精品解析：贵州省遵义市航天高级中学2023-2024学年高一上学期阶段性测试二数学试题

遵义市航天高级中学2023-2024学年高一上学期数学阶段性测试二 注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义直接求解． 【详解】易知， 对于A,B，集合表达式中混合使用了角度制与弧度制，表示错误，故A，B错误； 对于D，当时，不成立，故D错误； 所以与的终边相同的角的集合为： ，故C正确． 故选：C． 2. 给出下列五个命题： ①若为真命题，则为真命题； ②命题“，有”的否定为“，有”； ③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”； ④在锐角三角形中，必有； ⑤为等差数列，若，则 其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据或命题与且命题的性质判断①；根据全称命题否定的定义判断②；根据“ ，夹角有可能为判断③；由，利用正弦函数的单调性判断④；根据特例法判断⑤. 【详解】对于①，若为真命题，则 与 中至少有一个为真命题， 不一定为真命题，故错误. 对于②，命题“，有”,则为，有 ,故错误. 对于③， 若 平面向量，的夹角为可能为，故错误. 对于④，在锐角三角形中，必有,即，所以，所以，故正确； 对于⑤，在等差数列 中，若为常数，则满足，，但是不成立，即 不成立，故错误，故选A. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逻辑联接词的应用、全称命题的否定、向量的数量积、正弦函数的单调性以及等差数列的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 3. 已知函数，则（　　） A. ﹣1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先计算，再代入计算得到答案. 【详解】，则 故选： 【点睛】本题考查了分段函数的计算，意在考查学生的计算能力. 4. 已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解一元二次不等式化简与，再由已知转化为两不等式解集的关系，进一步转化为关于的不等式求解． 【详解】解：由，得或， 即：或； 由，解得,即：， 是的充分不必要条件，或， 即或． 实数的取值范围是或． 故选：A． 5. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域为，从而得到函数的定义域满足，由此能求出函数的定义域． 【详解】函数， ，解得， 函数的定义域满足， 即． 函数的定义域为． 故选：A． 6. 已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，又由，求出，则方程的解可转化成方程的解，根据零点存在定理即可判断． 【详解】根据题意，对任意的，都有， 又由是定义在上的单调函数，则为定值， 设（为常数），则， 将，代入： 又由，而， 因此：，解得：，则， 因为，所以， 即，则方程的解可转化成方程的解， 令，而，， 方程的解所在区间为， 方程的解所在区间为， 故选：． 7. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案. 【详解】因为， 所以 故选：A 8. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，由于渐近线方程为，故， 故离心率为， 故选：B 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 角是第三象限角 B. 锐角都是第一象限角 C. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合象限角的概念检验选项A，B，C，结合扇形的弧长及面积公式检验选项D即可． 【详解】解：，为第三象限角，故A正确； 锐角为第一象限角，故B正确； 若， 则， 所以为第一象限角或第三象限角，故C正确； 若一扇形面积为，弧长为，则，即， 所以圆心角为，故D错误． 故选:ABC． 10. 若函数，数，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意由可得，，，从而归纳出，然后对选项逐一判断即可得到结果. 【详解】根据题意，函数，则， 同理：， 归纳可得：，依次分析选项： 对于AA正确； 对于BB错误； 对于CC正确； 对于DD正确； 故选:ACD. 11. 下列命题中错误的有（ ） A. 若复数满足，则是虚数； B. 若复数，则其虚部不存在； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 若复数､满足，则. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的定义、实数的性质判断A，由算数的分类判断B，根据充分必要条件的定义判断C，由实数的性质判断D，错误的可举反例． 【详解】时，，因此当时，一定是虚数，A正确； 若是实数，则它作为复数，其虚部为0，不是不存在，B错误； 时，，满足，但时，也满足，因此C正确； 当时，，但，D错． 故选：BD． 12. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，对应关系：，则：是到的函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出，利用函数定义作出判断；B选项，根据抽象函数定义域法则得到，解得，得到定义域；C选项，令，得到，得到函数值域；D选项，把换成得，，根题目条件联立得到答案. 【详解】A选项，时，， 结合函数定义，：是到的函数，A正确； B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确； C选项，令，则， 所以，此时函数在上单调递增，故， 故函数值域为，C错误； D选项，①，把换成得，②， 得，故，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，那么的最小值是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【详解】解：当时，， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：． 14. 已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由指数函数单调性可知 考点：指数函数单调性及最值 15. 函数_____________ 【答案】 【解析】 【分析】令x2﹣3x＞0 求得函数的定义域．本题即求函数t＝x2﹣3x在定义域上的增区间．根据二次函数的性质可得函数t＝x2﹣3x在所求定义域上的增区间，从而得到答案． 【详解】解：令x2﹣3x＞0 求得 x＞3，或 x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）． 根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t＝x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间． 根据二次函数的性质可得，函数t＝x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞）， 故答案为 （3，+∞）． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数的定义域和单调性，二次函数的性质应用，属于中档题． 16. 已知椭圆方程，当取最小值时，椭圆的离心率___________ 【答案】## 【解析】 【分析】用基本不等式求出取最小值时的值，再结合椭圆离心率的求解，即可得答案. 【详解】由题意知，故，则 ，当且仅当时取等号，即时取等号， 所以对于椭圆方程，，则， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，，，全集. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先计算，再进行交集运算即可； （2）先计算，再根据即得参数取值范围. 【详解】解：（1）或，而， ∴； （2）， ∵， ∴. 18. 已知角α的终边经过点． （1）求，，的值； （2）求的值； （3）已知α、β是锐角，且满足，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用三角函数的定义计算求解； （2）应用诱导公式结合弦化切计算求值； （3）应用两角和正弦公式结合同角三角函数关系计算求值. 【小问1详解】 由三角函数的定义：，， 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 因为α，，所以 因为，所以， 所以 所以 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，， 设，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性. （2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数中，，求导得， 当时，在上单调递增； 当时，时，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 20. 已知函数. （1）求的值域； （2）若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是，，…，，求数列的前项的和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】(1)利用降幂公式、辅助角公式化简可得,结合正弦函数的性质可求； （2）由正弦曲线的对称性、周期性可知，,代入等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】(1） ， 的值域为 ； （2）由正弦曲线的对称性、周期性可知 ，，， ， . 21. 已知函数的图像经过点，其中且 （1）求的值； （2）若函数，解关于的不等式 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数过点，代入得即可求的值； （2）根据函数的奇偶性可得：，再结合函数的单调性可得到不等式，解出即可． 【小问1详解】 函数的图象经过点， ，解得（负舍）. 【小问2详解】 ， 其定义域为，且，则其为偶函数， 且当，因为，则在上单调递增， 结合其为偶函数，则其在上单调递减， ∴不等式等价为不等式． 即，平方得，解得． 即不等式的解集为． 22. 已知函数． （1）若，求函数在区间的值域； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）可以去掉绝对值符号，转化为分段二次函数，利用闭区间上求最值的方法，可以求得函数在区间的值域； （2）先去掉绝对值符号，转化为分段的二次函数，利用配方法与函数的单调性可以求得的取值范围． 【小问1详解】 ， ， 在上递增，在上递减，在上递增． ，，，， 的值域为， 【小问2详解】 , 因为在上为增函数，所以，解得， 在上为增函数，的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市航天高级中学2023-2024学年高一上学期数学阶段性测试二 注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列五个命题： ①若为真命题，则为真命题； ②命题“，有”的否定为“，有”； ③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”； ④在锐角三角形中，必有； ⑤为等差数列，若，则 其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知函数，则（　　） A. ﹣1 B. C. D. 3 4. 已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 7. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 角是第三象限角 B. 锐角都是第一象限角 C. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 10. 若函数，数，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中错误的有（ ） A. 若复数满足，则是虚数； B. 若复数，则其虚部不存在； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 若复数､满足，则. 12. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，对应关系：，则：是到的函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，那么的最小值是 ______ ． 14. 已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为____． 15. 函数_____________ 16. 已知椭圆方程，当取最小值时，椭圆的离心率___________ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，，，全集. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知角α的终边经过点． （1）求，，的值； （2）求的值； （3）已知α、β是锐角，且满足，求的值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 20. 已知函数. （1）求的值域； （2）若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是，，…，，求数列的前项的和. 21. 已知函数的图像经过点，其中且 （1）求的值； （2）若函数，解关于的不等式 22. 已知函数． （1）若，求函数在区间的值域； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $