精品解析：河北省石家庄市栾城区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的三种常见形式为：(为常数，)、(为常数，)、(为常数，)．关键是将各选项的式子与反比例函数的形式进行对比，判断是否符合，同时注意区分正比例函数与反比例函数的形式差异． 【小问1详解】 解：根据反比例函数的定义，一般地，形如(为常数，)的函数叫做反比例函数，其等价形式为()或()． 选项A：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 选项B：符合正比例函数()的形式，不是反比例函数； 选项C：两边除以()得，符合反比例函数的形式，是反比例函数； 选项D：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 故选：B． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 3. 学校食堂有元，元，元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数等于数据总数除以总人数进行列式作答即可． 【详解】解：依题意，设当天有个学生购买盒饭， 则 所以当天学生购买盒饭费用的平均数是元 故选：C． 4. 如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 5. 如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 6. 已知反比例函数，下列说法错误的是（     ） A. 在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B. 是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D. 图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 7. 如图，在中，，，，则点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 8. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点，点分别在轴和轴上，轴，轴，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、矩形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴，轴， ∴四边形是矩形， ∵点P在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 故选：B． 9. 随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 众数是9 C. 中位数是9 D. 方差是9 【答案】D 【解析】 【分析】利用加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义即可求解． 【详解】解：A、平均数是：=9，故命题正确； B、众数是9，命题正确； C、中位数是9，命题正确； D、方差是：[2（7-9）2+12（8-9）2+20（9-9）2+16（10-9）2]=0.72，故命题错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义，理解方差的计算公式是关键． 10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，然后利用弧长公式l=来计算劣弧的长． 【详解】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=2∠BAC=60°， 又OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=OC=2， ∴劣弧的长为：． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC=60°是解题的关键所在． 11. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE． 【详解】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC， ∵DE∥BC， ∴MN⊥BC，DG⊥DE， ∴四边形DMNG是矩形， ∴DG=MN， ∵OM⊥DE，ON⊥BC， ∴DM=EM=DE，BN=CN， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB． ∴CH=DH=CD=3， ∴OH==4， ∴BH=9， ∴BC==3， ∴BN=BC=， ∴ON=， ∵sin∠BCH=，即， ∴DG=， ∴MN=DG=， ∴OM=MN-ON=， ∴DM==， ∴DE=2DM=． 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 关于x的一元二次方程的根的情况是 _____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握根的判别式是解答本题的关键； 求出根的判别式，判断根的判别式和0的关系，然后即可求解； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴关于x的一元二次方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根； 14. 在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 15. 如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据圆周角定理得到、，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，是的直径，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 图中阴影部分的面积， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理、垂径定理、圆周角定理、扇形面积的计算等知识点，将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 16. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，． 【小问2详解】 解： ， ， ， ，． 18. 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在菱形中，交于E，连接，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点，根据菱形的性质以及勾股定理求得相关边的长是解题的关键． 设，根据菱形的性质可得，进而得到、，再运用勾股定理求得、，最后利用三角函数的定义求解即可． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ． 20. 四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． （1）若，求的长； （2）如果，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 21. 活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则 解得，（不符，舍） 所以 答：原硬纸板的长是和宽是． 任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒 设剪裁的小正方形的边长为．则 ，（不符，舍） 答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 22. 如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上． （1）填空： 度， 度； （2）求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； （3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）30，45 （2）灯塔到轮船航线的距离为海里 （3）港口与灯塔的距离为海里 【解析】 【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解； （2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可； （3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，作交于，作交于， ， ， ， 都是正北方向， ， ， ， 故答案为：30，45； 【小问2详解】 解：如图，作交于，作交于， ， 由（1）可得：， 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； 【小问3详解】 解：如图，作交于，作交于， ， ，，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，， 在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，为的外接圆，且，是的直径，过点作于点，交于点，连接． （1）写出图中一个与相等的角； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 解：是等腰三角形，理由如下： 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是等腰三角形． （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可推出； （2）根据直角三角形的性质推出，再结合，即可证明； （3）根据勾股定理求出，再利用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴（答案不唯一）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ，且由（2）知，在等腰中，， ． ，， 在中，由勾股定理，得， ， 在中，由勾股定理，得， 设的半径为，则， 解得， ， ． 24. 如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． （1）求正比例函数，反比例函数解析式； （2）求的面积． （3）点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【答案】（1）正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）18 （3）点P的坐标为或，， 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据点C在反比例函数的图像上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解； （3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数图像过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． ∵反比例函数图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图像上， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵，且的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点E， ∴点E的横坐标为4， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：把代入函数，得， ∴， ∵把代入函数，得， 解得， ∴， ∴． 若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论： ①如图，若， ∵轴， ∴点B与点P关于x轴对称， ∴． ②如图，若， ∵， ∴或． ③如图，若，则设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 学校食堂有元，元，元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6. 已知反比例函数，下列说法错误的是（     ） A. 在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B. 是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D. 图象分别位于第二、四象限内 7. 如图，在中，，，，则点到的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点，点分别在轴和轴上，轴，轴，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 众数是9 C. 中位数是9 D. 方差是9 10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( ) A. B. C. D. 11. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 关于x的一元二次方程的根的情况是 _____________． 14. 在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 15. 如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为______． 16. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 19. 如图，在菱形中，交于E，连接，若，求的值． 20. 四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． （1）若，求的长； （2）如果，求证：． 21. 活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 22. 如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上． （1）填空： 度， 度； （2）求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； （3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 23. 如图，为的外接圆，且，是的直径，过点作于点，交于点，连接． （1）写出图中一个与相等的角； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的长． 24. 如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． （1）求正比例函数，反比例函数解析式； （2）求的面积． （3）点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $