精品解析：浙江省绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025学年第一学期九年级期中教学质量调测 数学试题卷 考生注意： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，答题卡共6页． 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，非选择题部分中填空题答案写在答题卡对应的横线上，解答题答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面四个事件中，不可能发生的是（ ） A. 某运动员跳高的最好成绩是米 B. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C. 在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D. 在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 2. 若点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 下列各个命题，是真命题的是（ ） A. 在同一圆中，弦越长则其弦心距也越长 B. 直径所对的圆周角不一定是直角 C. 在同一圆中，直径是半径2倍 D. 圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大 4. 为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的2名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 6 如图，若，且，，．则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，连结．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（ ） A B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球2个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小，质地都相同，若随机从袋中摸取一个球，则摸到______球的可能性最大． 12. 抛物线与轴的交点到坐标系原点的距离称为该抛物线在轴上的“截距”．若抛物线为，则其在轴上的“截距”为______． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 14. 如图，在中，是直径，于点，，则的度数为______°． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在上，且，则______． 16. 如图，在等边中，以点为圆心，为半径画圆，上方的圆上有一点，连接，作交于，连结，若，则______ 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简求值：，其中． 18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，点，点均为格点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）画出圆圆心． （2）画出的角平分线． 19. 有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别写着如图中所示数的计算式．从中任意抽取一张，记下卡片上计算式的结果后，放回搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率． 20. 如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 21. 如图，点是重心，过点作的平行线，分别交，于点，；过点作交于点．求证：． 22. 某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． （1）求y关于x的一次函数解析式； （2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 23. 如图，在中，，以为直径的圆分别交，于点，，连接交于点． （1）若，求证为等边三角形． （2）求证：． （3）若，，求的长． 24. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．解答下列问题． （1）抛物线的解析式是______． （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，若动点在抛物线上，当的值最大时，求点的坐标和的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中教学质量调测 数学试题卷 考生注意： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，答题卡共6页． 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，非选择题部分中填空题答案写在答题卡对应的横线上，解答题答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面四个事件中，不可能发生的是（ ） A. 某运动员跳高的最好成绩是米 B. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C. 在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D. 在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的概念，熟练掌握概念是解决问题的关键．根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、运动员跳高成绩可能为米，为可能事件； B、图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件； C、两条线段可能相交，为可能事件； D、因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件． 故选：D． 2. 若点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 3. 下列各个命题，是真命题的是（ ） A. 在同一圆中，弦越长则其弦心距也越长 B. 直径所对的圆周角不一定是直角 C. 在同一圆中，直径是半径的2倍 D. 圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 根据圆的基本性质（如弦心距与弦长的关系、圆周角定理、直径与半径的关系、弦的最大长度），逐一判断各选项的真假． 【详解】解：对于A：在同一圆中，弦越长，弦心距越短，则A是假命题； 对于B：直径所对的圆周角恒为直角，则B是假命题； 对于C：在同一圆中，直径是半径的2倍，则C是真命题； 对于D：圆中最长的弦是直径，圆周角为钝角时所对的弦必小于直径，则D是假命题， 故选：C． 4. 为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的2名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件的概率．根据题意画出树状图得出所有等可能的结果和恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为个， 所以恰好选中一名男生和一名女生的概率是， 故选：C． 5. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：抛物线方程为， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， 因此， 故选：B． 6. 如图，若，且，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，根据，先计算，然后即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 8. 如图，四边形内接于，连结．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同弧所对圆周角相等，圆内接四边形的性质，根据得，得，再根据圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧度数，斜边上的中线. 根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴. 故选：B． 10. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 方程有两个实数根，且，可转化为二次函数与直线的交点问题，通过分析函数性质，由于，抛物线开口向下，且在和处函数值为负，两个根均位于区间内，因此满足． 【详解】解：对于二次函数，令得，， 由于，则令或， 解得或， 即二次函数与轴的交点坐标为和， 由于，在内，，且顶点在处，顶点值， 函数大致图象如下： 为使有两个实根，需二次函数顶点值大于， 即， 解得（满足）， 因此，一元二次方程的两个实数根在到之间，即， 故选：A． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球2个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小，质地都相同，若随机从袋中摸取一个球，则摸到______球的可能性最大． 【答案】红 【解析】 【分析】本题考查概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键． 比较各种颜色球的概率，概率最大的即可能性最大． 【详解】解：总球数为个， 则红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为， 由于， 因此摸到红球的可能性最大。 故答案为：红． 12. 抛物线与轴的交点到坐标系原点的距离称为该抛物线在轴上的“截距”．若抛物线为，则其在轴上的“截距”为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线“截距”的定义，需先求抛物线与轴的交点坐标，再计算该点到原点的距离即可． 【详解】解：令，代入抛物线解析式，得， 故抛物线与y轴的交点为， 因此，该点到原点(0,0)的距离为， 故答案为：5． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”得出平移后的抛物线的解析式，进而写出顶点坐标即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， ∴平移后抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在中，是直径，于点，，则的度数为______°． 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据可求出，根据余角的性质，求得，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解： 故答案为：23． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，关键是列出成比例线段； 由平行可得，则，再利用点坐标求出，则可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在等边中，以点为圆心，为半径画圆，上方的圆上有一点，连接，作交于，连结，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆周角定理、三角比，可得，求得，只需求得的值，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点． 由题意可知，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴在中． ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的化简方法是解题的关键． 先展开进行化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入得， 原式． 18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，点，点均为格点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）画出圆的圆心． （2）画出的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，垂径定理，外心以及角平分线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）取格点Q、E，使四边形是正方形，连接，则；取格点得的垂直平分线交于点，即为圆的圆心； （2）取格点，连接，则四边形是正方形，连接交于点，连接，则是的角平分线． 【小问1详解】 解：如图，点即为圆的圆心； 【小问2详解】 解：如图，是的角平分线． 19. 有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别写着如图中所示数的计算式．从中任意抽取一张，记下卡片上计算式的结果后，放回搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：，是正整数；，是正整数；是无理数． 把三张卡片按顺序分别记为A、B、C，其中正整数的有A、B， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的结果有4种， ∴两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率为． 20. 如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案； （2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式． 【详解】解：（1）． ∵图象的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）∵， ∴二次函数的表达式为， ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点， ∴平移后图象所对应二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键． 21. 如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，；过点作交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形的重心性质是解题的关键．连接并延长，交于点Q，根据重心的性质，得出，根据平行线分线段成比例定理，得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出即可． 【详解】解：连接并延长，交于点Q，如图所示： ∵点P是的重心， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 22. 某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． （1）求y关于x一次函数解析式； （2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 【答案】（1） （2）价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元 【解析】 【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案； （2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案． 【小问1详解】 解：设，把，和，代入可得 ， 解得， 则； 【小问2详解】 解：每月获得利润 ． ∵， ∴当时，P有最大值，最大值为3630． 答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值． 23. 如图，在中，，以为直径的圆分别交，于点，，连接交于点． （1）若，求证为等边三角形． （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，再根据圆内接四边形的性质求得，利用邻补角的意义求得，从而可得，于是可得为等边三角形； （2）先根据直径所对的圆周角是直角得出，，再根据三线合一，得出为边上的中线，从而可得为的中位线，于是有，再利用平行线的性质得出，即可得出； （3）先证明，列出比例式，再证明，列出比例式，从而可求得，再利用勾股定理求得． 小问1详解】 解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴， 又四边形内接于圆O， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【小问2详解】 如图，连接， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴为边上中线， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三线合一，等边三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形，圆周角定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 24. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．解答下列问题． （1）抛物线的解析式是______． （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，若动点在抛物线上，当的值最大时，求点的坐标和的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）运用待定系数法求得直线的解析式，当的值最大时，在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，，且它的对称轴为直线， ∴， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，，交直线于点， ∵， ∴即：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 即：（舍）， ∴； 【小问3详解】 解：当三点共线时，的值最大，最大值为的长； 设， ∵， ∴， 解得：， 即：， ∵， ∴（舍）， 当时，， ∴，此时三点共线，最大， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法函数解析式，三角形三边关系、二次函数与面积，一次函数的性质，勾股定理等知识点，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $