湖北省武汉市江岸区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

湖北省武汉市江岸区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，1 B. ， C. 3， D. 5，1 2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 6. 已知点与点关于原点O对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4051 D. 7. 中，，、的长是方程的两根，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是．飞机着陆后滑行（ ）秒才能停止 A. 18 B. 20 C. 40 D. 72 9. 如图，正方形内接于⊙，点E是上一点，，，连接，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线，直线．过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，在点P从原点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则a的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为________． 12. 已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系为_____．（用“<”连接） 13. 某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 14. 如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则_____． 15. 二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是____（填序号）． 16. 如图，在中，，，点D为边上一点，点E为的中点，交于点F，将绕E点顺时针旋转得到，连，若，，则长为____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，某小区有一块长，宽的矩形场地，准备沿平行于两边的方向横、纵各修建一条同样宽的小路，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，求小路的宽． 19. 已知抛物线：． （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ； （2）若抛物线交轴于点，，当时． ①则的值为 ，抛物线的对称轴为直线 ； ②若直线与该抛物线有公共点，则的取值范围为 ． 20. 如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若点G为中点，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． （1）在图中，画线段，使平分的面积；过点作射线交于点； （2）在图中，作点关于的对称点，过点作交于点． 22. 某校无人机兴趣小组开展以“无人机飞行路线”为主题的综合实践活动，在电脑上进行模拟飞行测试． 研究背景 如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式．在此平面进行无人机模拟飞行． 收集数据 无人机从坡底O点左侧的点B起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分，x（米）与飞行的高度（米）记录的部分数据如下： x …… 0 10 15 30 35 50 …… …… 25 40 45 …… 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，发现飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分． 建立模型 求与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 模型应用 （1）当无人机飞行的水平距离为35米时，求无人机到山坡的竖直距离d； （2）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于15米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次模拟飞行是否安全，并说明理由． 23. 如图，中，． 问题背景 如图1，将绕点C逆时针旋转得到线段，作于点D，求证：； 问题探究 如图2，将绕点C逆时针旋转得到线段，连，过中点F作于点H，求证：； 问题拓展 如图3，将绕点A逆时针旋转得到线段，连，点N、P分别为、中点，连，若，，则 ． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C的直线与x轴交于点D，点P为y轴右侧的抛物线上一点，过P作轴交直线于点E．若点是点E关于直线的对称点，且点落在y轴上，求点P的横坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移2个单位得到抛物线，不过原点的直线与抛物线交于点M，交y轴的正半轴于点F，直线，直线和抛物线有且只有一个公共点N，若，请你证明直线恒过定点，并求出这个定点的坐标． 湖北省武汉市江岸区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】##27度 【15题答案】 【答案】①③④ 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共8小题，共72分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】（1） （2）①；；② 【20题答案】 【答案】（1） 证明：设交于点H， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【21题答案】 【答案】（1） 如图所示，线段和射线即为所求； （2） 如图所示，点及线段即为所求． 【22题答案】 【答案】建立模型：； 模型应用：（1）米； （2）无人机飞行安全，理由： ， ∵， ∴d关于x的函数图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，d有最小值， ∴， ∴无人机飞行安全． 【23题答案】 【答案】 （1）证明：作于点K， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （2）证明：连接，作于点K，过点F作的垂线交的延长线于点G． ∵于点H， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，点F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【24题答案】 【答案】（1） （2）2或12 （3） 证明：∵抛物线：， ∴抛物线向左平移2个单位得到抛物线：， 设点，，直线解析式为, 把，代入， 得， 解得， ∴：， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 联立， ∴， 化简，得， ∵直线和抛物线有且只有一个公共点N， ∴， 解得， ∴：， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴：， 当时，， ∴， ∵； ∴， ∴； ∴； ∴； ∴：， ∴当时，， ∴直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $