第4章 图形的相似 单元培优检测题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

《图形的相似》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下面几对图形中，相似的是（　　） A．B． C． D． 2．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD．若AO＝4，OF＝2，FD＝4，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 4．a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，c＝6cm，d＝8cm，则线段b的长为（　　） A．1cm B．2cm C．4cm D．9cm 5．如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如图所示，此时液面AB的宽度是（　　） A．2.8cm B．3cm C．3.2cm D．3.6cm 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2）．若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C'的周长是四边形OABC周长的2倍，则点B'的坐标为（　　） A．（4，6） B．（4，6）或（﹣4，﹣6） C．（4，6）或（﹣2，﹣3） D．（4，6）或（﹣6，﹣4） 7．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（　　） A．AB的长度 B．六边形ABCDEF的周长 C．六边形ABCDEF的面积 D．∠ECD＝30° 8．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2米，AC＝3.2米，AE＝0.8米，那么CD为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 9．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝9，则CF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P为线段AB上的动点，E为AD的中点，射线PE交CD的延长线于点Q，过点E作PQ的垂线交CD于点H、交BC的延长线于点F，则以下结论：①∠AEP＝∠CHF；②△EHQ∽△CHF；③当点F与点C重合时3PA＝PB；④当PA＝PB时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（每题4分，共20分） 11．若，则的值为　 　 ． 12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2m2，△DEF的面积为8m2，那么△ABC与△DEF的周长之比为　 　 ． 13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：2，若△ABC的周长为5，则△DEF的周长为　 　 ． 14．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝4，S△BCE＝24，则S△BDE＝　 　 ． 15．如图，在矩形ABCD中，3AD＝2AB，连接AC，在CD边上取一点E，过点E作EF⊥CD，交AC于点F，连接BE，在BE上取一点G，使得，连接FG，则的最小值为　 　 ． 三．解答题（共5小题，共50分） 16．已知，求： （1）代数式的值； （2）若a﹣b+c＝24，求a的值． 17．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5． （1）直接填空：的值为 　 　 ，的值为 　 　 ； （2）若DF＝12，求DE和EF的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为（4，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，并且点A2的坐标为（8，﹣8）； （3）△A1B1C1与△A2B2C2的相似比是　 　 ． 19．我校数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度，因此开展了实践活动，下面是善思小组的测量方案． 小组名称 善思小组 测量工具 标杆，皮尺 测量示意图 测量方案及数据 如图，小丽同学在离旗杆底部（点B）25.4米的点D处竖直立一根长度为1.8米的标杆CD（BD＝25.4米，CD＝1.8米），然后向后退0.6米到达点F处（DF＝0.6米），此时小丽刚好看见标杆顶端点C与旗杆顶端点A在同一条直线上，小丽的眼睛到地面的距离为1.5米（EF＝1.5米）．已知点B，D，F在同一条水平直线上，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内 反思 在测量EF时，需要记录的是观察者的眼睛到地面的距离，用身高代替误差较大 结合善思小组的测量示意图及测量数据，求旗杆AB的高度． 20．如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝4，OB＝3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）． （1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式； （2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积． （3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BO﹣OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C B B D D B C 二．填空题 11．． 12．1：2． 13．10． 14．8． 15．． 三．解答题 16．解：（1）设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴； （2）∵a﹣b+c＝24， ∴3k﹣4k+5k＝24， 解得：k＝6， 则a＝3k＝3×6＝18， ∴a的值为18． 17．解：（1）∵l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5， ∴，， 故答案为：，； （2）由（1）知，， ∵DF＝12， ∴EF， ∴DE＝DF﹣EF＝12． 18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）由图可得A1（﹣4，4），A2（8，﹣8）， ∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为． 故答案为：． 19．解：如图，由题意得：BD＝25.4米，CD＝1.8米，DF＝0.6米，EF＝1.5米过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点K，则四边形EFDK，四边形KDBH都是矩形． ∴KH＝BD＝25.4米，KE＝DF＝0.6米，EF＝KD＝BH＝1.5米． ∴EH＝KH+KE＝25.4+0.6＝26（米），CK＝CD﹣KD＝1.8﹣1.5＝0.3（米）． ∵∠CEK＝∠AEH，∠CKE＝∠AHE＝90°， ∴△CEK∽△AEH， ∴， ∴， 解得：AH＝13（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴AB＝AH+BH＝13+1.5＝14.5（米）， 答：旗杆AB的高度为14.5米． 20．解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3 ∴AB ①P由O向A运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4﹣t 过Q作QH⊥AP于H点． 由QH∥BO，得 ∴ 即（0＜t＜4） ②当4＜t≤5时，即P由A向O运动时，AP＝t﹣4AQ＝t sin∠BAO QH， ∴ ； 综上所述，S△APQ； （2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP＝90°， ∴cosA， 当0＜t＜4∴即 当4＜t≤5时，，t＝﹣16（舍去） ∴； （3）存在，有以下两种情况 ①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ＝BE 过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N． 则有BM＝QN，由PE∥BQ， 得， ∴； 又∵AP＝4﹣t， ∴AN， ∴， 由BM＝QN，得 ∴， ∴； ②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中 BQ＝EP且PQ⊥OA于P点 由题意知 ∵OP+AP＝OA， ∴ ∴t， ∴OE， ∴点E（0，） 由①②得E点坐标为（0，）或（0，）． （4）①当P由O向A运动时，OQ＝OP＝AQ＝t． 可得∠QOA＝∠QAO∴∠QOB＝∠QBO ∴OQ＝BQ＝t ∴BQ＝AQAB， ∴； ②当P由A向O运动时，OQ＝OP＝8﹣t BQ＝5﹣t， 在Rt△OGQ中，OQ2＝QG2+OG2 即（8﹣t）2 ∴t＝5 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/8 23:02:46；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $