重庆市开州区临江中学2025-2026学年高一上学期第十四周周测数学试卷

临江中学2028届高一数学第十四周周测卷 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知集合，，则（　 　） A．， B．， C． D． 2．已知幂函数，满足，则实数的取值范围为（　 　） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（ 　　） A． B． C． D． 4. 已知a＝2﹣1.1，，c＝log23，则三者大小关系为（　 　） A.b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b 5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等是假设把恒星放在距离地球10秒差距秒差距光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等和绝对星等满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星距离地球约32.6光年，恒星距离地球约326光年，恒星，的视星等满足，则（　 　） A． B． C． D． 6. 已知函数，a∈R，则“a＜1”是“函数f（x）在（1，+∞）上单调递增”的（　　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知，满足，则的取值范围是（ 　　） A． B． C． D． 8．若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为（　　 ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 对数恒有意义，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围 11. 已知函数，用表示中的较大者，记为，则（ ） A. 的解集为 B. 当时，的值域为 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，不等式有4个整数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数的值域为______________. 13. 已知，则____________． 14.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是　　　　　　. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.已知集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，则实数的取值范围. 16. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）解不等式. 17.我校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18.已知f（x）定义域为R，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．当x＜0时，f（x）＞2，且f（﹣2）＝3． （1）求f（2）的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若对∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有2f（x）﹣f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）]≤1恒成立，求实数t的取值范围． 19.已知函数f（x）． （1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）若对任意x1∈[1，2]，都存在x2∈[1，2]使x12﹣2bx1≥f（x2）成立，求实数b的取值范围； （3）设g（x）＝logm﹣1[4x+4﹣x﹣mf（x）]（m＞1，且m≠2），问是否存在实数m，使函数g（x）在[1，2]上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 答案： 1．【解答】解：集合，， 故，． 2．【解答】解：由题意可得，解得， 所以是定义在，上的增函数， 由，可得，解得，即实数的取值范围为，． 3．【解答】解：函数是偶函数，排除选项、， 当时，，排除选项． 4.已知a＝2﹣1.1，，c＝log23，则三者大小关系为（　C　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b 【解析】 由指数函数与对数函数的性质得，a＝2﹣1.1＜2﹣1，1， c＝log23＞log22＝1，所以a＜b＜c． 5．【解答】解：由题意可知，，， 则，解得． 6.已知函数，a∈R，则“a＜1”是“函数f（x）在（1，+∞）上单调递增”的（　B　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，则，解得1，即必要性成立， 若a＜1时，例如a时，在（1，+∞）上不是单调递增，所以“a＜1”是“函数f（x）在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件． 7.【解答】解：因为， 又，满足， 所以，， 所以，即． 8．【解答】解：根据题意，函数是定义域为，且对，，且，有，即， 设，易得为单调递增函数， 对于不等式， 变形可得：，即， 则有，解得：，即不等式的解集为． 9. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，根据换元法，以及构造函数，根据函数单调性判断函数最值，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由题意得，即，因为，则，解得； 对于A，则， 设函数，可知函数在上单调减，即， 可得，即，所以A正确； 对于B，可知，即，化简得，当且仅当，即时取等号；所以B正确； 对于C，， 设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上的最小值为，所以C正确； 对于D，，当且仅当，即时取等号， 因为，即，所以D错误； 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 对数恒有意义，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域求法即可判断A；由对数真数大于零及一元二次不等式恒成立即可判断B；换元法求解函数值域即可判断C；根据复合函数单调性得在区间上单调递增，然后利用二次函数单调性列不等式求解即可判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，若对数恒有意义，则恒成立， 当即时，不等式，符合要求； 当即时，因为恒成立， 则满足，解得， 综上，实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，，则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递减， 当时，，所以，则函数值域为，故C错误； 对于D，令，则由得， 由与复合而成， 因为在区间上单调递增，函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，的开口向上，对称轴为， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，用表示中的较大者，记为，则（ ） A. 的解集为 B. 当时，的值域为 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，不等式有4个整数解 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：直接解不等式即可；对于B：结合图像分析判断；对于C：分和，两种情况，整理可得，结合二次函数可知，运算求解即可；对于D：整理可得，结合，解不等式即可. 【详解】对于选项A：因为，解得， 所以的解集为，故A错误； 对于选项B：当时，则， 分别作出，的图像，可得的函数图像（实线部分），如图所示：    由图像可知：的值域为，故B正确； 对于选项C：若，则， 可知在上单调递增，符合题意； 若，令，即， 整理可得， 构建，且， 可知函数与x轴有2个交点，不妨设， 由题意可知：，则， 整理可得，解得； 综上所述：，故C错误； 对于选项D：对于不等式，即， 可得， 令，解得或， 若，则，，， 由，解得， 可知其中包含整数，所以不等式有4个整数解，故D正确； 故选：BD. 12.函数的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可. 【详解】令， 则原函数值域等价于函数的值域， 由指数函数性质可知，故函数的值域为. 故答案为： 13已知，则____________． 【答案】 14.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是　　　　　　.，0，【解答】解：根据题意， 当时，，令， 当时，，当且仅当时等号成立， 则， 当时，，当且仅当 时等号成立， 则， 综上所述，函数的值域为，则的值域是，0，． 15.已知集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，则实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求集合，进而可求并集； （2）分析可知，结合包含关系分析求解. 【小问1详解】 对于不等式，等价于且，解得， 即集合； 当时，集合， 所以. 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 可知，且集合， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 17.我校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18.已知f（x）定义域为R，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．当x＜0时，f（x）＞2，且f（﹣2）＝3． （1）求f（2）的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若对∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有2f（x）﹣f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）]≤1恒成立，求实数t的取值范围． 【解析】 （1）取x＝y＝0，则f（0+0）＝f（0）+f（0）﹣2，于是f（0）＝2，令x＝2，y＝﹣2，则f（0）＝f（2﹣2）＝f（2）+f（﹣2）﹣2，又f（﹣2）＝3，则f（2）＝1； （2）f（x）是R上的单调递减函数． 证明：任取m，n∈R，m＜n，则f（m）﹣f（n）＝f（（m﹣n）+n）﹣f（n）＝f（m﹣n）+f（n）﹣2﹣f（n）＝f（m﹣n）﹣2，由于当x＜0时，f（x）＞2，易知m﹣n＜0，则f（m﹣n）＞2，故f（m）＞f（n），所以f（x）是R上的单调递减函数． （3）不等式可化为2f（x）﹣2≤f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）]+f（2）﹣2，也即f（2x）≤f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）+2]，令a＝t+t﹣1，于是∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有f（2x）≤f（a2﹣ma）恒成立，由于f（x）为R上的单减函数，则∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有2x≥a2﹣ma恒成立，即∀m∈[5，7]，a2﹣ma≤﹣6成立，即a2﹣ma+6≤0恒成立；令h（m）＝（﹣a）m+a2+6，它是关于m的一次函数，故只需，解得a∈[2，3]．即，解得．即实数t的取值范围为[，]． 19.已知函数f（x）． （1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）若对任意x1∈[1，2]，都存在x2∈[1，2]使x12﹣2bx1≥f（x2）成立，求实数b的取值范围； （3）设g（x）＝logm﹣1[4x+4﹣x﹣mf（x）]（m＞1，且m≠2），问是否存在实数m，使函数g（x）在[1，2]上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）证明：设x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2），因为x1＜x2，所以，且，所以，f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），因此，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． （2）由条件可知（x2﹣2bx）min≥f（x）min，又（1）知在[1，2]上单调递增，，所以，即在x∈[1，2]恒成立，即在x∈[1，2]恒成立，记，易证h（x）在[1，2]上单调递增，所以，，从而只需，即，所以实数b的取值范围是（﹣∞，]． （3）原问题等价于，其中，首先，必须满足λ2﹣mλ+2＞0在上恒成立，即在在上恒成立，由对勾函数的单调性可得y＝λ在上单调递增，当λ时取得最小值为，所以．1°当1＜m＜2时，，此时u在上单调递增，且u须有最小值1，从而当时u有最小值1，即，解得，不满足1＜m＜2，故舍去；2°当时，u在上须有最大值1， 2.1当，此时u在λ处有最大值，即（）2﹣m（）+2＝1，解得m，不满足，故舍去；2.2当，此时u在λ处有最大值，即（）2﹣m（）+2＝1，解得m，不满足，故舍去．综上可知，不存在这样的实数m，使函数g（x）在[1，2]上的最大值为0． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 10:46:28；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 学科网（北京）股份有限公司 $