． 【答案】（1），，． （2） ①，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转性质可得，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质证明，可得出，由线段的加法得到结论，据此填空即可； （2）①将绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质，证明，得到，再根据线段和差，即可证明猜想； ②由①可知，，，得到，，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以． 将绕点A逆时针旋转得到， 由旋转性质可得， 所以． 由此可证明，可得出， 再由线段的加法可以得出， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：①略 ②四边形是正方形， ， 由①可知，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，利用旋转构造全等三角形是解题关键． 25. 如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为，此时 （3）点P的坐标为，，或． 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求出参数值即可； （2）利用分割法或作差法，先求出的解析式，再设出参数，表示出对应三角形的底和高，构造的面积的函数，利用二次函数求最值的方法即可； （3）设出点P的坐标，分别用参数表示，，计算出，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入，得解得 ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 代入点，得，解得， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时， ∴． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∴， ， ， 分三种情况， 第一种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第二种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第三种，当为斜边时，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为，，或． 【点睛】本题考查了“待定系数法求解析式”“坐标系中面积的求值”“二次函数的图象与性质”“直角三角形的分类讨论”，根据设问，设出参数，利用参数构造出相应的函数和方程是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $