第四章 图形的相似（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

第四章 图形的相似 教学目标 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方； 3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化； 教学重难点 1.重点 相似的判定及性质 2.难点 灵活运用相似的相关性质解决几何问题 知识点01成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点02比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点03黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点04平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 知识点05平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点06相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点07 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点08 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【即学即练】 1．若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 2．如图，直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 3．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为3：4．若．则的长为 ． 4．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 5．如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 题型01 比例的性质 【典例1】已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【变式2】对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型02 成比例线段 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知线段，若 ，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知线段a，b，c，d是成比例线段，，，，则线段d的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．8 【变式3已知线段，，则a，b的比例中项是（   ） A． B． C． D． 题型03 黄金分割 【典例1】．如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型04 平行线分线段成比例 【典例1】．如图，直线，直线分别交于点A、B、C，直线分别交于点D、E、F，已知，若，则的长是（　　） A． B． C．9 D．6 【变式1】如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 题型05 相似多边形 【典例1】．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（    ） A． B．六边形的周长等于六边形的周长的倍 C． D．六边形的面积等于六边形的面积的2倍 题型06 位似 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【变式2】．如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A． B．6 C．12 D．18 【变式3】．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知．若，则（   ） A．2 B．6 C．12 D．18 题型07 相似综合性问题 【典例1】如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】．如图，在正方形中，点E为边上一点（不与点A、D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接．下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式2】．如图，正方形中，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接、，交于点．下列结论①；②；③；④，正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【变式3】．如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、，交于点，与交于点，连接、，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③平分；④． A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④ 题型08 添加条件判定相似 【典例1】如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【变式1】．如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 【变式2】．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【变式3】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 题型09 求位似中心 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【变式1】．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【变式2】．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是 ． 【变式3】．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 题型10 利用相似的性质求解 【典例1】 如图，在中，，点、分别在、边上，若，，，，则的长为 ． 【变式1】．如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B两点，过该函数图象上一点作轴于点D，E是线段上一动点，连接，，若以B，E，O为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为 ． 【变式3】．如图，平行四边形中，，点P为中点，将沿翻折得到，延长分别交于点F，G，若，则的长为 ． 题型11 最值问题 【典例1】．如图，已知为等腰直角三角形，，点E是线段的三等分点（），点C是直线上的一个动点，连接，以为直角边、点A为直角顶点作等腰直角三角形，连接，则的最小值是 ． 【变式1】．如图，在等腰直角中，，其中点P为高上的一个动点，连接，将绕点B顺时针旋转，同时满足，连接、，则周长的最小值是 ． 【变式2】．如图，在中，，，，为内一动点，且，则的最小值为 ． 【变式3】．如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是 ． 题型12 相似的证明 【典例1】如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【变式1】．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【变式3】．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 题型13 利用相似测量 【典例1】．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 【变式1】．．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【变式2】．．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【变式3】．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 题型14 动点问题 【典例1】．如图①，在边长为的正方形中，点是边上一点，，连接交于点．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度也为；当点运动到点时，两点同时停止运动．回答下列问题： (1)如图②，连接，当为何值时，？ (2)如图③，连接，设六边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图④，连接交于点，连接，取的中点，连接，连接，当为何值时，最小？最小值是多少？ 【变式1】．．（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 【变式2】．综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 【变式3】．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的度数； (3)如图3，点M在上，且，以点C为中心，将线逆时针转得到线段，连接，若，求线段长度的最大值与最小值的差． 题型15 相似与一次函数综合 【典例1】．如图，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，点的坐标为，点为延长线上一点． (1)求出点，点的坐标； (2)如果，求点坐标； (3)若为轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【变式1】．一次函数与x轴，y轴交于点C，D，一次函数与x轴，y轴交于点A， B，直线，直线交于点    (1)求直线的解析式； (2)平行于y轴的直线与直线，交于点F， G，点F在点G的上方，． ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H，使得为直角三角形，请直接写出点H的坐标； ③在直线上找一点M，使得，请直接写出点M的横坐标． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【变式3】．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA． （1）写出A、C两点的坐标； （2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值； （3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由． 一、单选题 1．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（   ） A．只有 B．只有 C．或 D．或 3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 5．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 二、填空题 6．如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 7．西周数学家商高用“矩”（如图1）测量物高的方法为把矩的两边放置成如图2所示的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出的长，即可算得物高．已知，测得，则 ． 8．如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 9．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 10．如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是 ． 三、解答题 11．如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长． 12．如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)若，求的值． 13．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 14．如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 15．如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得．    (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似 教学目标 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方； 3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化； 教学重难点 1.重点 相似的判定及性质 2.难点 灵活运用相似的相关性质解决几何问题 知识点01成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点02比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点03黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点04平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 知识点05平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点06相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点07 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点08 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【即学即练】 1．若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接计算即可，熟练掌握比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 2．如图，直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得， ∴． 故选B． 3．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为3：4．若．则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为3：4，， ∴，即， ∴． 故答案为：16． 4．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 5．如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）证明：于点， ， 于点， ， 在和中，，， ； （2）证明：， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 题型01 比例的性质 【典例1】已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 【变式1】已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 【变式2】对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，设， ∴，故C错误， D、，故D正确 故选：D． 【变式3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可． 本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时除以， 得， ∴． 故选：B． 题型02 成比例线段 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，可将它们的长度按从小到大排序，检验首尾两段的乘积是否等于中间两段的乘积． 根据成比例线段的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 【变式1】已知线段，若 ，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段，由条件得到，然后利用比例的性质求d即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得：， 故选：B． 【变式2】已知线段a，b，c，d是成比例线段，，，，则线段d的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段， 根据成比例线段可得，再代入数值计算得出答案. 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴. ∵， ∴， 解得. 故选：D. 【变式3已知线段，，则a，b的比例中项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键． 【详解】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故选：A． 题型03 黄金分割 【典例1】．如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的即是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴； 故选：A． 【变式1】大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 【变式2】已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割的含义． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， 而， ∴． 故选：A． 【变式3】如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 题型04 平行线分线段成比例 【典例1】．如图，直线，直线分别交于点A、B、C，直线分别交于点D、E、F，已知，若，则的长是（　　） A． B． C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，可得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 【变式2】如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选C． 【变式3】如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，， ∵在等腰中，直角边， ∴， ∵交于点F，M为的中点， ∴， ∴ ∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，即交于点O， ∴为点M所经过的路线长 ∴ ∵D为的中点 ∴ ∴ ∴ ∴为的中位线 ∴ ∴点M所经过的路线长为． 故选：B． 题型05 相似多边形 【典例1】．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． 【变式1】如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 【变式2】．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（    ） A． B．六边形的周长等于六边形的周长的倍 C． D．六边形的面积等于六边形的面积的2倍 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形，熟知相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵六边形六边形，相似比为， ∴六边形的周长等于六边形的周长的2倍，故B选项错误，不符合题意； ∵六边形六边形，相似比为， ， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵六边形六边形，相似比为， ∴六边形的面积等于六边形的面积的4倍，故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 题型06 位似 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意； B、因为以原点O为位似中心，相似比为，且在第三象限，原图形点的横纵坐标各乘以,得到对应的位似点C的坐标为，此选项符合题意； C、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意； D、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】．如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为36， ∴四边形的周长为． 故选：C 【变式2】．如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A． B．6 C．12 D．18 【答案】C 【详解】解：∵四边形与四边形关于点位似，， ∴四边形与四边形的相似比， ∴四边形与四边形的面积比为， ∵四边形的面积为3， ∴四边形的面积为12 故选：C． 【变式3】．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知．若，则（   ） A．2 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 同理：，而， ， ∴； 故选：D． 题型07 相似综合性问题 【典例1】如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵矩形纸片， ∴，，， 由折叠的性质得，，，，，，，， ∴ ，故①正确； ∵点在线段上，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∴综上所述，正确的是①②③④． 故选：B． 【变式2】．如图，在正方形中，点E为边上一点（不与点A、D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接．下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：根据题意，补全图形如下： 将线段沿直线翻折，得到线段，正方形 ，， ∴， ∴，故①正确； 设． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，故②正确； 如图，连接交于点M，作， 连接， ，， ， ∵将线段沿直线翻折，得到线段， ∴， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上可得：正确的有①②③， 故选：B 【变式2】．如图，正方形中，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接、，交于点．下列结论①；②；③；④，正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 故③符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴， 故④是符合题意的； 故选：A． ． 【变式3】．如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、，交于点，与交于点，连接、，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③平分；④． A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：解：∵四边形、四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 取的中点，如图：在中，K为斜边上的中点， ∴， 在中，K为斜边上的中点， ∴， ∴， ∴A、B、O、C四点共圆， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴A、O、C、D四点共圆， ∵， ∴，故④正确， 由已知不能证明平分，故③错误， 故正确的有：①②④， 故选：D． 题型08 添加条件判定相似 【典例1】如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 【变式1】．如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 【答案】（或或） 【详解】解：要使相似，已知，还需具备的一个条件是或或． 故答案为∶ （或或） 【变式2】．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，和中，已满足一组对角相等，因此再添加一组对角相等，或相等的角的两条边长对应成比例，即可证明． 【详解】解：和中，， 若，则需要增加的一个条件是：或或， 故答案为：（答案不唯一）． 题型09 求位似中心 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【变式1】．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【变式2】．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是 ． 【答案】（﹣4，﹣3） 【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案． 【详解】解：△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形， 则连接和并延长相交，交点即为P点， 如图所示，P点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键． 【变式3】．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 题型10 利用相似的性质求解 【典例1】 如图，在中，，点、分别在、边上，若，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据等边对等角得，根据三角形外角的性质得，推出，证明得，代入数据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义及性质，相似三角形的判定和性质，说明是解题的关键． 【变式1】．如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；连接，由题意得O为的中点；由平行四边形的性质易证，则得；再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵直线将的面积平分， 是的中点， ； ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B两点，过该函数图象上一点作轴于点D，E是线段上一动点，连接，，若以B，E，O为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：对于一次函数，当时，，当时，， ∴点，点， ， ∵点是线段上一动点， ∴设点，， ， ∵点，且点在一次函数的图象上， ， ∴点， 轴于点， ， ， ∵， ， 当以，，为顶点的三角形与相似时，有以下两种情况： ①当时，， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去)， 当时， ， ∴点的坐标为； ②当时，， ， ， ， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，， ∴点的坐标为 ． 综上所述：当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】．如图，平行四边形中，，点P为中点，将沿翻折得到，延长分别交于点F，G，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M，连接，过F作于H，如图： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点P是中点， ∴， 由翻折的性质可得：， ∵，P是中点，， ∴， ∴， ， 又∵， 在内，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型11 最值问题 【典例1】．如图，已知为等腰直角三角形，，点E是线段的三等分点（），点C是直线上的一个动点，连接，以为直角边、点A为直角顶点作等腰直角三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， 如图，作点O关于的对称点F，连接，，则，． 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， 当点C与点O重合时，点D与点F重合， ， ， 又，， ， ， 点C在直线上运动时，点D的运动轨迹为直线， ， ， 如图，当时，取最小值， ，，， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【变式1】．如图，在等腰直角中，，其中点P为高上的一个动点，连接，将绕点B顺时针旋转，同时满足，连接、，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，以为边向下作正方形，连接， ∵在等腰直角中，，，是的高， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，垂直平分， ∴，， ∴点在上， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，，，，为内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理. 如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式3】．如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 作交于点N，交的延长线于点M，作点D关于直线的对称点，连接，与交于点H，连接，如图： 则，， ∵， 又∵，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为． 在中，， 故答案为：． 题型12 相似的证明 【典例1】如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 【变式2】．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 题型13 利用相似测量 【典例1】．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式1】．．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 【变式2】．．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 【变式3】．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】(1)， (2)43 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 题型14 动点问题 【典例1】．如图①，在边长为的正方形中，点是边上一点，，连接交于点．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度也为；当点运动到点时，两点同时停止运动．回答下列问题： (1)如图②，连接，当为何值时，？ (2)如图③，连接，设六边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图④，连接交于点，连接，取的中点，连接，连接，当为何值时，最小？最小值是多少？ 【答案】(1)当时 (2) (3)当时，最小为 【详解】（1）解：设运动时间为，由题意得：， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：， ∴当时； （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵点N是的中点， ∴ ∴， 如图，在的延长线上截取，连接交于， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴ 当且仅当A，Q，F三点共线，即点Q与点重合时， 最小， 则， 解得：， ∴当时，最小， 在中， ， ∴最小值为． 【变式1】．．（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 【答案】（1）①，②不变，理由见解析；（2） 【详解】解：（1）①在和中，， ∴， ∴， 答案为：； ②的值不变， 理由：在和中，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过F作于H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意舍去）， ∴的长为． 【变式2】．综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)或，的面积为4或 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）如图，作于点H， ， ， ， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： ①当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，为等腰直角三角形， ， ∴此时点A、F、C三点共线， ； ②当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ； 综上所述，或2，的面积为或； （3）的最小值为．理由如下： ， ∴点F在以的中点M为圆心的圆上，延长交的延长线于点N， 设， ， ， ， ， ， ， ， 若最小，即最小，则最大， 当最大时，与圆M相切，即， 设， ， ， ， 解得或（舍）， ， ． 的最小值为． 【变式3】．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的度数； (3)如图3，点M在上，且，以点C为中心，将线逆时针转得到线段，连接，若，求线段长度的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ， ， 线段顺时针旋转得到线段， ， ； （2）如图1，连接 线段顺时针旋转得到线段DE， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 或， 当时，，此时， ； 当时，，显然不可能． 综上所述，是等腰三角形时，； （3）如图2，连接，过点D作于点F 由知，， 线段时针转得到线段， ，， ， ∴ 设，，则， ∴， ∴ ， ， 点D在上， ∴当时，的值最小， ∵ ∴此时， 当点D和点A重合时，的值最大，此时 ， ， ， ， 的最大值与最小值的差． 题型15 相似与一次函数综合 【典例1】．如图，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，点的坐标为，点为延长线上一点． (1)求出点，点的坐标； (2)如果，求点坐标； (3)若为轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，， 令，得，令，得， ，； （2）解：根据题意，有两种情况，如图，分别设为，， ，， ， ， ， 由（1）知，， 又， ，， ， 设， ， 化简得：， 解得：或， 在第一象限，， ， ； 设， ， ， 又，， ， ， 化简得：， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点坐标为或； （3）解：由题意得点应位于点左侧， 当时，如下图所示，设， ， ， 由（2）知， 又，， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 当时，如下图所示，设， ， 又， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【变式1】．一次函数与x轴，y轴交于点C，D，一次函数与x轴，y轴交于点A， B，直线，直线交于点    (1)求直线的解析式； (2)平行于y轴的直线与直线，交于点F， G，点F在点G的上方，． ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H，使得为直角三角形，请直接写出点H的坐标； ③在直线上找一点M，使得，请直接写出点M的横坐标． 【答案】(1)； (2)①；②，；③或． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， ∴， 将代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在函数中，令，则，故， 在函数中，令，则，故， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； ②令，则，解得：，故， 设， 根据两点间距离公式可得： ， ， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：，则； 当时，，解得：或（舍去），则， 综上，点H的坐标为或； ③作于点，如图：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，则， ∵在直线上， 设， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∴点的横坐标为或． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)点F的坐标为或或 (3)存在点P， 【详解】（1）解：把代入得， ∴ 设直线的函数表达式为， 将C点坐标，代入得： ， 解得 ， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，令得，令得， ∴， ∵ 当时，，则 可得， 设， ①若为对角线，则的中点重合， ∴ 解得， ∴； ②为对角线， 则， 解得， ∴； ③为对角线， 则，， 解得； ∴； 综上所述，点F的坐标为或或； （3）解：存在点P，使得无论直线l如何运动始终有与相似，理由如下： 过P作于H，过H作轴，过D作于K，过P作于T，如图： ∵， ∴， ∴， ∵直线轴交于M，作直线交l于N， ∴， 由可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 设， ∵， ∴，， 解得， ∴ 【变式3】．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA． （1）写出A、C两点的坐标； （2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值； （3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由． 【详解】 解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2， ∴A（﹣1，0），C（0，2）． （2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如图1， ∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线． ∴MC=MP． 又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）． 设直线l与y=2x+2交于点D， 令y=m，则x=，∴D（，m）． 设直线DP的解析式为y=kx+b，则有 ，解得：． ∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2． 令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）． 已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ， ∴，即， 整理得：． 解得：m=（＞1，不合题意，舍去）或m=． ∴m=． （3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE， 依题意画出图形，如图2， 由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2， 由勾股定理得：． ∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0）， ∴AQ=m，AB=a+1． ∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=． ∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB． ∴． 又∵CD•AQ=PQ•DE，∴． ∴，即，解得：． ∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，． ∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在． 一、单选题 1．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 首先由得到，然后利用相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当，或时，； 当时，无法判定与相似． 故选：C． 2．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（   ） A．只有 B．只有 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，由此计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴那么的坐标是或，即或， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，熟练掌握位似图形对应点坐标的变化规律是解题的关键．根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小到原来的得到， ∴点与点的坐标关系为点的坐标是点坐标乘以的相反数（与在位似中心两侧）． ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 4．下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由两个角对应相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； B.因为，，即，根据两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； C. 由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； D.该选项条件中，相等的角不是对应成比例两边的夹角，故不能证明三角形相似，该选项错误，符合题意． 故选：D． 5．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 二、填空题 6．如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，可知，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，因为，可得：，从而求出的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．西周数学家商高用“矩”（如图1）测量物高的方法为把矩的两边放置成如图2所示的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出的长，即可算得物高．已知，测得，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据得出 ，得出，代入数据求出的长即可推出结果． 【详解】解：， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 8．如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的性质及应用．解题关键是利用数形结合思想，将几何图形的性质与代数方程结合，逐步推导．利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边长度，通过三角形面积的不同表达方式求出点C到的距离；再通过构造辅助线，利用正方形的性质和相似三角形的对应边成比例关系，建立方程求解正方形的边长． 【详解】解：在中，，由勾股定理， ， ， ， ， 解得， 过点C作于点M，交于点N， 四边形是正方形， ， ，且， ， ， 设，则，， ， 解得， 9．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 10．如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：四边形是正方形，对角线、交于点， ，，，，， ，， ， 由折叠得，，， ，， 故正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， 故正确， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长． 【答案】2 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，由，，得，则，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是2． 12．如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）∵， ． ∵， ∴． ． 13．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 (4)与是位似图形, 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： ； （3）解：如图，即为所求， （4）解：如图，连接与的对应顶点、、并延长，发现三线交于一点，故两三角形是位似图形． 直线：、，纵坐标恒为，即； 设直线为， 把、代入， 得， 解得，， ∴直线为； 联立与，得， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质与画法、平移变换的坐标规律及三角形面积计算，熟练掌握位似图形“对应顶点连线交于位似中心”、平移“左减右加，上加下减”的坐标变化是解题关键． 14．如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【答案】12米 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 15．如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得．    (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【详解】（1）证明：，， ， ∵，对角线平分， ∴， ∴， ， ， ，即； 由折叠可知：， ∴ （2）①解：作于点，如图1所示：    由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ． 由折叠可知， ∴， ∴ ②证明：作于点，交于点，连接，如图2所示：    由①中结论可知．，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． ，且， 故四边形为平行四边形， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$