精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

初2023级2025年秋期九年级数学学科第三次定时训练题 考试说明： 1．全卷分为Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页； 2．全卷满分150分，考试时间为120分钟； 3．答案填在答题卷对应题目号的位置上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 太阳从西方升起 B. 任意画一个三角形，其内角和为180° C. 世界杯足球赛罚点球，一定进球 D. 抛掷一枚硬币，一定正面朝上 4. 点关于原点的对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 9. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个同号的实数根 D. 没有实数根 10. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 11. 数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边在上截得的线段（）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则的半径为（ ） A. 3厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 12. 抛物线经过，对称轴为直线，关于x的方程在的范围内有实数根，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题共102分） 注意事项：用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 若是方程的一个根，则的值为_____． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______． 15. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是_____． 16. 如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ______． 三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 17. 解方程：． 18. 如图，已知，是的直径，，，求的度数． 19. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 四、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 20. 已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值． 21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，1），B（5，4），C（1，1）均在格点上． （1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，画出△A1B1C； （2）求线段CB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 22. 赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． （1）降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）； （2）若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价； （3）求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 六、解答题（本大题共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． （3）在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级2025年秋期九年级数学学科第三次定时训练题 考试说明： 1．全卷分为Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页； 2．全卷满分150分，考试时间为120分钟； 3．答案填在答题卷对应题目号的位置上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合； 【详解】解：由中心对称图形的定义可知：B为中心对称图形，A、C、D不是中心对称图形， 故选：B ． 2. 方程的根为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方根解方程．先移项，把方程化为，再利用平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴方程的根为． 故选：C． 3. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 太阳从西方升起 B. 任意画一个三角形，其内角和为180° C. 世界杯足球赛罚点球，一定进球 D. 抛掷一枚硬币，一定正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案． 【详解】解：A．太阳从西边升起，是不可能事件，故此选项不符合题意； B．任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项符合题意； C．世界杯足球赛罚点球，一定进球，是随机事件，故此选项不符合题意； D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 点关于原点的对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：因为点关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数， 所以对称点的坐标是， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的公式求解即可． 【详解】解：∵从五张卡片中随机抽取一张，有5种等可能的结果，其正面的数字是奇数的结果有1、3、5共3种， ∴正面的数字是奇数的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了用概率公式求概率，找出所有等可能的结果和正面的数字是奇数的结果是解题的关键． 6. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解． 【详解】解∶∵是由绕A点旋转得到的， ∴旋转角为， ∵，， ∴， 即旋转角的度数为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值应大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，掌握一元二次方程有实数根的条件是解题的关键，易错点是不考虑二次项系数不能为0导致取值范围错误． 8. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小. 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握． 9. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个同号的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】关于x的方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】∵y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是没有实数根， 故选D． 【点睛】此题主要考查了方程ax2+bx+c=0的根的情况，关键是看函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点． 10. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边在上截得的线段（）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则的半径为（ ） A. 3厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点O作于F，连接，设，则，先解直角三角形求出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于F，连接，设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴的半径为3厘米， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12. 抛物线经过，对称轴为直线，关于x的方程在的范围内有实数根，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先得出抛物线的解析式，进而利用二次函数图象的性质进行分析计算即可． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴将代入可得， ∵对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线为， ∴， ∵关于的方程在的范围有实数根， ∴当，且当， ∴， 解得， 综上可得的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图象的性质并运用数形结合思维分析是解题的关键． 第Ⅱ卷 （非选择题共102分） 注意事项：用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 若是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，掌握相应圆锥的侧面积公式是解题的关键． 15. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．先由根与根的判别式得出t的取值范围，再由根与系数的关系得出，，再代入，然后根据二次函数最值求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，； ∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为16． 故答案为：16． 16. 如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、垂径定理的推论等知识，连接，作于点，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 【详解】解：如下图，连接，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，， 连接，当点在的延长线上时，的值最大， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的各种方法．先将原方程整理成一般式，然后利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 整理成一般式为：， ∴， ∴， 解得， ∴． 18. 如图，已知，是的直径，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题关键． 根据对顶角的性质，得，通过等弧所对的圆心角相等，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 19. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设出顶点式，代入求解即可． 【详解】解：由题意设函数的解析式是 把代入函数解析式得， 解得：， 则抛物线的解析式是. 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数． 四、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 20. 已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值． 【答案】（1）m≤4；（2）m=-12． 【解析】 【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△＝b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝4，又5x1＋2x2＝2求出函数实数根，代入m＝x1x2，即可得到结果． 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴Δ=(-4)2-4m=16-4m≥0． ∴m≤4． （2）∵方程两实数根为x1，x2， ∴x1+x2=4，x1x2=m， ∵5x1+2x2=2， ∴5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x1=2，即x1=-2， ∴x2=6， m=x1x2=-12． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，1），B（5，4），C（1，1）均在格点上． （1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，画出△A1B1C； （2）求线段CB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图，△A1B1C即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）将点A、B分别绕原点O顺时针旋转90°后得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可； （2）先求出线段BC的长，结合∠BCA1＝90°，根据扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，线段CB扫过的面积即为扇形的面积， ∵B（5，1），C（1，1）， ∴BC=4 ∴线段CB在旋转过程中扫过的面积＝＝4π． 【点睛】本题主要考查了画绕非原点旋转90度的图形，求扇形面积，解题的关键在于能够熟练掌握画旋转图形的方法． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 22. 赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． （1）降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）； （2）若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价； （3）求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）44元 （3）每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． （）根据题意列出代数式即可； （）根据题意找出等量关系列式计算即可得； （）根据二次函数的性质进行解答即可得； 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 由题意可得 解得，. ∵要尽可能的让利与顾客， ∴x的值为6， ∴（元）. 答：每盒雪花梨膏的售价为44元； 【小问3详解】 设每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润为w元. 由题意得. 其中； ∵， ∴当时，w有最大值为2250. 答：当每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元. 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴一次函数， 由，解得或， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 六、解答题（本大题共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ， ； （2） 证明：连接，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． （3）在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，设，求出，，，令或，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 如图，设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为直线， 设， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵点的水平距离为，竖直距离为， ∴由勾股定理得，， 同理，得， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $