3.1勾股定理的探究（同步练习）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 3.1勾股定理的探究 （同步练习） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠B+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．b+c＝a 2.若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 3.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（   ） A． B．6 C． D． 4.如图，在直角三角形中，，，，点D为中点，则的长为（    ） A．10 B． C．4 D．5 5.如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 6.在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 7.如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，在中，，，，则 ． 10. 已知a、b、c是的三边（c为斜边），若，则 ， ． 11. 若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为 ． 12. 在中，，则边上的中线 ． 13.图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 14.如图，，，，数轴上点表示的数是 ． 15.如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 16.勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 18.如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 19.如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 20.如图，已知，点分别为的中点，，．求的长． 21.如图，在中，，． (1)在线段上找一点D，使得点D到边的距离等于的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 22.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，DE交BC于点E，AB＝EC，AC＝DE． （1）求证AC⊥DE； （2）连接AD，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，验证勾股定理． 23.已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．   (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，求证． 24.阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠B+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．b+c＝a 【答案】B 2.若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 【答案】C 3.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 4.如图，在直角三角形中，，，，点D为中点，则的长为（    ） A．10 B． C．4 D．5 【答案】D 5.如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） B． B．3 C． D． 【答案】A 6.在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】A 7.如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 8.如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，在中，，，，则 ． 【答案】4 13. 已知a、b、c是的三边（c为斜边），若，则 ， ． 【答案】 6 8 14. 若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为 ． 【答案】3或 15. 在中，，则边上的中线 ． 【答案】5 13.图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【答案】225 14.如图，，，，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 15.如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 16.勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 【答案】（1）解：线段即为边长为的线段； （2）解：∵为直角三角形，，， ∴． 18.如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 【答案】∵，，， ∴， 由折叠，得 ， ∴， ∵， ∴， 解答， ∴． 答：CD的长为． 19.如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】连接． 因为，所以，所以，， 因为，所以．因为M为中点，所以， 所以． 20.如图，已知，点分别为的中点，，．求的长． 【答案】如图，连接， ，点是的中点，， ， 同理可得， ， ∵点是中点， ，， ． 21.如图，在中，，． (1)在线段上找一点D，使得点D到边的距离等于的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：如图，过点D作于点E， ∵， ， ∴， 由作法得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 22.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，DE交BC于点E，AB＝EC，AC＝DE． （1）求证AC⊥DE； （2）连接AD，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，验证勾股定理． 【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABC＝∠ECD＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ECD中， ∴△ABC≌△ECD（HL）． ∴∠DEC＝∠CAB， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CAB+∠BCA＝90°． ∴∠DEC+∠BCA＝90°． ∴∠EFB＝90°， 即AC⊥DE． （2）解：如图，连接AE、AD， ∵△ABC≌△ECD， ∴EC＝AB＝a，DC＝BC＝b，DE＝AC＝c，BE＝b﹣a． ∴S四边形ABCD（a+b）babb2． ∵AC⊥DE， ∴S四边形ACBD＝S四边形AECD+S△ABEc2a（b﹣a）c2aba2． ∴abb2c2aba2． 即a2+b2＝c2． 23.已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．   (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，求证． 【答案】(1)是等腰直角三角形， ， ， 所以 ， ， ， ， ． （2）证明：连接，如图：     与都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 在中，根据勾股定理得：， ， ． 24.阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          【答案】任务一：∵为直角三角形，如图1 ，即；故答案为：； 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2， ；即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得：； 又，，∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $