专题04 图形的相似8考点（期末真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期北师大版

专题04 图形的相似 8大高频考点概览 考点01 成比例线段 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似多边形 考点04 相似三角形的判定 考点05 相似三角形的性质 考点06 相似三角形的判定和性质的综合运用 考点07 相似三角形的实际应用 考点08 位似 地 城 考点01 成比例线段 1．(24-25九上·陕西咸阳·期末)若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ）． A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．根据、、、是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出的值即可． 【详解】解：，，，成比例， ， ∵，，， ， ． 故选：C． 2．(24-25九上·陕西西安曲江第一中学·期末)如图，正方形中，点是线段的黄金分割点即，表示以为边的正方形的面积，表示矩形面积，则与的大小关系（   ） A．无法确定 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割、矩形的面积公式、正方形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用正方形和矩形的面积公式有， ，由，推出，可得结论． 【详解】解：四边形是正方形， ． 表示以为边的正方形的面积， ． 表示矩形面积， ． ， ． ． 故选：D． 3．(23-24九上·陕西宝鸡金台区宝鸡第一中学·期末)下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，，故符合题意； 故选：D． 4．(23-24九上·陕西咸阳三原县·期末)若线段a，b，c，d成比例线段，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段的定义．根据成比例线段的定义，可得，即可求解． 【详解】解：：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且， ∴，即， 解得：． 故选：A． 5．(23-24九上·陕西榆林府谷县·期末)若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段的定义，列出比例式（方程）求解是解题的关键．根据比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如a，b，c，d是成比例线段，那么只能写成或，不能随便更改位置，列出比例式（方程）求解即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且，，， ∴，即， 解得：． 故选：A． 6．(22-23九上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质及分式的性质化简可得结果. 【详解】解： 故选B 【点睛】本题考查了比例的性质及分式的化简求值，把转化为再整体代入是解题关键. 7．(23-24九上·陕西西安铁一中学·期末)如果，那么( ) 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简．设，则，然后代入化简即可求解． 【详解】解∶设，则， ∴． 故答案为：． 8．(24-25九上·陕西铜川·期末)已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质，利用设参法，设，，进而代值化简可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·陕西宝鸡扶风县·期末)已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为 ． 【答案】/2厘米 【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 10．(24-25九上·陕西渭南临渭区·期末)如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质及计算，掌握比例的性质是解题的关键． 根据题意可得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．(24-25九上·陕西西安高新区·期末)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”．如图（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割点的运用，掌握黄金分割点的计算公式是解题的关键． 根据题意，运用黄金分割的计算公式得到，解出的值，再有即可求解． 【详解】解：∵为的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(24-25九上·陕西咸阳永寿县仪井中学·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键． 根据比例的基本性质进行化简，代入求值即可． 【详解】解：由可得， ∴． 故答案为：． 13．(23-24九上·陕西西安铁一中学·期末)符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 14．(23-24九上·陕西汉中宁强县·期末)“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”． 如图，P为的黄金分割点， 如果的长度为， 那么的长度是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，难度较小，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴， 故答案为． 15．(23-24九上·陕西榆林府谷县·期末)黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇宽与长的比等于黄金比的矩形窗户的长为米，则宽为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的比例是解题关键， 利用黄金分割定义，进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意得； 故答案为： 16．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在四边形中，，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，利用尺规正确作图是解题的关键．作于点，延长交边于点，由可得，再由可得，得出，再结合证出，则点即为所求． 【详解】解：如图，作于点，延长交边于点， ， ， ， ， ， ，即， 又， ， 如图所示，点即为所求． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 1．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理得到即可得解． 【详解】解：根据平行线分线段成比例可得：， ，， ， ． 故选：． 2．(23-24九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ 故选：A． 3．(23-24九上·陕西渭南富平县·期末)如图，直线，直线分别交直线于点，直线分别交直线于点．若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由平行线等分线段定理得到，解比例式即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：． 5．(23-24九上·陕西宝鸡高新区·期末)如图，已知，交、、于点A、B、C，交、、于点D、E、F，，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据，可得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴． 故选：C． 6．(23-24九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，若 ，，则 的长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， . 故选：B. 7．(23-24九上·陕西榆林府谷县·期末)如图，，若，，则的长度是（    ）    A．4 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，熟练的利用平行线分线段成比例计算求值是解本题的关键．由可得，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选A． 8．(23-24九上·陕西榆林子洲县·期末)如图，，与交于点O，若，，，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例列式即可得到答案； 【详解】解：∵，，，， ∴， 故选：A． 9．(23-24九上·陕西商洛商南县湘河镇初级中学·期末)如图，在中，F为的中点，过点F作于点E，交的延长线于点D，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线截对应线段成比例，过作，根据平行线截对应线段成比例直接求解即可得到答案； 【详解】解：过作， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．要使，已有（公共角），则只需作出即可； 以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与前面所画弧相交于点Q；连接并延长，交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 10．(24-25九上·陕西宝鸡高新区·期末)如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质、尺规作一个角等于已知角，先根据相似三角形的对应角相等得到，然后利用尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． 【详解】解：如图，点P即为所求作 在正方形中， 又∵， ∴． 11．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键． 由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，   ，         ， ， ． 12．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，点为矩形的边的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，矩形的性质，相似三角形的判定，根据作一个角等于已知角得方法作，然后根据相似三角形的判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交分别为，连接； 以为圆心，长度为半径画弧，交弧于点； 连接，延长交于点； ∴点即为所求； 理由：∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知：， ∴． 13．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，相似三角形的判定，以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，如图： ∵，， ∴． 地 城 考点03 相似多边形 1．(23-24九上·陕西商洛商南县湘河镇初级中学·期末)已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的对应边的比相等，周长的比等于相似比即可求解． 【详解】解：两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为， 较大的一个多边形的周长为， 故选：B． 2．(23-24九下·陕西汉中勉县·期末)如图，四边形四边形．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为：． 3．(23-24九上·陕西咸阳礼泉县·期末)若四边形四边形，且，则四边形与四边形的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：四边形四边形，， 四边形与四边形的面积比， 故答案为：． 4．(23-24九上·陕西西安西咸新区·期末)已知两个相似八边形的相似比为，若较小八边形的面积为18，则较大八边形的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用多边形面积比等于相似比的平方得出是解题关键．利用相似多边形的性质，面积比等于相似之比的平方，进而得出较大多边形的面积． 【详解】解：∵两个相似八边形的相似比为， ∴这两个相似八边形的面积比为， ∵较小八边形的面积为18， ∴较大八边形的面积为． 故答案：50． 5．(23-24九上·陕西咸阳秦都区·期末)四边形四边形，，若四边形的周长为3，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比即可解答. 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴ ∵四边形的周长为3， ∴四边形的周长为. 故答案为：. 地 城 考点04 相似三角形的判定 1．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，使得将分为两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、尺规作图—作垂线，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定以及垂线的作图方法． 根据垂线的作图方法，过点作的垂线，垂足为点，此时有，，则． 【详解】解：如图，点即为所求： 2．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，为矩形的对角线，点F是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作垂直平分线，相似三角形的判定，作的垂直平分线交与点E，交与点F，根据平行线的判定可知，即可得出． 【详解】解：如图所示，点E即为所求．（答案不唯一）    3．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定定理，掌握作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点D，则点D即为所求． ∵平分 ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ 4．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在中，点是边的中点．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要查了尺规作图，相似三角形的判定．作，即可求解． 【详解】解：如图，点E即为所求． ∵，， ∴． 5．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，是以为底的等腰三角形，若，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．作的角平分线交于，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，点即为所作， ∵，， ∴， 由作图可得：平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．(24-25九上·陕西咸阳永寿县·期末)如图，在中，点F在的延长线上，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据四边形为平行四边形，即有，过点B作，即可证明． 【详解】解：如图，点即为所作， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 过点B作，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．(24-25九上·陕西西安某校·)如图，在中，D是上一点，且，，．试问：与相似吗？请说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键．利用两边对应成比例夹角相等，判定两个三角形相似． 【详解】解：， 理由：∵，，． ∴，， ∴， ∵， ∴ 8．(24-25九上·陕西榆林府谷县·期末)如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．以点为顶点作，结合四边形为平行四边形，即有，可知，结合，即可证明． 【详解】解：如下图，作，则点即为所求． 9．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度．在阳光下，小华站在点处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中；随后，该小组组员甲在点处放置一面平面镜，组员甲移动到点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端的像，此时，，组员甲的眼睛到地面的距离为，小华的身高为．已知，，，点在一条直线上根据以上信息，求广告牌的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 【答案】广告牌的高度为． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意可证，得，则，再证明，得，则，可得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，根据光的反射得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴广告牌的高度为． 10．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，在矩形中，，，连接，点在边上，连接，交于点，若．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据矩形的性质，证明，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴． 11．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 【答案】（1）见详解 （2） （3）的周长为 【分析】（1）根据题意，运用两边对应成比例，两边夹角相等，两三角形相似的判定方法即可求证； （2）根据题意可证，得，再证，得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，连接，可得，，可证，得，点为的中点，再证明四边形是矩形，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． （2）∵是边上的高，即，点恰好落在高线的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （3）如图所示，设交于点，连接， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴点为的中点， 又， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是关键． 12．(24-25九上·陕西西安长安区·期末)如图，于点E，于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点D，于点E，得，再结合，证明，即可作答． 【详解】证明：∵于点D，于点E， ∴． 又∵， ∴， ∴， 13．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)   【问题提出】 （1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，连接，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，得到，等量代换得到，连接交于，根据菱形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），， ， ， ，的长为21， ， ； （2）， 理由：， 四边形是菱形， 连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接交于， ，， ， ， ， ．    14．(24-25九上·陕西安康石泉县部分学校·期末)【问题情境】如图①，小明把三角板放置到矩形中，使顶点E、F、G分别落在边、、上，则与之间的数量关系为______； 【变式探究】如图②，小明把三角板放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边、、上，若，，求的长； 【拓展应用】如图③，小明把三角形放置到平行四边形中，使顶点E、F、G分别在边、、上，若，，，直接写出的值． 【答案】问题情境：；变式探究：；拓展应用： 【分析】问题情境：由四边形是矩形，可得，推出，可得； 变式探究：过点F作于H，则，可得，得出，，进而求得，，再由四边形是矩形，可得，即可求得答案； 拓展应用：延长至M，连接FM交于P，使，可得，推出，再根据平行四边形性质和等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】解：问题情境：结论：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 变式探究：如图2，过点F作于H，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 拓展应用：延长至M，连接交于P，使，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和相似三角形的判定与性质，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键 地 城 考点05 相似三角形的性质 1．(24-25九上·陕西宝鸡高新区·期末)已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 2．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，在中，点在边上，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例可知，得到，然后可证，得到，接着根据题意易证四边形是平行四边形，得到，最后由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 故选：D． 3．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 4．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．先利用矩形的性质得到，，再计算出，再由勾股定理计算出，接着根据斜边上的中线性质得到，所以，则，然后利用相似比求出，从而得到的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 5．(24-25九上·陕西西安长安区·期末)如图，在菱形中，过点C分别作，边上的高，，过F点向所在的直线作垂线，交的延长线于H，连接交于点G，若点E是的中点，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由菱形的性质得可证明垂直平分，则进而证明和都是等边三角形，则由，得设则所以再证明得，则而则求得于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵过点分别作边上的高， ∴于点于点， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵交的延长线于点， ∴， ∵ 设则 ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．(24-25九上·陕西西安长安区·期末)如图，交于点D，，，，，则的长等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明推出可得结论，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】 ， 故选：A． 7．(24-25九上·陕西榆林神木·期末)如图，在中，为上一点，连接，为上一点，连接，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，补角性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质证明，得到，据此解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．(24-25九上·陕西汉中镇巴县·期末)和按如图所示放置，点在上，，．连结，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，则可得，再利用角度的转换得到，可得，即可解答，熟练掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 故选：A． 9．(24-25九上·陕西咸阳永寿县·期末)如图，在矩形中，点是边的中点，于点，于点，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和线段垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，，利用，可判断则可对进行判断；通过证明，则，则可对进行判断；设的面积为，利用得到，所以，于是得到垂直平分，则，利用三角形面积公式得到， 然后利用得到，所以, 则，于是可对、进行判断． 【详解】解：、∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、设的面积为，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 、由上可知：垂直平分， ∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：． 10．(24-25九上·陕西西安西安理工大学附属中学·期末)如图，在正方形中，，为直线上的动点，连接，．为上一动点，连接，使得．在点的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，取中点E，连接，，根据正方形的性质和勾股定理可求出，证明，可得出，等量代换得出，证明，得出，则点N在以为直径的圆上运动，故当B、N、E三点共线，且N在线段上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，取中点E，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点N在以为直径的圆上运动， ∴当B、N、E三点共线，且N在线段上时，最小，最小值为， ∵E为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念等知识，明确题意，添加合适辅助线，确定点N在以为直径的圆上运动是解题的关键． 11．(24-25九上·陕西咸阳永寿县仪井中学·期末)如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由相似三角形的性质可得，根据点为中点，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴设，则， ∴，则， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 12．(24-25九上·陕西汉中洋县·期末)已知，与的周长比为．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可． 【详解】解：，与的周长比为， 与相似比为，即， ， ， 故答案为：4． 13．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，已知，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．(24-25九上·陕西西安西咸新区·期末)如图，正方形的边长为10，点P为的中点，连接、，点M、N分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N，求出，证明，则，得到，此时是最小值，证明，则，即可求出． 【详解】解：取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点P为的中点，的中点E， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时是最小值， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，添加辅助线找到是最小值是解题的关键． 15．(24-25九上·陕西榆林府谷县·期末)如图，在菱形中，对角线、交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，作点F关于对角线所在直线的对称点，连接、，结合，可得当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于对角线所在直线的对称点， 连接、， ∵， ∴当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度， ∵四边形为菱形，，， ∴， ∴在中，， 由对称性可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴的最大值为4． 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．(24-25九上·陕西西安长安区·期末)如图，已知矩形中，，，P是对角线上的动点，且，连接． (1)求证：； (2)当P点在上运动时，四边形的面积是否存在最大值，若存在，求出此面积和的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)存在，四边形的面积最大值为， 【分析】（1）由题意可知，因此，再结合题意可得，因此即可得证； （2）由可得，由于是定值，所以时，最小，则最小， 根据面积的两种取法可求得，，因而可求出最小值， 利用即可求出四边形的面积最大值，在中，利用勾股定理即可求出的值． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ， ， 又， ， 又， ． （2）由（1）中可知， ， 即， 由于是定值，所以时，最小，则最小， 根据， ， 最小值， 四边形的面积最大值为， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数的简单应用，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)【感知】如图①，在四边形中，点在边上（不与、重合），．若，，，则的长为________． 【探究】 如图②，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），．，，，求的长． 【应用】 如图③，在中，，．点在上（点不与点、重合），连结，作，与交于．当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）（2）6或16（3）或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）证明，结合是等腰三角形，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：或； （3）∵， ∴， ∴， 同（2）法可得：， 当是等腰三角形时，分3种情况： ①当时，则：， ∴， ∴； ②当，则：， ∵，， ∴这种情况不存在； ③当，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：； 综上：或． 18．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． 求证： ①； ②； 【实际应用】 （2）如图2，有一块正方形的荒地，点E在边上，是荒地中的一条小路，某村民计划以为边开垦一个正方形的菜地，在菜地的对角线的交点O处修建一口水井，并沿修建一条水渠．若荒地的边长为米，小路长为300米，求水渠的长度．（小路宽度以及水井面积忽略不计） 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）米 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）①先根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定即可得证； ②先根据相似三角形的性质可得，再得出，然后证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）连接，先根据正方形的性质、勾股定理可得，米，从而可得的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：①∵在等腰中，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②由（1）①已证：， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵荒地的边长为米，正方形的边长长为300米， ∴米，米，，，， ∴米，米， 米， ∴米，，， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（米）， 答：水渠的长度为米． 19．(24-25九上·陕西西安鄠邑区·期末)【提出问题】（1）如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，点不重合），求出四边形的面积； 【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点．要在菜园的下方建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【答案】（1）1 （2）32 【分析】（1）根据正方形的性质可得，再根据得出答案； （2）先取的中点为G，连接，根据菱形的性质及直角三角形的性质可得是等边三角形，即可得，接下来说明是等边三角形，再证明，可说明储藏间的面积等于三角形的面积，然后根据相似三角形的性质得出，可求出，最后设为，并表示出，再根据面积相等得出方程，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，边长为2， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）如图所示，取的中点为G，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 同理可得． ∵， ∴∴是等边三角形， ∴．． ∵， ∴， ∴， ∴储藏间的面积等于三角形的面积， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设为，则， ∴， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴菱形菜园围一圈篱笆需要． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，中位线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 20．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在四边形中，，过点作交于点，过点作于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，推出， 证四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定； （2）由勾股定理求出，由题意易证，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：，即， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形； （2）解：，，， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ，即， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题关键． 21．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)【问题探究】 (1)如图1，在中，，于点，于点，是的中点，连接、，交于点，，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【问题解决】 (2)学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，是某校一块劳动实践基地的示意图，图中，，的中点处有一个出口，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在上取点，的延长线上取点，过作交的延长线于点，并将和区域规划为幼苗种植区，根据规划要求，，，为了精准预算，学校需要知道与的数量关系，请你帮助学校计算出的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； ②利用直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值得到，利用垂直的定义，直角三角形的斜边上的中线的性质和等边三角形的判定定理得到为等边三角形，再利用平行线的判定与性质得到，进而得到； （2）连接，利用等腰三角形的三线合一的性质得到，，利用直角三角形的边角关系定理得到， 设，则，，；通过证明，得到，，利用平行线的判定与性质得到，进而得到，则可求，代入化简即可得出结论． 【详解】解：（1）①，， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ． ， ． ，是的中点， ， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）连接，如图， ，为的中点， ，． 设，则， ， ，． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，连接等腰三角形的底边上的中线是解题的关键． 22．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，点为矩形的边的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-相似变换，作一个角等于已知角，过点B作即可． 【详解】解：作图如图所示： 地 城 考点06 相似三角形的判定和性质的综合运用 1．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)如图，是平行四边形边延长线上的一点，且，交于点，若，则平行四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质推得，，，，再根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 是延长线上的一点，交于点，且， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 2．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则 ∵为边的中点， ∴， ∴， 则， 故选：B 3．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 4．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，为的对角线，E是边上一点，连接交于点G，F是边上一点，连接交于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，进而得到，，再由，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 5．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在一块直角三角形铁皮中，计划截取一个等腰直角三角形，点，分别在，边上，已知，且，，，则剩余阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】先过点B作于点M，过点E作于点N，结合等腰直角三角形的性质，运用证明，再推导出，证明，则设，得，解得，运用勾股定理分别算出，，结合面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点B作于点M，过点E作于点N， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴设， 则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为 ． 【答案】7 【分析】此题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识， 推导出及是解题的关键．由平行四边形的性质推导出，则，而，所以，求得，则，由，得，则，所以，再证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平行四边形的面积为24， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 7．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在中，作，分别交，于点，，再过点作，垂足为点，并交于点，已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据两个角对应相等的三角形是相似三角形得，运用面积比等于相似比的平方，高的比等于相似比，且结合，得出，最后由，算出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ∵，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 8．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，正方形的边长为10，点P为的中点，连接、，点M、N分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N，求出，证明，则，得到，此时是最小值，证明，则，即可求出． 【详解】解：取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点P为的中点，的中点E， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时是最小值， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，添加辅助线找到是最小值是解题的关键． 9．(24-25九上·陕西西安鄠邑区·期末)如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积与的面积比为，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解题的关键． 由，是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到结论． 【详解】解：，， ∴， ， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 10．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在中，，，，D、E分别是、边上的两个动点，点G是的中点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用构造相似三角形的方法，结合直角三角形的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的原理，解题的关键是通过构造相似三角形将转化为，利用直角三角形性质与勾股定理计算边长，依据两点之间线段最短求的最小值. 在中，利用勾股定理算出斜边的长度。再根据直角三角形斜边中线性质，得出，在上取点，使与、与的比值都为，且夹角相等，从而构造出相似三角形和，依据相似三角形性质得到 ，根据两点之间线段最短的原理，当、、三点共线时，其值最小，利用勾股定理算出的长度，即为的最小值。 【详解】在中，，，， ∴． ∵连接，点是中点，， ∴为的中线， ∴． 在上取点，使， 连接， 在和中， ，，且， ∴， ∴，即， ∴， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，即的长度， 连接，在中，， ∴， ∴的最小值为． 11．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)如图，在中，，为上一点，以为直径的交边于点，连接，，且平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据平分，可知，根据等边对等角可证，等量代换可得，从而可证，根据平行线的性质可证，从而可证结论成立； （2）根据可证，根据相似三角形的性质可得，设的半径为，则，，可得关于的方程，解方程即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 平分， . 又， ， ， ， ， 又， ， 即， 为切线； （2）解：， ， ， 设的半径为，则，， ， 整理方程为， 解得：，（舍去）， 的半径为． 12．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． (1)请在图中画出大树的影长； (2)若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 【答案】(1)见解析 (2)8米 【分析】本题考查了平行投影、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，过点作交直线于点，则影长即为所求； （2）先证明，再利用相似比即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作交直线于点， 如图，影长即为所求： （2）解：， ， ，， ， ， ，即， 解得：米， 答：大树的高度为8米． 13．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)问题探究】 （1）如图1，为矩形的对角线，点为上方一点，连接、，点在的延长线上，连接，若，，，试判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校一块劳动实践基地的示意图，其中米，米，对角线为一条走廊，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在边上取点，上方取点，记与的交点为，并规划区域为幼苗种植区，线段为作品展示台（宽度不计），根据要求，，，，请你帮助学校计算作品展示台的长度． 图1                     图2 【答案】（1），理由见解析；（2）米 【分析】（1）根据矩形的性质可得，证明，得到，证明，即可判断； （2）过点作于点，作交的延长线于点，根据勾股定理可得，证明，得到，推出，证明，根据相似三角形的性质求出米，利用勾股定理求出米，证明四边形是矩形，得到米，进而得到米，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，过点作于点，作交的延长线于点， 四边形是矩形， ，米，米， ， 米，米，米， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 米， 米， ，，， ， 四边形是矩形， 米， 米， 米， ，， ， ，即， 米． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 14．(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先通过两组角分别相等的三角形是相似三角形，得，则，变形得，再结合，则，即可作答． 【详解】证明：， ， 又， ， 又， ． 15．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在四边形中，，对角线相交于点，平分，过点作分别交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，推出，即可得出结论； （2）先根据勾股定理得出，再证明，得出，求出，再证明，得出，求出，，再根据勾股定理求出，进而可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 16．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在中，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的 性质得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 地 城 考点07 相似三角形的实际应用 1．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)某数学实践小组的同学把测量某塔作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表： 课题 测量某塔的高度 测量工具 皮尺、标杆、测角仪等 测量方案示意图 说明 如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度为时，恰好测得点M的仰角为；某一时刻，塔在阳光下的影子为，来回调整标杆的位置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D，此时测得m，．已知标杆的高度为，，，，点D，C，A，N在一条直线上． 请根据上述方案及其数据求出这个塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】这个塔的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点B作于点F，得四边形是矩形，则，再证明，得，解得，即可作答． 【详解】解：过点B作于点F， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴这个塔的高度约． 2．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)【问题初探】 （1）如图1，和按如图位置放置，，，．连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，有一块边长为的正方形商业区，在正方形商业区内部有一块三角形果蔬区，区域是以为斜边的等腰直角三角形，，时令水果店E在边上，为方便周围居民生活，现沿着，修两条人形步道，根据实际设计思路已知，求时令水果店E到商业区的出口B的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）连接，作于，证明，得出，从而可得，，进而可得，证明，由相似三角形的性质结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）∵在和中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接，作于， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)咸阳二号桥是西北最大的单塔斜拉式大桥，也是咸阳的标志性建筑之一．某“综合与实践”小组开展测量咸阳二号桥中间单塔高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下： 课题 咸阳二号桥中间单塔的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，标杆 测量示意图    说明：在天气晴朗的一天，组员阳阳站在水平地面上的点D处，他的影子顶端恰好与单塔的影子顶端E重合．图中所有的点都在同一平面内，点B、D、E在同一水平线上，且，． 测量数据 阳阳的影子的长 阳阳的身高的长 阳阳到单塔的距离 2m 98m 备注 在测量过程中注意安全 请根据以上测量结果及该小组的思路．求咸阳二号桥中间单塔的高度． 【答案】咸阳二号桥中间单塔的高度为 【分析】根据垂直定义可得：，然后证明A字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 答：咸阳二号桥中间单塔的高度为． 4．(24-25九上·陕西咸阳·期末)一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量．如图，她在地面上的点处竖立一根长为4.5米的标杆，此时发现标杆与塔在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，已知、、三点在一条直线上，，，用测距仪测得米． (1)请在图中画出标杆与塔在太阳光下的影子末端； (2)若测得此刻米，请你求出信号塔的高度． 【答案】(1)见解析 (2)45米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用中心投影的性质画出图形； （2）证明得，再代值计算即可得的值． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 答：信号塔的高度的长为45米． 5．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)如图，小明在地面上放置一个平面镜来测量铁塔的高度，镜子与铁塔的距离米，镜子与小明的距离米时，小明刚好从镜子中看到铁塔顶端．已知小明的眼睛距地面的高度米，，，求铁塔的高度．（根据光的反射原理，可得） 【答案】铁塔的高度为米． 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，先证明，然后根据相似三角形的性质解答即可，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 答：铁塔的高度为米． 6．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)如图甲是某H型塔型大桥的结构，现为了测量大桥的立柱高，将图甲抽象成图乙所示的平面图．如图乙，测得拉索与水平桥面的夹角是，在点D处有一根高为的警示牌，当从点D处沿着移动到达点C处时（即），此时发现立柱的顶端点A、警示牌的顶端E、以及点C恰好在同一条直线上，通过测量得知，，，点F，D，C，B在同一条直线上，求立柱的高度． 【答案】立柱的高度为 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，根据题意得到，然后证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 答：立柱的高度为． 7．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为米，落在墙上的影长为米，求树高． 【答案】树高为3米 【分析】本题考查利用相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键，设墙上的影高落在地面上时的长度为米，树高为米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式，先求出的值，再求出即可． 【详解】解：设墙上的影高落在地面上时的长度为米，树高为米． ∵长为1米的竹竿的影长为米，树落在墙上的影长为米， ∴ 解得 经检验是方程的根． ∴树的影长为： 解得， 答：树高为3米． 8．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，强强同学为了测量学校一座高楼的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿方向移动到达点B处（即），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；强强从点B处沿方向移动到达点C处（即），测得．强强同学的眼睛距地面的高度为，已知点O，A，B，C在同一水平线上，，．求高楼的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查测高，涉及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和平面镜测高等，熟练掌握是解答本题的关键，由平面镜测高题型的解法，利用，得到相似比，代值求解得到，再由等腰直角三角形的性质列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意知：， ，， ， ， ， 即， ， ，， ， ， 解得：， ， 答：高楼OE的高度为． 地 城 考点08 位似 1．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，与位似，O是位似中心．若点，且，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与位似图形．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又， 点的坐标为，即E点的坐标为． 故选：D． 2．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 3．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比， 与的相似比，即， ， 故选：B． 4．(24-25九上·陕西宝鸡高新区·期末)如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查位数图形的性质，掌握位数图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是位似图形的性质、相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握位似图形的性质． 根据位似图形的性质得出位似比，再由相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ，且相似比为， ， ， ． 故选：． 6．(24-25九上·陕西铜川·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与位似，位似中心是原点O，若点C的坐标为，则点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似坐标变化规律，解题关键是熟练掌握位似坐标变化规律，先确定位似坐标变化的规律，再据此求解即可． 【详解】解：与位似，点C与点A对应，点C的横坐标是12，点A的横坐标是，点C的横坐标的点A的横坐标倍，点C的纵坐标是6，点A的纵坐标是，点C的纵坐标的点A的纵横坐标倍， 点D与点B对应，点B的坐标为，则点D的坐标为，即； 故选：B． 7．(24-25九上·陕西西安·期末)如图，与位似，点O为位似中心，，若的周长是5，则的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长是5， ∴的周长是15， 故选：C． 8．(24-25九上·陕西咸阳永寿县仪井中学·期末)如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，且相似比等于位似比，以及相似三角形的周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：，且相似比为：， ∵， ∴与的周长比为； 故选：A． 9．(23-24九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，.以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标． 【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，将的横纵坐标先扩大为原来的倍为，再变为相反数为． 故选：C． 10．(23-24九上·陕西榆林定边县·期末)如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的周长为5，则的周长为（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查位似性质，涉及位似图形的位似比等于其中相似三角形的相似比、相似三角形性质等知识，根据相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟练掌握相似性质和位似性质是解决问题的关键． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，若， 与的相似比是， 的周长为5， 由相似三角形性质可知的周长：的周长，即，解得， 故选：C． 11．(23-24九上·陕西商洛商南县湘河镇初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点O为位似中心，在第一象限内作的位似图形，使与的对应边之比为1：2，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，与的对应边之比为， ∴与位似比为， ∵点B的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选：D． 12．(23-24九上·陕西榆林定边县定边县第七中学·期末)如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为， ∵的面积为5， ∴的面积是20， 故选C． 13．(23-24九上·陕西咸阳杨陵区部分学校·期末)如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先求出，再根据位似图形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即， 故答案为：． 14．(24-25九上·陕西西安西咸新区·期末)已知，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴四边形与四边形的周长比为2：5， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为15， 故答案为：15． 15．(23-24九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据位似图形的性质，得到,再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求出的周长．熟记相似三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】∵和是以点O为位似中心的位似图形， , ∵， ， ， 解得． 故答案为：20 16．(23-24九上·陕西西安未央区·期末)如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“”字是位似图形，位似中心为点，①号“”与②号“”的相似比为：，点与为一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为：，点坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 17．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出，使得点A的对应点为；（点B、C的对应点分别为、） (2)在（1）的条件下直接写出点和的坐标及与的相似比． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，与的相似比为． 【分析】本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形， （2）根据图形得出和的坐标，根据对应点的横（或纵）坐标的绝对值的比即可求出相似比． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由图知：点的坐标为，点的坐标为， 与的相似比为． 18．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以点为位似中心，在轴的下方画出，使与位似，且相似比为，其中点的对应点分别为； (2)写出点的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了位似作图、图形与坐标等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． （1）先在网格中作出A、B的对应点、，然后顺次连接即可解答； （2）根据（1）作图中点的位置，直接写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：由（1）知． 19．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，延长至原来的2倍，找到点，顺次连接得到，根据坐标系即可得出点、的坐标． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由图可得，，． 20．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析；点、的坐标分别为，． 【分析】此题考查了位似图形的作图和点的坐标．根据位似图形的作法找到点，顺次连接得到，再写出点A、B的对应点、的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求，点A、B的对应点、的坐标分别为，． 21．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)小明在如图的网格纸中作了，三个顶点的坐标分别为，． (1)请你以点为位似中心，在网格纸中的第一象限画出一个，使得它与小明作的位似，且相似比是； (2)点的坐标是______，若图中每个小方格的面积为的面积=______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的性质、根据位似的性质求点的坐标，三角形的面积； （1）根据位似图形的作图方法解答即可． （2）根据位似图形的性质得出，先求得，根据与相似比是；得出面积比为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵，点为位似中心，与相似比是； ∴ ∵，与相似比是； ∴ 故答案为：，． 22．(23-24九下·陕西汉中勉县·期末)如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，以点为位似中心，画，使它与位似，和的相似比为，点的对应点在第三象限，并写出点的对应点的坐标． 【答案】作图见解析，点的坐标． 【分析】根据位似的性质得到、、的位置，然后连线得出；再写出的坐标即可． 本题考查位似图形，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：如图，即为所作， 点的坐标． 23．(23-24九上·陕西渭南华州区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； (2)在（1）的情况下，直接写出和的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质．熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． （1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：由题意得，， ∴． 24．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为． 【答案】见解析 【分析】本题考查在坐标系中画位似图形，先根据位似图形的点的坐标变化求出各顶点坐标，再依次连接即可解答． 【详解】解：∵， 且与的相似比为， ∴，，， ∴如图，为所求． 25．(24-25九上·陕西汉中镇巴县·期末)如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，在轴上方作的位似，使与的相似比为．（点，，的对应点分别为点，，） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作位似图形连接，并延长到，使；连接，并延长到，使；连接，并延长到，使；再连接、、即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 26．(24-25九上·陕西榆林府谷县·期末)如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．以点B为位似中心，作的位似图形（点A，C的对应点分别是点D，E），且与的相似比为，点D，E都在x轴的下方，并直接写出与的面积之比． 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质等知识点，熟练掌握画位似图形的方法及位似图形的性质是解题的关键． 先确定，，的位似对应点，，，再顺次连接各对应点即可画出位似三角形，然后根据位似图形的性质即可得出面积比． 【详解】解：如图，即为所求作， 与的相似比为， ∴与的面积之比为． 27．(23-24九上·陕西宝鸡金台区宝鸡第一中学·期末)如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点； (2)在(1)的情况下直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵，位似比为， ∴点坐标为． 28．(23-24九上·陕西西安铁一中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的； (2)以原点O为位似中心，请在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点，，的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）分别找出、、关于y轴对称的点，顺次连接即可； （2）把A、B、C的坐标都乘以得到，，的坐标，然后描点连线即可得到． 本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求，点，，的坐标分别为． 29．(23-24九上·陕西西安经开区区联考·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，. (1)以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且相似比为，点A，的对应点分别为，； (2)直接写出点和点的坐标：（______，______），（______，______）. 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了位似作图、图形与坐标等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． （1）先在网格中作出A、C的对应点、，然后顺次连接即可解答； （2）根据（1）作图中点、的位置，直接写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：． 30．(23-24九上·陕西汉中宁强县·期末)如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心， 在第四象限将放大得， 使位似比为2； (2)若， 的面积分别为， 直接写出S与的数量关系． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查的是在坐标系内画位似图形，位似图形的性质，熟记位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C的位似对应点，，，再顺次连接即可； （2）由位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：由以O点为位似中心，位似比为2，将放大为，，的面积为S、， 则S，的数量关系为：． 31．(23-24九上·陕西渭南富平县·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点和点在格点上，是格点三角形（顶点在网格线交点上）． (1)画出以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点、和； (2)与的周长之比为______． 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】（）由点可得与的位似比为，再根据位似图形的性质作图即可； （）根据位似图形的性质即可求解； 本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为， 故答案为：． 32．(23-24九上·陕西西安莲湖区·期末)如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．以点为位似中心，把按相似比2扩大，在轴的左侧画出扩大后的．(，，的对应点分别为，，) 【答案】见解析 【分析】本题考查位似作图，连接并延长，使得，从而找到点D，同理可以找到点E、F，也可以先写出点A、B、C的坐标，然后横纵坐标乘以2找到对应点．掌握位似作图或直角坐标系的位似图形的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：作图如下，即为所求做的三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04图形的相似 ☆8大高频考点概览 考点01成比例线段 考点02平行线分线段成比例 考点03相似多边形 考点04相似三角形的判定 考点05相似三角形的性质 考点06相似三角形的判定和性质的综合运用 考点07相似三角形的实际应用 考点08位似 目目 考点01 成比例线段 1.(24-25九上陕西咸阳期末)若a,b,c,d是成比例线段，其中a=1,b=4,c=3,则线段d的长为(). A.6 B.8 C.12 D.16 2.(24-25九上陕西西安曲江第一中学期末)如图，正方形ABDE中，点C是线段AB的黄金分割点即 AC BC AB AC ,S表示以AC为边的正方形的面积，S,表示矩形CBDF面积，则S与S的大小关系(） S D A,无法确定 B.S<S2 C.S>S2 D.S=S, 3.(23-24九上陕西宝鸡金台区宝鸡第一中学期末)下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是() A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=1,b=2,c=3,d=4 C.a=√2，b=3,c=2,d=V3 D.a=2,b=5,c=6,d=15 4.(23-24九上陕西咸阳三原县期末)若线段a,b,c,d成比例线段，且a=1cm,b=4cm,c=2cm,则d=() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8cm B.0.5cm C.2cm D.4cm 5.(23-24九上陕西榆林府谷县期末)若线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm,b=6cm,c=5cm, 则d=() A.15cm B.12cm C.10cm D.3cm 6.(22-23九上陕西西安西北工业大学附属中学期末)已知9=( 号a0,则的值为（) 2a 5 B. D.3 4 4 6( 久23-24九上碳西西家获中学期末利如果-。6≠0，杂么0力 8.2425九围庆西锅期末已。名，则2的值为 b 9.(24-25九上陕西宝鸡扶风县期末)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=6cm,b=3cm,c=4cm, 则线段d的长为 10.2425九上陕西浦宵酯润区期未蜘果宁-子，那么中的值是 11.(24-25九上陕西西安高新区·期末)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割 如图(AB>BC),若AC=20cm,则BC的长为cm.(结果保留根号) B b d 1 12.(24-25九上陕西威阳永寿县仪井中学期末)已知6=夏=，(a+c≠0)，则b+d- a c 3 a+c 13.(23-24九上陕西西安铁一中学期末)符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感.如图所示的 五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB=2,则AC的长是一 14.(23-24九上·陕西汉中宁强县·期末)“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用， 而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点 (AP>PB),如果AB的长度为8cm,那么AP的长度是cm. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(23-24九上陕西榆林府谷县·期末)黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比 是黄金比5-马，已知某扇宽与长的比等于黄金比的矩形窗户的长为18米，则宽为米.（结果保留 2 根号) 16.(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E为边BC上一点，连 接AE,请用尺规作图法在边CD上求作一点F,连接BF,使得BCF∽ABE,(保留作图痕迹，不写作 法) 目目 考点02 平行线分线段成比例 1.(24-25九上陕西西安碑林区·期末)如图，两条直线被三条平行线所截，己知AB:BC=1:2,若DE=3, 则EF=() B A.12 B.9 C.6 D.3 2.(23-24九上陕西咸阳礼泉县期末)如图，AD∥BE∥CF,直线4，马与这三条平行线分别交于点A,B, C和点D,E,F.己知AB=DE,BC=4,则EF的长为() / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.5 C.6 D.8 3.(23-24九上·陕西渭南富平县期末)如图，直线a∥b∥c,直线AC分别交直线a、b、c于点A、B、C, 线D分别交直线a,Mc于点F,B,D,若ACEF=12,则FD的长为C A.3.6 B.3.0 C.2.6 D.2.4 5.(23-24九上陕西宝鸡高新区期末)如图，已知4∥42∥13，AC交4、Z、马于点A、B、C,DF交(、Z 、于点D、E、R瓷-DE=9,测DF:() A D B E A.12 B.18 C.24 D.26 6.(23-24九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，己知AD‖BE‖CF,它们依次交直线1、☑于点A、B、C和点 D、E、E,若82=号，DE=4,则EF的长为C) 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A D B E F A.4 B.6 C.8 D.10 7224九上秋西检林府谷县期未图。D》BECF,若把号·EF=6,则DE的张度是C) A D B E F A.4 B.9 D.2 5 8.(23-24九上陕西榆林子洲县·期末)如图，ABR EF∥CD,AD与BC交于点O,若AO=2,OF=1, FD=2, BE的值为(） E B 人多 B. C.2 9.(23-24九上陕西商洛商南县湘河镇初级中学·期末)如图，在ABC中，F为AC的中点，过点F作 EF1AB于点E,交BC的延长线于点D,若EF=3,AB=14, [)=,则BC的长为 9.(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)如图，在ABC中，点D为AB边上一点，连接CD,请用尺规作图法在 BC上找一点E,使得aCDE∽△CBD(保留作图痕迹，不写作法) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D 10.(24-25九上陕西宝鸡高新区·期末)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD的延长线上一点，连接 AE,请用尺规作图法在BC上找一点P,使得△ABE∽△PBD.(保留作图痕迹，不写作法) A D B C 11.(24-25九上陕西咸阳三原县期末)如图，AC为口ABCD的对角线，若点E、F分别是CD、BC边上的 点，连接AE,AF,若∠EAF=LCAB,AC=BC.求证：△ABF∽△ACE. D E C A B 12.(24-25九上·陕西咸阳期末)如图，点E为矩形ABCD的边BC的延长线上一点，连接DE,请用尺规作 图法在边CD上求作一点F,连接BF,使得△BCF∽△DCE.(保留作图痕迹，不写作法) D 13.(24-25九上陕西咸阳三原县期末)如图，在口ABCD中，BD为口ABCD的对角线，请用尺规作图法在 BD的延长线上找一点E,使得△CDB△ECB,(保留作图痕迹，不写作法) 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 相似多边形 1.(23-24九上·陕西商洛商南县湘河镇初级中学期末)已知两个相似四边形的相似比是1：2，较小四边形的 周长为6，则较大四边形的周长为() A.6 B.12 C.24 D.36 2.(23-24九下·陕西汉中勉县期末)如图，四边形ABCD∽四边形ABCD.则LA'的度数为 D 961 135 60 A B 3.(23-24九上·陕西咸阳礼泉县期末)若四边形ABCD~四边形A'B'C'D',且AB:A'B'=1:2,则四边形 ABCD与四边形A'B'C'D'的面积之比为 4.(23-24九上陕西西安西咸新区·期末)已知两个相似八边形的相似比为3：5，若较小八边形的面积为18， 则较大八边形的面积为 5,②34九上铁西威用秦都区期利匹边形48CD~四边形"9C0,级-子若四边形4BCD的周长 为3，则四边形A'B'C'D'的周长为 考点04 相似三角形的判定 1.(24-25九上陕西西安莲湖区·期末)在△ABC中，∠C=90°.请用尺规作图，在边AB上求作一点D,使 得CD将△ABC分为两个相似三角形.（保留作图痕迹，不写作法） C A 2.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，BC为矩形ABDC的对角线，点F是CD边上的中点，请用尺 规作图法在对角线BC上找一点E,使得aCEF∽△CBD.(保留作图痕迹，不写作法) 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A C 肉 B D 3.(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在ABC中，∠BAC=2∠ABC,利用尺规作图法在BC边上求 作一点D,连接AD,使得△ACD∽△BCA,(不写作法，保留作图痕迹) B C 4.(24-25九上陕西西安未央区·期末)如图，在ABC中，点D是边AB的中点.请用尺规作图法，在边 AC上求作一点E,使△ADE∽△ACB.(保留作图痕迹，不写作法) B 5.(24-25上陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，若∠A=36°，请用 尺规作图法在AC上找一点D,使得△ABC∽△BCD.(保留作图痕迹，不写作法) B 6.(24-25九上陕西咸阳永寿县期末)如图，在口ABCD中，点F在AB的延长线上，CF⊥AB.请用尺规 作图法，在边AD上求作一点E,使得△BAE∽△CBF.(保留作图痕迹，不写作法) 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25九上陕西西安某校)如图，在ABC中，D是AB上一点，且AD=1,AB=3,AC=√3.试间： △ACD与ABC相似吗？请说明理由. B 8.(24-25九上陕西榆林府谷县期末)如图，在口ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE,请用尺规作图 法在AE上找一点F,使得△ADF∽△EAB.(保留作图痕迹，不写作法) B E 9.(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌 EF的高度.在阳光下，小华站在点D处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H,其中DH=2m; 随后，该小组组员甲在点G处放置一面平面镜，组员甲移动到B点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端E的 像，此时BG=3m,BD=9m,组员甲的眼晴到地面的距离AB为l.5m,小华的身高CD为l.5m.已知 AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF,点B,G,H,D,F在一条直线上根据以上信息，求广告牌EF的高度.（平 面镜的厚度、大小忽略不计) B G HD 10.(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,连接AC,点F在 CD边上，连接BF,交AC于点N,若CF=2,求证：∠BAC=∠CBF. A B 11.(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学期末)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置， 固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，己知三角形纸片ABC和 ADE中，AB=AD=4,BC=DE=3,∠ABC=∠ADE=90°. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图① 图② 图③ 【问题探究】 (I)如图①，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，求证：△ADB一△AEC; 【问题解决】 (2)如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在ABC的高线BM的延长线上，连接CD,求 CE的长； 【问题拓展】 (3)如图③，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在ABC的中线BN的延长线上，连接CE,求 △ACE的周长. 12.Q425九上陕西西安长安区期如图，BE14C于点E,AD1BC于点D.求证：品瓷 E E 13.(24-25九上·陕西西安碑林区期末) 图1 图2 【问题提出】 (I)如图1，AD与BE相交于点C,连接AB,DE,∠A=∠E,AC=2CE,若AB的长为2，求DE的 5 长