精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年上学期12月份月考九年级数学试题

北京市第八十中学2025-2026学年度九年级12月月考数学试卷 2025.12 一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．解题的关键是理解轴对称图形（沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合）和中心对称图形（绕某一点旋转后能与自身重合）的定义，并据此对图形进行判断． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项依次分析：判断图形是否沿某条直线折叠后两旁部分能重合（轴对称），以及是否绕某点旋转后能与自身重合（中心对称），选出同时满足两个条件的图形． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后，能与自身重合的图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是中心对称图形，不存在一条直线使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形． 选项沿某条直线折叠后两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，符合条件． 故选：D． 2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是， 故选：B． 3. 如果，那么下列比例式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握知识点是解题的关键．根据比例的性质，由已知等式可直接推导出比例式． 【详解】解：∵，且， ∴两边同除以，得 ， 即选项B成立，其他选项与已知等式不符，故错误． 故选：B． 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 利用圆周角定理证得、，根据直角三角形的两锐角互余，进行计算求解即可． 【详解】解：由于为直径， 则， ∵， ∴, ∴， 故选：A． 5. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意知，，则， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， ∴此管件的直径为， 故选：C． 6. 在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质证明再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图， 为的中点， 故选C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 8. 如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，则等边的边长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，进而求得，根据和，求得，进而证得，根据相似三角形的性质得，设，列方程，求解即可． 【详解】解：在等边中， ∵， 设，， 解得 的边长为， 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=_____． 【答案】（x﹣1）2． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，c=0即可． 【详解】符合的表达式是y=（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 10. 已知点与关于原点对称，则________，________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查点关于原点对称的点，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，由此列出方程求解． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， 解得． 故答案为：3；． 11. 如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为： ， ． 故答案为：10． 12. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】解：由抛物线解析式可得， 当时，； 当时，； 当时，． 由于为常数，故，即． 故答案为． 13. 如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可． 【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在一个长为，宽为的矩形地面上修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，草地面积为，求道路的宽度．设小路的宽为，依据上述条件，可列出一元二次方程：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪变为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：设小路宽为，根据题意得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，点分别在上，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质，解题的关键是由得到相似三角形，结合线段比例求出的长度，进而得到． 由得出的比例；利用判定，根据相似比得到与的关系，求出；再由平行四边形对边相等得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 在平行四边形中，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次函数以一次函数的综合应用，涉及二次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的最值的求解是解决本题的关键． 先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过设点的坐标，将四边形的面积表示为关于点横坐标的函数，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：连接，过点作轴交于点， 令，则，因式分解可得， 解得，， 所以，， 那么． 令，则，所以． 设直线的解析式为， 把，代入可得， 将代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 设，则． 所以． ， 其中． ． 则． 对于二次函数， 可得． 把代入， 可得． 故答案为：4． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18—20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】采用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： ， 18. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根． 【答案】（1）＜ ；（2）当时，． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到＞0，然后解不等式即可得到k的范围； （2）先确定整数k的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程，确定方程的整数解即可． 【详解】解：（1）因为有两个不相等的实数根， 所以＞0，即＞0， 所以＜20，解得：＜ （2）因为＜且为正整数， 所以=l或2， 当=l时，方程化为，△=12，此方程无整数根； 当=2时，方程化为 解得， 所以=2，方程的有整数根为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了不等式的正整数解及解一元二次方程，掌握基础是关键． 19. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图， 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 20. 如图，在和中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC． ∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△ABC∽△ACD． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BAC＝∠DAC，再根据∠B＝∠ACD＝90°，即可得证△ABC∽△ACD． （2）用勾股定理求得，再根据△ABC∽△ACD，可得，代入即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∵AB＝4，AC＝5， ∴． ∵△ABC∽△ACD， ∴． ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质． 21. 已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 补全图形，如图所示； （2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 22. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离三点共线，则旗杆的高度为多少？ 【答案】旗杆的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用，即可求得，最后根据即可解题． 【详解】解：设与交于点G， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 23. 如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作： ①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到； ②以点为位似中心，将放大，得到，使与对应边的比为，且点在第三象限． （1）在图中画出和； （2）请直接写出点的坐标：________； （3）请直接写出点旋转到点所经过的路线长________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作位似图形与旋转图形，求弧长； （1）根据旋转变换的条件以及位似变换的条件作出图形， （2）根据图象即可写出点坐标． （3）根据弧长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，和即为所求， 【小问2详解】 解：由图象可知， 故答案为：． 【小问3详解】 解：点旋转到点所经过的路线长 故答案为：． 24. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： P 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶________（结果精确到）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为________（精确到）． 【答案】（1）如图， （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题，解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与P、与P对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象； （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值； ②小明家到幼儿园路程为,幼儿园到单位路程为,分别估算对应的P值，相加即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ； ②观察S的数据,当时，， 所以，最后独自骑行消耗10%电量，这10%电量若用于载重行驶仅能走， 剩余电量应该保证载重行驶， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． （1）求证：； （2）过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （2）的半径长为4 【解析】 【分析】本题考查了圆的垂径定理、切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用弧中点的性质证明平行线，结合相似三角形的比例关系建立方程求解半径。 （1）由点是的中点得，结合得，进而推出，证得； （2）设半径为，利用切线性质得，垂径定理得，通过和推出，再由得，代入列方程求解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵是的切线， ∴，即． ∵是的中点， ∴，即, ∵， ∴， 又，故①。 由得， ∴,则②, 联立①②知，，则，即 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得（舍去）． 故半径的长为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 【答案】（1），． （2）①的长为9；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，继而求出，，则，即可求解； ②先求出，，得到， 令，即，解得或，推导出，分类讨论：第一种情况：分，第二种情况：，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 ①如图， 当时，，抛物线表达式为，直线表达式为， ∵点作x轴的垂线，， ∴当时，，即， ，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将，代入，得 ，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， ∵在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， 第一种情况：当时，有，即点在轴右侧，即点从原点向右运动，如图 有点N在点M的上方，， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随t的增大而增大， ∵从点O运动到点的过程中，的长始终随的长的增大而增大， ∴，即， ∵， ∴． 第二种情况：当时，，即点在轴左侧，即点P(t，0)从原点向左运动，如图 有点M在点N的上方，且， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的值随t的增大而增大， ∵ ∴ ∴当时，随t的增大而增大，此时随t的增大而减小， 即当时，随t的增大而增大，而从点O向左运动到点的过程中，的长会先随的长的增大而减小，不符合题意，舍去． 综上所述，． 27. 在中，，平面内有一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． （1）如图1，点D为内一点时，若，连接，请直接写出的度数________； （2）如图2，点D为外一点时，若，连接，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：补全图形如下 数量关系： 证明：延长到，使，连接、． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， 又∵ 线段绕点逆时针旋转得， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 在和中，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ 点在以为圆心、为半径的圆上，是直径， ∴ ． 在中，， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、圆的性质（直径所对圆周角为直角）、勾股定理，解题的关键是构造辅助线转化线段，结合全等三角形与圆的性质，利用勾股定理推导线段关系． （1）由及旋转得、，结合，知C、D、E在以为圆心为半径的圆上，利用圆周角定理得； （2）构造证，得、，结合旋转的性质得，证得，由，知为直径，，用勾股定理得． 【小问1详解】 解： ，将线段绕点逆时针旋转得到线段 ，， 又， 三点在以为圆心，以为半径的圆上， ， ． 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． （1）对点的“最近覆盖距离”为________________； （2）点P是函数图象上一点，且对点的“最近覆盖距离”为，则点的坐标为________； （3）若一次函数的图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； （4），且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）求出原点到点的距离，再将距离减1即为对该点的“最近覆盖距离”； （2）设点P的坐标为，根据对点P的“最近覆盖距离”为2可列方程求解； （3）根据题意可得，一次函数与x轴的交点为，对和的临界状态进行分类讨论； （4）根据题意可得倾斜角度为，长度为，，对的取值范围进行分类讨论，列不等式求出的取值范围． 【小问1详解】 解：原点到点的距离为，的半径为1， “最近覆盖距离”为， 答：． 【小问2详解】 解：设点， 原点到点的距离为，对点P的“最近覆盖距离”为2， ， ， 解得，，分别代入， 可得点的坐标为或， 答：或． 【小问3详解】 解：如下图，一次函数分别交x、y轴于E、D点，过O做于点C，考虑临界状态，一次函数上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为， 时， 中，时，，时，， ， ，， 当时， ，， ， ， ， 设，， 由勾股定理得， 解得，（舍去）， ，， 此时，， 经过分析可知，一次函数图像比临界状态更靠近轴时，则存在点C，即． 同理得，当时，， 答：的取值范围为或． 【小问4详解】 解：当时，， 如图， 将移到时，对线段的“最近覆盖距离”， 将移到时，对线段的“最近覆盖距离”， 当时，， 将移到时，对线段的“最近覆盖距离”， 综上，． 答：的取值范围为． 【点睛】本题主要考查“最近覆盖距离”问题，掌握圆的基本知识，两点间距离公式，一次函数的图像性质，三角形的相似与判定．找到临界状态并分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年度九年级12月月考数学试卷 2025.12 一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列比例式成立的是（） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 45 7. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，则等边的边长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=_____． 10. 已知点与关于原点对称，则________，________． 11. 如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为________． 12. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 13. 如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________． 14. 如图，在一个长为，宽为的矩形地面上修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，草地面积为，求道路的宽度．设小路的宽为，依据上述条件，可列出一元二次方程：____________． 15. 如图，在中，点分别在上，，，则________． 16. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为________． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18—20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分） 17. 解方程： 18. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根． 19. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 20. 如图，在和中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 22. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离三点共线，则旗杆的高度为多少？ 23. 如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作： ①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到； ②以点为位似中心，将放大，得到，使与对应边的比为，且点在第三象限． （1）在图中画出和； （2）请直接写出点的坐标：________； （3）请直接写出点旋转到点所经过的路线长________． 24. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： P 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶________（结果精确到）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为________（精确到）． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． （1）求证：； （2）过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 27. 在中，，平面内有一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． （1）如图1，点D为内一点时，若，连接，请直接写出的度数________； （2）如图2，点D为外一点时，若，连接，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． （1）对点的“最近覆盖距离”为________________； （2）点P是函数图象上一点，且对点的“最近覆盖距离”为，则点的坐标为________； （3）若一次函数的图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； （4），且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $