精品解析：广东省江门市第一中学2025-2026学年高二上学期第2次学段考试数学试题

江门一中2025-2026学年度第一学期第2次学段考试 高二级数学试卷 命题人：陈朝丽 审题人：谢慧娟、伍玉华 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，则直线斜率， ∵， ∴. 故选：A 2. 给定一组数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53，则该组数据的分位数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第分位数的定义直接求解. 【详解】由，得数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53的第分位数为. 故选：B 3. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】由对立事件概率关系得到发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可.. 【详解】因为，事件与对立， 所以， 又，与互斥， 所以， 故选：C. 4. 已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 5. 若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得边所在直线的斜率，再根据垂直关系求得边上的高所在直线的斜率，再结合点斜式方程，即可求解. 【详解】设边上的高所在直线为直线，斜率为， 因为，，则， 又直线为边上的高所在直线，所以，则，所以， 又边上的高所在直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：C 6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 7. 如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、．点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用中垂线的性质可知是边长为的等边三角形，求得，，利用椭圆定义可得出、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知为线段的中点，为线段的中点，且，， 由中垂线的性质可得，，故， 由勾股定理可得， 由椭圆的定义可得，即， 故该椭圆的离心率为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长为，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在，故D错误. 故选：BC 10. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得两直线斜率之积为，即可判断；对于B，通过变形得，由，即可求出定点，从而作出判断；对于C，直接求出横纵截距，即可判断；对于D，根据条件，求出，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，斜率为， 又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过定点，故选B正确， 对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误， 对于选项D，当时，，得到，此时， 所以两平行线间的距离为，故选项D正确， 故选：ABD. 11. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知点，若方程为的平面过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 点在平面内的射影的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，将点代入运算得解判断；对B，由A得平面的方程为，进而求出平面的法向量，得解；对C，利用向量法求出线面角的公式求解判断；对D，设点在内的射影为，利用，列式求解判断. 【详解】对于A，把点代入，得，解得，故A正确； 对于B，由A得平面的方程为，则向量是平面的法向量， 所以也是平面的一个法向量，故B正确； 对于C，由已知得， 所以直线与平面所成的角的正弦值为，故C错误； 对于D，设点在内的射影为，则，且， 于是有，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，设出椭圆标准方程，利用待定系数法求解. 【详解】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 故答案为： 13. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_______， 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】，，， ，， 则点C到直线AB的距离为. 故答案为：. 14. 为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆A的方程和圆C的方程，进而求得两圆公共弦的方程，联立圆A的方程求得点M坐标，进而求得答案. 【详解】以A为原点，以为x轴建立平面直角坐标系，则， 以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以 为半径作圆C， 则圆A的方程为： ，圆C的方程为∶ ， 即 ， ∴两国的公共弦方程为∶ 设 ，则 ，解得 或， 即 或 ． ∴ 或， 故答案为∶或 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 16. 树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成绩频率分布直方图如图： （1）从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率； （2）如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于分的概率； （3）根据频率分布直方图，分别从中位数和平均数的角度，比较，两个校区的物理成绩． 【答案】（1） （2） （3）校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数；校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据算出答案即可； （2）首先求出从校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率，然后可算出答案； （3）分别求出两个校区的中位数和平均数，进行比较即可. 【小问1详解】 从校区抽取的名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于分的频率为， 利用样本估计总体，频率估计概率，所以从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 则这三名学生物理成绩都低于分的概率约为， 这三名学生中至少有一名学生成绩不低于分的概率为． 【小问3详解】 校区的中位数是， 校区的中位数是， 因为，所以，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数； 校区成绩平均数为， 校区成绩平均数为， ，所以，校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数． 17. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PH，H为垂足．当点P在圆上运动时，线段PH的中点为M．（当点P经过圆与x轴的交点时，规定定点M与P重合） （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）已知，过原点且斜率为的直线l与曲线C交于E，F两点，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设动点利用点P在圆上，列出有关的方程即可； （2）联立直线和椭圆，求出E，F两点的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 设动点 因为线段PH的中点为M点，线段PH垂直x轴，H为垂足， 故 因为点P在圆上， 故，即， 故动点M的轨迹C的方程为： 【小问2详解】 直线l过原点且斜率为， 故直线l的方程为：， 故到直线l的距离：， 联立，得：，， 故， 故， 所以面积：. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，则， 由题意可知，且，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面. （2） （3）直线在平面内，理由如下： 易知，，由，可得， 则，由平面的一个法向量为， 其中，且点在平面内，故直线在平面内. 【解析】 【分析】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角的余弦值； （3）首先求得点的坐标，然后结合平面的法向量和直线的方向向量可判断直线是否在平面内. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴， ，方向为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：，，， 由可得点的坐标为， 由可得，设平面的法向量为：， 则， 据此可得平面的一个法向量为：， 很明显平面的一个法向量为， 得到， 而二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，四边形为菱形时，求圆的方程； （3）若直线的斜率乘积为定值，求的值. 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）椭圆方程转化成标准方程，由离心率的定义即可求解； （2）由为菱形，得到，再结合及，即可求解； （3）设直线的方程分别为：，由圆心到两直线的距离为2，得到，进而得到，由其为定值即可求. 【小问1详解】 由椭圆得：， 所以，即椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以； 【小问2详解】 当时，椭圆， 由（1），所以， 由圆知：，半径， 因为点在椭圆上， 所以①， 又因为直线分别与圆相切于两点， 所以，且， 因为四边形为菱形，所以四边形为正方形， 所以， 所以②， 联立①②解得：或， 所以圆的方程为：或； 【小问3详解】 因为直线都与圆相切，且直线的斜率乘积为定值， 所以直线斜率都存在， 设直线的方程分别为：， 因为点到直线的距离都为2， 所以， 两边平方可得， 所以为方程的两根， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以， 因为直线的斜率乘积为定值，设定值为， 则：对恒成立，即对恒成立， 所以即， 所以的值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2025-2026学年度第一学期第2次学段考试 高二级数学试卷 命题人：陈朝丽 审题人：谢慧娟、伍玉华 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 2. 给定一组数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53，则该组数据的分位数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 3. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 4. 已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 7. 如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、．点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则的面积为 10. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 11. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知点，若方程为的平面过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 点在平面内的射影的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 13. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_______， 14. 为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 16. 树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成绩频率分布直方图如图： （1）从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率； （2）如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于分的概率； （3）根据频率分布直方图，分别从中位数和平均数的角度，比较，两个校区的物理成绩． 17. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PH，H为垂足．当点P在圆上运动时，线段PH的中点为M．（当点P经过圆与x轴的交点时，规定定点M与P重合） （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）已知，过原点且斜率为的直线l与曲线C交于E，F两点，求面积． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 19. 已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，四边形为菱形时，求圆的方程； （3）若直线的斜率乘积为定值，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $