3.1 勾股定理的探究 同步习题 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

3.1勾股定理的探究 一、单选题 1.在ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,已知∠C=90°，且c2=2b2,则 这个三角形有一个锐角为() A.45 B.30° C.60° D.150 2.如图，在Rt△ABC中，AB=1,BC=2,∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于点D,则 BD的长为() D A.√5 B.2 c.25 D.5 5 3.如图，在ABC中，AB=1.5,BC=1.7,AC=0.8,则BC边上的高AD为() A.0.6 B.2 7 C.1.2 D.D 4.如图，在ABC中，AD是BC边上的高，∠B=45°，∠C=30°，AD=2,则ABC的 面积为() B D A.2+2√5 B.1+3 C.2W2 D.42 5.如图，在等边ABC中，点O在AC上，且A0=3,C0=6,点P是AB上一动点，连 接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则OP 的长是() 试卷第1页，共3页 D A.33 B.25 c.3v5 D.6 3 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的线段DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分 线分别交线段DE于点E,D.若AB=6,BC=10,则线段DE=() D E A.12 B.14 C.16 D.18 7.如图，一个圆柱体的底面周长为24cm,高AB为5cm,BC是直径，一只蚂蚁从点A出 发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是() A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm 8.如图，在ABC中，BA=BC,BP,CQ是ABC的两条中线，M是BP上的一个动点， 则下列线段的长等于AM+OM最小值的是() B A.AC B.CO C.BP D.BC 二、填空题 9.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=4,∠A=30°，点D为AC的中点，点E为 边AB上一个动点，连接DE,将ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线 EF与直线AC垂直时，则AE的长为 试卷第1页，共3页 D B 1O.如图在ABC中，BC=8,AC=5,AD是它的角平分线，BE是AC边上的中线， △BCE的周长比△ABE的周长大4，过点E作EF⊥BC于F,若EF=a,则D到AB的距离 B 11.四边形ABCD中，∠DAB=120°，点B在CD垂直平分线上，点F在边AB上，且与点 D关于直线AC对称，若AF=3,FB=2,则EC= B 12.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,点F是直线AB上一个动点，作等腰 Rt△FCP,且∠PCF=90°，连接AP.若BF=√2，则PF=一 13.己知：如图，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,点D在边BC上，△ABD绕点A 旋转到△ACE,则DE的最大值是一· 三、解答题 试卷第1页，共3页 14.己知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15,BC=20,CD是斜边AB上的 高. (I)求AB的长； (2)求CD的长. I5.如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,E为AC上一点，BF=AC,DF=DC. B (I)求证：BDF≌ADC. (2)已知AC=10,DF=6,求AF的长. 16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,在平面内任取一点D,连结 AD(AD<AB),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连结DE,CE,BD D 图1 备用图 (1)请根据题意补全图1； (2)猜测BD和CE的数量关系并证明； (3)作射线BD,CE交于点P,把ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2,AD=1时， 补全图形，直接写出CE的长。 17.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，且∠DAE=45° B4 (1)画出将△ABD绕点A逆时针旋转90°后的三角形； 试卷第1页，共3页 (2)若BD=3,CE=4,求DE的长. 18.如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和LDCB,AD过点P,且与AB垂直. B (I)若AD=8,求点P到BC的距离： (②)直接写出线段AB、BC、CD存在的数量关系. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.A 【分析】本题考查勾股定理的应用.根据勾股定理可以判断ABC是等腰直角三角形，得到 答案， 【详解】解：：∠C=90°， a2+b2=c2 c2=2b2 .a2=b2,即a=b. :△ABC是等腰直角三角形. ∠A=∠B=x90°=450. 2 这个三角形有一个锐角45°. 故选：A 2.C 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题 关键.先利用勾股定理求出AC的长，再利用等面积法求出BD的长即可， 【详解】解：：在Rt△ABC中，AB=1,BC=2,∠ABC=90°， AC=AB2+BC2=+22=5, BD⊥AC, S=54BBc=4C-BD,即时1x2-x5D, 2 解得BD=2V5 5 故选：C. 3.B 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的高；根据勾股定理的逆定理得到ABC是直角三 角形，结合Sc=)ABAC=BC-AD,计算求解即可。 2 2 【详解】解：：AB2+AC2=1.52+0.82=2.89=1.72=BC2, .ABC是直角三角形， ∠BAC=90°， :AD是Rt△ABC的斜边BC上的高， 答案第1页，共2页 S.we-AB-AC=BC.AD AD=1B.4C=1.5x0.8_12 BC 1.717 故选：B. 4.A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾 股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质， 根据条件得出BD=2,利用含30°角的直角三角形的性质得出AC=2AD=4,利用勾股定理 求出CD=2√5，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：：AD是BC边上的高， ∠ADB=∠ADC=90°， :∠B=45°， .△ABD是等腰直角三角形， .BD=AD=2, :∠C=30°， ·AC=2AD=4, 由勾股定理得CD=√AC2-AD2=√6-4=2√5， ：BC的面积为(BD+CDAD-2+2)k2=2+25。 故选：A. 5.A 【分析】画出图形，根据旋转的性质得出相等边，证明△AOP≌△CD0,得出相等边，然 后过O作OH1AP于点H,利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：当点D恰好落在BC上时，如图， :线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段0D, 答案第1页，共2页 .0P=0D,∠P0D=60°， .∠A0P+∠C0D=180°-∠P0D=120°. :ABC为等边三角形， LA=∠C=60°， .∠C0D+∠CD0=180°-∠C=120°， .∠AOP+∠C0D=∠COD+∠CD0, .LAOP=∠CD0, △AOP≌△CDO(AAS), .AP=C0=6. 过O作OH⊥AP于点H, .∠A0H=30°， -01= 3 2 spn-p-au-- :OP=OH2+PH 故选：A. 【点晴】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， 含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应 用. 6.B 【分析】本题考查勾股定理，等角对等边，勾股定理求出AC的长，平行线的性质结合角平 分线推出AD=AC,AE=AB,线段的和差关系求出DE的长即可， 【详解】解：：∠BAC=90°，AB=6,BC=10, :AC=V102-62=8, :DE∥BC, .∠ADC=∠BCD,∠DEB=∠CBE, :∠ABC,∠ACB的平分线分别交线段DE于点E,D, .∠BCD=∠ACD,∠ABE=∠CBE, 答案第1页，共2页 ∠ADC=∠ACD,∠AEB=∠ABE, :AD=AC,AE=AB, .DE AD AE AC+AB=14; 故选B 7.C 【分析】本题考查圆柱体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理， 圆柱体的侧面展开图为长方形，BC长为底面周长的一半，由两点之间线段最短，可得最短 路程为线段AC的长，根据勾股定理计算即可， 【详解】解：如图，长方形ABMN为圆柱体的侧面展开图， 由两点之间线段最短，可得最短路程为线段AC的长， :圆柱的底面周长为24cm, .BM 24cm :BC是圆柱体的底面直径， 点C为BM的中点， :BM=24×=12(cm), 2 又：圆柱体的高AB为5cm, .AC=V122+52=13cm, ∴.蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm. 故选：C. 8.B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用轴对称求最短路径是解题的关键 连接MC,根据等腰三角形的性质得到BP⊥AC和AM=MC,利用点共线时线段和最小的 性质得到AM+QM=MC+OM,进而求解. 【详解】解：如图连接MC, 答案第1页，共2页