第十六章 轴对称和中心对称（单元测试·提升卷）数学冀教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十六章 轴对称和中心对称·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C D C C C C C C D D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．3 14． 15．高 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】8 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据是的垂直平分线，得出，再根据的周长为14可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ··············3分 ∵的周长为14， ∴的周长．··············7分 18．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——角平分线及全等三角形的判定： （1）根据已知作法，画出图形即可； （2）利用即可求证结论； 解题的关键是掌握角平分线的作法及三角形全等的判定． 【详解】（1）解：依题意得： 如图所示，射线即为所求： ··············3分 （2）证明：由题意得：，，， 在和中， ， ．··············8分 19．（8分） 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，最后求出的度数； （2）根据线段垂直平分线的性质及三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵DE是AC的垂直平分线， ∴， ∴；··············4分 （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为．··············8分 20．（8分） 【答案】(1)， (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）∵，， ∴，. ∵平分，平分， ∴，， ∴；··············3分 （2）平分； 理由：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分.··············8分 21．（9分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键． （1）作点M、N、G关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （2）将M、NG绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （3）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示；··············3分 （2）解：如图所示；   ··············6分 （3）解：连接，和，    由图可得，，，，，，， ∵的中点为，的中点为，的中点为， ∴与呈中心对称， ∴对称中心为． 故答案为：，，．··············9分 22．（9分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由垂直平分线的定义可得，，即；易证可得，最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，三角形的内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴ ∵，，， ∴，··············2分 ∴， ∴．··············4分 （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴，··············6分 ∵是的高线， ∴．··············9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，根据三角形外角性质得； （2）①连接，根据角平分线性质得，结合，，得，得，即得点D在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得， 得，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴；··············3分 （2）①证明：连接， ∵平分，于M，于N， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上；··············6分 ②∵，， ∴， ∵， ∴，··············8分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2．··············11分 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．添加辅助线，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角性质，角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线判定，是解题的关键． 24．（12分） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上；··············3分 （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：；··············5分 ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ；··············8分 （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6．··············10分 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6．··············12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十六章 轴对称和中心对称·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 4．（2025·河北唐山·三模）如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 7．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 8．如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，甲、乙、丙三位同学解决该问题的作图如图所示，下列判断正确的是（   ） A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．只有丙的正确 D．只有乙、丙的正确 10．如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 12．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内． 14．如图，在中，点是的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是 ． 15．（2025·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．    （1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”） （2）若，则比的度数大 ． 16．如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为14，求的周长． 18．（8分）（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）除了教材例题提供的作角平分线的办法，现在还有一种作法如下： “在已知的两边分别截取，（点M与点P在同一边上），连接和交于D点，画射线，射线即为平分线”． (1)请在图中按此作法作出射线； (2)试说明的理由． 19．（8分）（24-25八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，连接．    (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 20．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 21．（9分）（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，将向右平移4个单位长度，得到．    (1)画出关于轴对称的． (2)将绕原点旋转，画出旋转后的． (3)在中，（    ）与（    ）成中心对称，对称中心的坐标是（    ） 22．（9分）（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． (1)若垂直平分线段，求的度数； (2)若是的高线，是的角平分线，求的度数． 23．（11分）（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 24．（12分）（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十六章 轴对称和中心对称·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 4．（2025·河北唐山·三模）如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 7．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 8．如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，甲、乙、丙三位同学解决该问题的作图如图所示，下列判断正确的是（   ） A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．只有丙的正确 D．只有乙、丙的正确 10．如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 12．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内． 14．如图，在中，点是的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是 ． 15．（2025·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．    （1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”） （2）若，则比的度数大 ． 16．如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为14，求的周长． 18．（8分）（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）除了教材例题提供的作角平分线的办法，现在还有一种作法如下： “在已知的两边分别截取，（点M与点P在同一边上），连接和交于D点，画射线，射线即为平分线”． (1)请在图中按此作法作出射线； (2)试说明的理由． 19．（8分）（24-25八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，连接．    (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 20．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 21．（9分）（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，将向右平移4个单位长度，得到．    (1)画出关于轴对称的． (2)将绕原点旋转，画出旋转后的． (3)在中，（    ）与（    ）成中心对称，对称中心的坐标是（    ） 22．（9分）（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． (1)若垂直平分线段，求的度数； (2)若是的高线，是的角平分线，求的度数． 23．（11分）（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 24．（12分）（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十六章 轴对称和中心对称·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，先根据折叠的性质得，再结合平行线的性质得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵折叠， ∴， 则， ∵， ∴， 即， 故选：D． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 4．（2025·河北唐山·三模）如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点E作于P，此时的值最小，得出，根据角平分线的性质求出，求出的长即可． 【详解】解：过点E作于P，此时的值最小， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值是4， 故选：C． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：作N关于l的对称点E，连接，交l于点C， ∴的垂直平分线为l， ∴， ∴， 即P与C重合， 故选：C． 7．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案． 【详解】解：如图， 过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠； 先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠； 过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠； ∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确， 故选：C． 8．如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键．延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知：，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：C． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，甲、乙、丙三位同学解决该问题的作图如图所示，下列判断正确的是（   ） A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．只有丙的正确 D．只有乙、丙的正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，尺规作图——作已知角的平分线，根据题意得到点M在的角平分线上是解题的关键．根据题意可得点M在的角平分线上，即可求解． 【详解】解：∵休息点M到和两边的距离相等， ∴点M在的角平分线上，只有丙的作图正确． 故选：C． 10．如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图：    ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．熟练掌握垂直平分线性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 12．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字3的格子内． 【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合， ∴根据题意，阴影应该涂在标有数字3的格子内； 故答案为：3． 14．如图，在中，点是的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，作于点，作于点，连接，根据角平分线的性质可得，运用三角形的面积公式可得，再根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（2025·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．    （1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”） （2）若，则比的度数大 ． 【答案】 高 【分析】（1）由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义即可判断； （2）由折叠的性质结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）由折叠的性质可知，，， ∴折痕是的高． 故答案为：高； （2）∵由折叠的性质可知，， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质．熟练掌握上述知识点是解题关键． 16．如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为14，求的周长． 【答案】8 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据是的垂直平分线，得出，再根据的周长为14可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∵的周长为14， ∴的周长． 18．（8分）（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）除了教材例题提供的作角平分线的办法，现在还有一种作法如下： “在已知的两边分别截取，（点M与点P在同一边上），连接和交于D点，画射线，射线即为平分线”． (1)请在图中按此作法作出射线； (2)试说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——角平分线及全等三角形的判定： （1）根据已知作法，画出图形即可； （2）利用即可求证结论； 解题的关键是掌握角平分线的作法及三角形全等的判定． 【详解】（1）解：依题意得： 如图所示，射线即为所求： （2）证明：由题意得：，，， 在和中， ， ． 19．（8分）（24-25八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，连接．    (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，最后求出的度数； （2）根据线段垂直平分线的性质及三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵DE是AC的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 20．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 【答案】(1)， (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）∵，， ∴，. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）平分； 理由：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分. 21．（9分）（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，将向右平移4个单位长度，得到．    (1)画出关于轴对称的． (2)将绕原点旋转，画出旋转后的． (3)在中，（    ）与（    ）成中心对称，对称中心的坐标是（    ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键． （1）作点M、N、G关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （2）将M、NG绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （3）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示；    （3）解：连接，和，    由图可得，，，，，，， ∵的中点为，的中点为，的中点为， ∴与呈中心对称， ∴对称中心为． 故答案为：，，． 22．（9分）（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． (1)若垂直平分线段，求的度数； (2)若是的高线，是的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由垂直平分线的定义可得，，即；易证可得，最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，三角形的内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴． 23．（11分）（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，根据三角形外角性质得； （2）①连接，根据角平分线性质得，结合，，得，得，即得点D在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得， 得，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）①证明：连接， ∵平分，于M，于N， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．添加辅助线，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角性质，角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线判定，是解题的关键． 24．（12分）（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $