精品解析：浙江省新昌中学2025-2026学年高二上学期普通班数学周考8

2025学年第一学期高二（普通班）数学周考8 一、单选题 1. 已知命题，使，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使 D. ，使 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断即可. 【详解】命题，使，则命题的否定为：，都有. 故选：B. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数对应点的坐标进行判断即可. 【详解】因为， 所以复数对应的点坐标为，它在第四象限， 故选：D 3. 已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的判定及性质可得. 【详解】充分性:若,则由直线与平面平行的性质，存在直线，. 必要性：若存在直线，，则可能平行于或在内， 故选：A 4. 在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量相等列方程，进而求得正确答案. 【详解】依题意，向量，在上的投影向量相等， 所以，则，即， 所以. 故选：B 5. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 6. 已知数列的前项和，则的前12项和为（ ） A. 48 B. 112 C. 80 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】因为．所以当时，． 当时， ， 等差数列中． 为递减数列，可知 所以 ． 故选：C 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 8. 如果函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数单调递减，可知在上音调递减，所以，且，由此可得实数的取值范围. 【详解】当时，. 函数在上是单调递减函数，所以，解得. 故实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法判断即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)， 对于AC，事件可以同时发生，因此事件与不互斥，不对立，AC错误； 对于B，，则，B正确； 对于D，，与相互独立，D正确. 故选：BD. 10. 已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（ ） A. B. 当且仅当时，取得最小值 C. D. 数列中第5项的值最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以本选项正确； B：由上可知：， 因为，所以当或时，取得最小值，因此本选项不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以本选项正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，因此本选项正确， 故选：ACD 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 直线与直线所成角的取值范围为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 、、，设点，其中， 对于A选项，，， 所以，则，A对； 对于B选项，设平面的一个法向量为，， 则，令，可得，， 所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，则，此时， 综上所述，， 设直线与直线所成角为，则， 因为，故，C对； 对于D选项，， 令，其中， 任取、且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，，同理， 所以，即，故函数在上单调递增， 且，，故当时，， 所以，D对. 故选：ACD. 三、填空题 12. 设函数.若为偶函数，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 13. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】先结合题意得到，再利用空间向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】以作为一个基底， 由题意知，， 由数量积的定义可得， 同理可得， 又，可得 ， 故. 故答案为： 14. 已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定椭圆焦点坐标，根据两直线方程确定两直线位置关系以及直线过的定点，求出点轨迹方程，结合重要不等式，与三角形两边之和大于第三边确定的取值范围. 【详解】 由，可知，，， 椭圆焦点，， 化为，可知直线过点， 由可知直线过点， 由可知直线，设， 由有：，，， 所以，整理得：， 所以在以为直径的圆上， 当不与重合时， 设，，，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 又， 当与或重合时，有， 综上所述，. 故答案为： 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【小问1详解】 因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若外接圆的半径为，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出； （2）由(1)知，又，可求出边，进而求出周长； （3）由正弦定理可求出，进而求出，再用求和公式即可求出. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由，得， 解得（负根已舍去）， 所以的周长为 【小问3详解】 设外接圆的半径为，则， 所以，得， 所以. 17. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，平面平面，且与都是正三角形． （1）求证：． （2）若，点在棱上，且点到平面的距离为． （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接． 因为与都是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是菱形，，所以， 因为平面平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）（i）2； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合线面垂直的性质和菱形的性质得到，根据平面得到，最后利用线面垂直的判定定理和性质证明即可； （2）（i）建系，设，根据点到平面的距离列方程，解方程得到，然后求即可；（ii）利用空间向量的方法求面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． （i）设， 则． 设平面的法向量为， 则，即 取，得， 所以点到平面的距离为， 解得． 所以． （ii），由（i）知， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求实数b的值 （2）判断并用定义法证明在上的单调性 （3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） 在上是减函数. 证明如下:设任意， ∵，∴，即，∴， ∴在上是减函数 ， （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的条件可得，即可得到b的值； （2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证； （3）利用奇函数的定义以及函数单调性的条件，将不等式转化为对恒成立求解. 【小问1详解】 由于定义域为的函数是奇函数， 所以解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式， 由奇函数得到， 所以， 因为在上是减函数， ∴，对恒成立， 令，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二（普通班）数学周考8 一、单选题 1. 已知命题，使，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使 D. ，使 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 5. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，则的前12项和为（ ） A. 48 B. 112 C. 80 D. 144 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如果函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 10. 已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（ ） A. B. 当且仅当时，取得最小值 C. D. 数列中第5项的值最大 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 直线与直线所成角的取值范围为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题 12. 设函数.若为偶函数，则___________． 13. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于___________. 14. 已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若外接圆的半径为，求数列的前项和. 17. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，平面平面，且与都是正三角形． （1）求证：． （2）若，点在棱上，且点到平面的距离为． （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求实数b的值 （2）判断并用定义法证明在上的单调性 （3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $