第五章二元一次方程组2随堂练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大数学八年级上册随堂练习 第五章二元一次方程组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，为二元一次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.以下是二元一次方程的正整数解的是  (    ) A. B. C. D. 3.若是关于，的方程的一个解，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.用代入消元法解方程组将代入可得(    ) A. B. C. D. 5.若是二元一次方程，那么，的值分别是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了设普通公路长、高速公路长分别为、，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 7.我国古代数学专著孙子算经中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”大意是，匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？设有大马匹，小马匹，根据题意列方程组正确的是  (    ) A. B. C. D. 8.如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为  (    ) A. B. C. D. 9.如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点，若，则方程组的解为  (    ) A. B. C. D. 10.方程组的解是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.甲班有男生人，女生人，其中男生比女生的倍少人，列出关于，的二元一次方程：          ． 12.已知方程是关于，的二元一次方程，则          ． 13.已知二元一次方程组则的值是          ． 14.如图，在长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形即空白的长方形，若，，则一个小长方形的面积为          ． 15.元朝朱世杰的算学启蒙一书中记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走的路程关于行走时间的函数图象，则两图象的交点的坐标是          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（10分）解方程组： 若单项式与是同类项，求方程组的解． 17.（8分）已知函数为常数，当时，当时，求和的值． 18.（8分）已知，直线与直线． 求两直线与轴交点，的坐标； 求两直线交点的坐标； 求的面积． 19.本小题分 对于实数，，定义关于“”的一种运算：，例如． 求的值； 若，，求的值． 20.本小题分 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 乙种货车的辆数 累计运货的吨数 现租用该公司辆甲种货车及辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费元计算，货主应付运费多少元？ 能否租用这两种货车一次恰好运走吨货物不超载也不少运？若能，请说出有哪几种装运方案？若不能，请说明理由． 21.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． 求直线的解析式； 如图，点是线段上一动点，当点距离轴个单位长度时，求的面积； 如图，已知为的中点，点关于点的对称点为点，点在直线上，当时，求点的坐标． 22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、的边分别在轴、轴正半轴上，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，点不与点重合，以为边在上方作正方形，设正方形与的重叠部分图形的面积为平方单位，点的运动时间为秒． 直线所在直线的解析式是______； 当点落在线段上时，求的值； 在点运动的过程中，求与之间的函数关系式； 设边的中点为，点关于点的对称点为，以为边在上方作正方形，当正方形与重叠部分图形为三角形时，直接写出的取值范围． 提示：根据点的运动，可在草纸上画出正方形与重叠部分图形为不同图形的临界状态去研究 23.本小题分 综合与实践． 【教材回顾】我们已经学会通过列表、描点、连线作出一次函数的图象，它的图象是一条直线．如果将一次函数变形为，那么此时它是二元一次方程的形式，因此一次函数的图象也称为二元一次方程的图象，二元一次方程的图象是一条直线． 【问题解决】 在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程的图象与方程的图象设直线与的公共点为点； 点的坐标为____________； 检验点的坐标是否为方程组的解． 【图象应用】 借助图象求解下列方程组：     【拓展探究】 探究直线与直线是常数且的位置关系与系数的关系． 直线与可能有怎样的位置关系？ 如果二元一次方程组均不为零有唯一的解，系数应满足怎样的条件？直接写出结果． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  11.  12.  13.  14.  15.  16.解： 得：，解得：， 把代入得：，解得：， 所以原方程组的解为． 解：若单项式与是同类项，  则，，方程组为  把代入，得，解得  把代入，得，方程组的解为 17.解：根据题意得， 解得．  18.解：对于直线， 令，得到，即， 对于直线， 令，得到，即； 联立得：， 解得：，即； ，， ， 则．  19.（1） 解：根据题中的新定义得：原式 （2）根据题中的新定义化简得由得，把代入得，解得，把代入得，则 20. 解：设甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨，可列表格得 甲货车吨 乙货车吨 运输货物总质量吨 第一次 第二次 根据表格可得解得甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨．现租用该公司辆甲种货车及辆乙种货车一次刚好运完这批货物，这批货物有吨元，货主应付运费元． (2)能租用这两种货车一次恰好运走吨货物，理由如下：设租用甲种货车辆，乙种货车辆恰好运走吨货物，，，  当时，；  当时，；  当时，一共有种装运方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆． 21.（1） 【解】，当时，，当时，，，  设直线的解析式为  把代入，得，直线的解析式为． （2）如图所示： 点距离轴个单位长度，点的横坐标为负值已舍去  当时，，，，，． （3），，为的中点，，点关于点的对称点为点，  如图，当在轴下方时，过点作，且，过点作轴，过点作，过点作，则，，连接． ，  又， ，，，  取的中点，则  连接，则，点在直线上．  设直线的解析式为，  则有解得直线的解析式为  联立得解得；  如图，当点在轴上方时，过点作，且，过点作轴，过点作轴，连接． 同理可得，  设直线的解析式为，  则有解得直线的解析式为  联立解得  综上所述，点的坐标为或． 22.解：   设的解析式为：， 的图象过点、， ， 解得， 直线的解析式为：； 即甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式：； 设甲返回地之前，经过分两人距地的路程相等， 乙的速度：米分， 如图所示：，， ， 分种情况： 当时，， ， 此种情况不符合题意； 当时，即，甲、乙都在、之间， ， ， 当时，甲在、之间，乙在、之间， ， ， 此种情况不符合题意； 当时，甲到地，距离地米， 乙距地的距离：米， 即时两人距地的路程相等， 当时，甲在返回途中， 当甲在、之间时，，， 此种情况不符合题意， 当甲在、之间时，， ， 综上所述，在甲返回地之前，经过分钟或分钟或分钟时两人距地的路程相等．    23.（1）解：作图如图所示． 解方程组 将，代入，得左边右边， 代入，得左边右边， ，既是方程的解，也是方程的解， 点的坐标是方程组的解． （2）画出二元一次方程组的图象，图象略，观察可知方程组有无数组解． 画出二元一次方程组的图象，图象略，观察可知方程组无解． （3）直线与可能平行，可能相交，可能重合． 若方程组有唯一解，则系数满足．  学科网（北京）股份有限公司 $