第18讲：对数函数的图像与性质【知识梳理+9个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年人教A版高一数学常考题型归纳 【第18讲：对数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、常见对数型函数分类及核心性质解析 对数型函数是基本对数函数（）的变形，核心包括“绝对值变换”“复合变换”，以下是高频类型的性质梳理： 1.真数带绝对值：（） 奇偶性：偶函数。定义域为，关于原点对称，且。 单调性：时，在单调递增，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增。 值域与最值：值域为，无最大值和最小值。 关键特征：图像关于y轴对称，左右两侧分别对应和的部分，均过和。 2.函数带绝对值：（） 奇偶性：非奇非偶。定义域为，不关于原点对称。 单调性：时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递增，在单调递减。 值域与最值：值域为，有最小值0（当时取得），无最大值。 关键特征：图像是将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，过定点。 3.复合一次函数：（） 奇偶性：非奇非偶。定义域为（或，取决于的符号），不关于原点对称。 单调性：遵循“同增异减”。时，内层单调递增，外层与单调性一致；时，内层单调递减，外层与单调性相反。 值域与最值：值域为，无最大值和最小值。 关键特征：图像由平移得到，过定点（令求解）。 4.复合二次函数：（，二次函数开口向上且有零点） 奇偶性：仅当且定义域关于原点对称时为偶函数（如），否则非奇非偶。 单调性：先求二次函数的单调区间（结合定义域），再按“同增异减”判断。例：，定义域或，在递增，在递减。 值域与最值：二次函数有最大值时，值域为（有最大值）；值域为（有最小值）。 关键特征：图像受二次函数定义域限制，仅在二次函数正值区间有图像。 二、图像平移变换规律（核心：“左加右减，上加下减”） 对数型函数的平移仅改变位置，不改变形状和单调性趋势，具体规则如下： 1.左右平移：针对自变量变形，（）。 ：图像由向右平移个单位，定义域变为。 ：图像向左平移个单位，定义域变为（即）。 2.上下平移：针对函数值变形，（）。 ：图像向上平移个单位，值域仍为，过定点。 ：图像向下平移个单位，过定点。 3.复合平移：，先左右平移个单位，再上下平移个单位，过定点。 三、核心总结 奇偶性：仅定义域关于原点对称时才可能为奇/偶函数，多数对数型函数为非奇非偶。 单调性：复合函数必用“同增异减”，先定定义域，再分析内外层函数单调性。 值域与最值：仅含绝对值或复合有界函数时，才可能有最值，否则值域为。 平移：左右平移改变定义域，上下平移改变定点纵坐标，形状不变。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数函数及其定义域】 【解题策略】 一、基本对数函数定义域解题策略 基本形式：（） 1.核心依据：真数，无其他限制条件。 2.解题步骤：直接列出不等式，定义域为。 3.关键提醒：无需额外变形，仅需保证真数大于0，这是所有对数型函数的基础。 二、复合对数型函数定义域解题策略 复合形式核心：（），定义域需满足，按的类型分类求解： 1.一次型复合：（） 解题步骤： 1.列不等式； 2.按的符号解一元一次不等式：时，；时，。 示例：求定义域，解得，定义域为。 2.二次型复合：（） 解题步骤： 1.列不等式； 2.求二次函数零点（解方程）； 3.结合二次函数开口方向（开口向上，开口向下），确定不等式解集。 示例：求定义域，解，零点为，开口向上，得或。 3.分式+对数复合： 解题步骤： 1.同时满足两个条件：真数，分母； 2.转化为（分式大于0等价于分子分母同号），解不等式。 示例：求定义域，解，得或。 4.绝对值+对数复合： 解题步骤： 1.列不等式； 2.等价于，结合本身的定义域，求交集。 示例：求定义域，解，得，即。 三、定义域结合其他性质的综合解题策略 1.结合单调性：先求定义域，再在定义域内用“同增异减”分析单调性。 示例：求单调区间，先定定义域或，再分析内层二次函数单调性，最终得递增区间，递减区间。 2.结合奇偶性：先通过定义域关于原点对称初步判断，再验证与的关系。 示例：判断奇偶性，先定定义域（关于原点对称），再验证，确定为奇函数。 3.结合最值/值域：先定定义域，再分析内层函数的取值范围，最后结合对数函数单调性求值域。 示例：求值域，先定定义域，内层函数最小值为2，结合对数单调性得值域。 四、易错点规避策略 1.忽略真数>0：解题时先写定义域，再进行后续运算，避免先化简再求定义域。 2.复合函数漏限制：分式分母、偶次根式被开方数等其他限制条件，需与真数>0联立求解。 3.二次不等式解错：注意二次函数开口方向和零点位置，避免解集方向颠倒。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·北京大兴·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分母不为零、对数的真数大于零进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可得且， 所以该函数的定义域为， 故选：B 【例题2】（2025高三·上海·专题练习）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数函数的真数大于得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，则有，又，所以， 所以，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：D 【相似题2】（25-26高三上·辽宁大连·期中）“”是“函数的定义域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数函数的性质，得到的定义域为时，恒成立，从而得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若函数的定义域为，则恒成立， 当时，恒成立，若，则，解得， 所以函数的定义域为时，， 即函数的定义域为可以推出， 但推不出函数的定义域为， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件， 故选：B. 【题型2：对数函数及其值域】 【解题策略】 一、基本对数函数的值域策略 基本形式：（） 1.核心逻辑：定义域为，真数可取所有正数。 2.值域结论：无论取何值（满足条件），值域均为（全体实数）。 3.关键提醒：无最值，因为真数能无限趋近于0或正无穷，对数函数值随之无限递减或递增。 二、复合对数型函数的值域策略 复合形式核心：（），解题分三步：①求定义域（）；②求在定义域内的取值范围（记为）；③结合（）的单调性，求最终值域。 1.一次型复合：（） 解题步骤： 1.由确定定义域，进而得到的取值范围或（一次函数单调，值域为开区间）。 2.若，单调递增，值域为或；若，值域与上述相反。 示例：求值域，定义域，，值域为。 2.二次型复合：（） 解题步骤： 1.先求定义域（），再求在定义域内的最值（二次函数有界）。 2.若在定义域内的最小值为（），无最大值： 时，对数单调递增，值域为； 时，对数单调递减，值域为。 示例：求值域，定义域为，最小值为2，值域为。 3.分式型复合：（为一次函数） 解题步骤： 1.先求定义域（），再通过分离常数法求的取值范围（分式值域通常为，为常数）。 2.排除（若），再结合对数单调性转化为值域。 示例：求值域，先得，其取值范围为，结合真数>0，最终，值域为。 4.绝对值型复合：（为一次/二次函数） 解题步骤： 1.定义域为（即），再求的取值范围（，绝对值函数最小值为）。 2.按对数单调性转化：时值域为；时为。 示例：求值域，定义域，，绝对值后取值范围为，值域为。 三、综合题型解题策略 1.结合定义域与单调性：先通过定义域锁定的有效范围，再用“同增异减”判断对数函数单调性，进而确定值域边界。 示例：求值域，定义域或，在定义域内取值范围为，值域为。 2.含参数的值域问题：先讨论参数对值域的影响，再结合对数底数的单调性分类求解。 示例：求值域，先得，再分时值域，时值域。 3.最值存在的条件：仅当内层函数有界（存在最大值或最小值）时，对数函数才会有最值，否则值域为。 四、易错点规避策略 1.忽略内层函数值域限制：直接默认可取所有正数，导致值域判断错误（如二次函数有最小值，对数值域会有下界）。 2.复合函数单调性判断错：未遵循“同增异减”，导致值域边界颠倒（如时，内层函数递增，对数函数递减）。 3.分式值域求解失误：未通过分离常数法准确求的取值范围，遗漏“分式不能取某个常数”的情况。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. 【例题2】（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）函数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】应用对数的运算性质得，再应用换元法及二次函数的性质求最小值. 【详解】由题设，且， 令，则， 当，即时，. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 【相似题2】（25-26高一上·全国·课堂例题）函数，当时，求该函数的值域. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性，二次函数的性质，即可进行求解. 【详解】由， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为. 【题型3：由对数函数值域求参数】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.明确复合结构：设函数为（），已知的值域为或等。 2.逆向推导内层范围：根据对数单调性，将值域转化为内层函数的取值范围（记为）。 3.结合定义域与性质：是前提，再根据的类型（一次、二次、分式等），列参数满足的条件。 4.求解参数：解不等式（组）或方程，得到参数的取值范围。 二、常见题型及解题策略 1.参数在对数底数上 解题关键：底数决定对数单调性，需分和讨论。 解题步骤： 1.先求内层函数在定义域内的取值范围或（）。 2.若已知的值域为： 时，对数递增，需，解得。 时，对数递减，需有最大值，且，解得（需验证）。 示例：已知值域为，，时，故。 2.参数在内层一次函数（） 解题关键：一次函数单调无界，值域为开区间，需结合对数值域反推参数对定义域的限制。 解题步骤： 1.由得定义域，进而得的取值范围或（）。 2.若已知的值域为： 时，需，即，再结合的解与定义域的关系，列参数方程。 示例：已知值域为，需能取遍所有正数，故（一次函数无界）。 3.参数在内层二次函数（） 解题关键：二次函数有界（有最大/最小值），对数值域的边界对应二次函数的最值，需结合开口方向和判别式。 解题步骤： 1.先保证定义域非空：有解，即二次函数与x轴无交点（）且开口向上（）。 2.设的最小值为（），最大值为（），已知的值域为或： 时，若，则，即，结合二次函数最值公式，列方程求参数。 示例：已知值域为，需能取遍所有正数，故，解得或。 4.参数在分式内层（） 解题关键：通过分离常数法求的值域，再结合对数值域反推参数，注意排除分式不可取的常数。 解题步骤： 1.分离常数得，其取值范围为。 2.结合真数>0，得的有效范围（）。 3.已知的值域为，则需（对数在时取值为0，排除后值域符合），列方程求参数。 三、含多参数的复杂题型策略 1.分类讨论优先级：先讨论对数底数（或），再讨论内层函数的参数（开口方向、斜率等）。 2.利用“等价转化”：将值域条件转化为内层函数的“最值条件”或“取值范围条件”，避免遗漏定义域限制。 3.验证参数合理性：求解后需检验内层函数有解，且对数值域与已知一致。 。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 【答案】0 【分析】令，由题意函数的值域为，则的值域包含，分，求的值域，即可求解． 【详解】令的值域为，则的值域包含． ①当时，，其值域为，满足题意； ②当时，令，函数转化为函数，其图象开口向下， 则的值域为，不满足题意．所以， 故答案为：0． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求解的值域，即可根据求解. 【详解】由于的值域是， 令，则要能取遍所有的值， ， 因此，故 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数的值并验证即得. 【详解】因的值域为， 即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4， 则，由，可得时，，解得， 此时的定义域为， 在上单调递增，在上单调递减， 则得，符合题意. 故答案为：1. 【相似题2】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 【题型4：对数函数图像问题】 【解题策略】 一、基本对数函数图像识别策略 核心是抓住“底数符号”和“定点特征”，快速区分图像归属： 1.判断单调性：图像上升则，下降则。 2.锁定定点：所有图像必过，可作为快速验证依据。 3.辅助特征： 时，图像在部分远离x轴，部分贴近x轴（函数值正负分界清晰）。 时，图像在部分远离x轴，部分贴近x轴。 4.反函数对称：与指数函数图像关于直线对称，可相互验证。 二、对数型函数图像变换解题策略 图像变换遵循“先内层后外层，平移/翻折不改变形状”，核心变换类型及步骤如下： 1.平移变换（“左加右减，上加下减”） 左右平移（变x）： ：向右平移个单位，定义域变为，定点移至。 ：向左平移个单位，定义域变为，定点移至。 上下平移（变y）： ：向上平移个单位，定点移至，值域仍为。 ：向下平移个单位，定点移至。 2.翻折变换（含绝对值） 沿x轴翻折： 与原函数关于x轴对称，单调性反转（原增变减，原减变增）。 沿y轴翻折： 定义域扩展为，图像关于y轴对称，部分与原函数一致。 上翻折（x轴上方保留）： 将下方部分（）翻折至x轴上方，值域变为，定点不变。 3.对称变换 关于原点对称： 定义域为，图像与关于原点对称，单调性与原函数相反。 三、由图像求参数解题策略 核心是“提取图像特征→转化为数学条件→列方程/不等式求解”，常见特征及转化方式： 1.由定点求参数： 图像过某点，代入函数式，直接解参数（优先用定点或平移后的定点）。 示例：已知过，代入得，解得（结合单调性进一步缩小范围）。 2.由单调性求参数： 图像上升→且内层函数单调递增（复合函数“同增”），或且内层函数单调递减（“异减”）。 示例：图像上升，内层递增，故。 3.由定义域/值域特征求参数： 图像与y轴有交点→定义域含负数（如），需对负数x成立。 图像有最低点→函数含绝对值（如）或复合二次函数（内层有最小值）。 四、图像应用解题策略（比较大小、解不等式） 1.比较对数大小： 步骤：①画对应对数函数图像；②找到对应真数在x轴上的位置；③由图像上下位置判断函数值大小（上方值大）。 示例：比较与，画图像，对应图像上方，故。 2.解对数不等式： 步骤：①确定函数单调性（由底数a决定）；②结合图像找到“分界点”（如定点）；③转化为真数的不等式（注意定义域）。 示例：解，画下降图像，对应，解得。 五、易错点规避策略 1.平移方向混淆：左右平移针对“x本身”，如是向左平移3个单位，而非向右。 2.翻折忽略定义域：定义域是，避免误写为。 3.复合函数图像判断漏内层：先分析内层函数（如一次、二次函数）的定义域和单调性，再叠加对数变换，避免直接套用基本图像。 4.底数判断错误：图像“陡缓”不直接决定底数大小（需结合真数范围），优先用单调性和定点验证。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为偶函数，则函数图象关于轴对称，故排除D； 当时，则 因为当时，，，所以； 当时，，，所以，故排除A、C. 故选：B 【例题2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·北京·期中）若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据对数复合函数的图象得到，结合指数函数的性质确定大致图象，即可得. 【详解】由解析式知，结合图知，故， 对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合. 故选：A 【相似题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 【题型5：对数函数过定点问题】 【解题策略】 一、基本对数函数的定点求解 基本形式：（） 1.核心逻辑：无论底数取何值，当真数时，。 2.定点结论：恒过定点。 3.验证方法：代入，函数值必为0，与的具体数值无关。 二、复合对数型函数的定点求解（重点） 复合形式：（，为常数），解题分3步： 1.令内层真数，解出的值（记为）——消除底数和外层常数的影响。 2.将代入函数，计算的值（）。 3.定点坐标为，与底数无关。 1.平移变换后的定点 示例1（左右平移）： 令，得，，定点为。 示例2（上下平移）： 令，得，定点为。 示例3（复合平移）： 令，得，，定点为。 2.含一次函数内层的定点 示例： 令，解得。 代入得，定点为。 3.含绝对值内层的定点 示例： 令，解得或。 代入得，定点为和。 4.含分式内层的定点 示例： 令，解得（无解），故无定点？不，实际应为“真数=1时方程有解则有定点，无解则无”——此例无解，故函数图像无恒过的定点（需注意此类特殊情况）。 三、由定点求参数的解题策略 已知函数过某定点，求参数值，步骤如下： 1.直接将定点坐标代入函数解析式，得到关于参数的方程。 2.解方程求出参数（注意参数的限制条件：、分母不为0等）。 3.验证参数是否满足函数定义域非空等隐含条件。 示例：已知过定点，求的值。 代入得，即，解得。 验证：有解，符合条件。 四、易错点规避策略 1.忽略真数=1的核心逻辑：直接代入定点横坐标求参数，而非令真数=1，导致错误。 2.复合函数漏算常数项：上下平移时，定点纵坐标需加/减平移量，避免仍写为0。 3.绝对值内层漏解：令时，需考虑正负两种情况，避免遗漏定点。 4.分式内层无解情况：当无解时，函数无恒过的定点，需明确说明。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）设函数过定点，则 ． 【答案】4 【分析】根据对数函数的图象性质列方程组求解即得，利用换底公式和对数运算性质即得答案. 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 【例题2】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据，求函数图象经过的定点的坐标. 【详解】因为时，为定值． 故点A的坐标为． 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时， 所以函数的图象过定点， 所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 【相似题2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】通过对数函数的性质求出定点的坐标，再将点坐标代入函数求出的值，最后把代入得出结果. 【详解】对于函数，因为恒成立. 令，解得 把代入函数，解得. 所以函数过定点. ，. 故. 所以． 故答案为：. 【题型6;对数函数单调性问题】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.定义域是前提：所有单调性分析必须在“真数>0”的定义域内进行。 2.单调性判断法则： 基本对数函数（）：时单调递增，时单调递减。 复合对数函数（）：遵循“同增异减”——内层函数与外层对数函数单调性一致时，整体单调递增；反之则单调递减。 二、基本对数函数单调性应用 1.直接判断单调性：根据底数的范围直接下结论，无需额外分析。 示例：单调递增，单调递减。 2.比较大小：同底数时，利用单调性直接比较真数大小（增函数：真数大则函数值大；减函数：真数大则函数值小）。 示例：比较与，因递增，且，故。 3.解简单不等式：结合单调性转化为真数的不等式（需保证真数>0）。 示例：解，转化为，得。 三、复合对数型函数单调性解题策略 1.一次型复合：（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得到的取值范围。 2.判内层单调性：时递增，时递减。 3.用“同增异减”判整体：结合底数的范围，确定复合函数的单调区间。 示例：求单调区间，定义域，内层递增，，故整体在单调递增。 2.二次型复合：（） 解题步骤： 1.求定义域：解，确定的有效范围。 2.找内层单调区间：根据二次函数开口方向（先减后增，先增后减），求出其在定义域内的单调区间。 3.分情况判整体：按和分类，结合“同增异减”匹配内外层单调性，得到复合函数的单调区间。 示例：求单调区间，定义域或；内层在递减、递增；，故整体在递增、递减。 3.绝对值型复合：（为一次/二次函数） 解题步骤： 1.求定义域：解（即）。 2.分析的单调性：分区间讨论绝对值内函数的正负，转化为不含绝对值的函数后判单调。 3.结合对数底数单调性，用“同增异减”得整体单调区间。 示例：求单调区间，定义域；时递增，时递减；，故整体在递增、递减。 4.分式型复合：（为一次函数） 解题步骤： 1.求定义域：解（等价于）。 2.用分离常数法化简，判断其在定义域内的单调性。 3.结合对数底数单调性，用“同增异减”得整体单调区间。 示例：求单调区间，定义域或；分离常数得，在和均递增；，故整体在和均递减。 四、含参数的单调性解题策略 1.分类讨论优先级：先讨论对数底数（或），再讨论内层函数的参数（如一次函数斜率、二次函数开口方向）。 2.核心原则：参数的取值需同时满足“定义域非空”和“单调性条件”，最后取交集。 示例：若在单调递增，先定定义域在恒成立；内层二次函数对称轴，需（保证内层在递增），且；同时（定义域恒成立），解得且。 五、易错点规避策略 1.忽略定义域：未先求定义域，直接分析内层函数单调性，导致单调区间超出定义域。 2.复合函数单调性判反：混淆“同增异减”，如内层递增、底数时，整体应递减而非递增。 3.二次函数单调区间漏结合定义域：未排除二次函数在定义域外的单调区间，导致结论错误。 4.含参数讨论不全面：遗漏底数或中的某一种情况，或未考虑内层函数参数对定义域的影响。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数单调性和一次函数单调性得在单调递增，然后利用二次函数单调性列不等式组求解即可. 【详解】当时，， 因为和都在上单调递增，所以在单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 【例题2】（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：C 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】由题知函数的定义域为，，所以为偶函数， 当时，和均为增函数，所以在上单调递增， 故由可得，解得. 故选：B. 【相似题2】（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，则函数在上单调递减以及函数值总大于零，由此联立不等式组求解． 【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数， 要使函数在上递减，则， 解得，实数的取值范围是． 故选：B. 【题型7：对数函数奇偶性问题】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.前提条件：函数奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称（即若在定义域内，则也在定义域内），对数函数需先满足“真数>0”，再验证定义域对称性。 2.核心步骤： 第一步：求函数定义域（解真数>0的不等式）； 第二步：判断定义域是否关于原点对称，若不对称则直接判定为非奇非偶； 第三步：若定义域对称，化简，对比其与或的关系，得出结论。 3.对数化简关键：利用对数运算法则、，简化的表达式。 二、基本对数函数的奇偶性结论 基本形式：（） 定义域为，不关于原点对称（仅含正数，不含对应负数）； 结论：非奇非偶，无例外情况。 三、复合对数型函数奇偶性解题策略（重点） 复合形式核心：（），仅当满足“”（奇函数）或“”（偶函数）时，才可能具有奇偶性，分类型解析： 1.真数为分式（奇函数常见结构）：、（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得（关于原点对称）； 2.化简：； 3.结论：奇函数。 示例：，定义域（对称），，为奇函数。 2.真数为二次函数（偶函数常见结构）：、（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得或（关于原点对称）； 2.化简：； 3.结论：偶函数。 示例：，定义域或（对称），，为偶函数。 3.真数含绝对值（需结合结构）：（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得或（关于原点对称）； 2.化简：； 3.结论：偶函数。 注意：若真数为（），定义域为，不关于原点对称，直接非奇非偶。 4.非奇非偶的常见情况 定义域不关于原点对称：如（定义域）、（定义域）； 定义域对称但不满足：如（定义域，但且）。 四、含参数的对数函数奇偶性解题策略 已知函数为奇/偶函数，求参数值，步骤如下： 1.由“定义域关于原点对称”列方程：确保真数的解集关于原点对称，建立参数的等式（如分式真数的分子分母常数项互为相反数）； 2.由“”验证参数：化简后得到参数的约束条件，排除矛盾解； 3.验证参数合理性：确保参数满足及真数恒正的隐含条件。 示例：已知（）为奇函数，第一步：定义域需关于原点对称，得（解集或）；第二步：，满足奇函数条件，故参数且。 五、易错点规避策略 1.跳过定义域直接验证：未先判断定义域对称性，导致误判（如定义域不对称仍强行验证）； 2.真数化简错误：处理分式真数时，未正确利用对数的倒数性质（如）； 3.混淆“定义域对称”与“函数图像对称”：定义域对称是奇偶性的必要条件，而非充分条件； 4.含参数时忽略真数恒正：仅满足定义域对称和奇偶性条件，未验证参数使真数始终大于0，导致参数取值范围扩大。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集 . 【答案】 【分析】探讨函数的性质，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 【例题2】（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，结合偶函数的定义运算求解即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为， 若函数是偶函数，则， 即，可得， 结合的任意性可得. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 【答案】(1) (2) (3) 函数的值域是；单调递增区间是，单调递减区间是. 【分析】（1）根据指对函数的运算公式，结合偶函数的定义，即可求解； （2）首先化简，再根据对数函数的单调性解不等式； （3）根据复合函数的单调性，结合二次函数和对数函数的性质，即可求解. 【详解】（1）， 若函数是偶函数，所以， 所以， 即，则， 即，得，得； （2）， 所以不等式为， 所以， ，得， ，得，即， 得，即， 综上可知； 所以不等式的解集为； （3），得，得， 函数的对称轴是，最大值为2， ，，，所以， 根据复合函数的单调性可知，单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的值域是. 【相似题2】（25-26高三上·江西·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求不等式的解集． (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． (3)是否存在，，，使得在上的值域为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据奇函数的定义可得参数值，解不等式即可. （2）根据复合函数定义域及复合函数单调性列不等式，解不等式组即可； （3）根据函数单调性与值域列方程，可转化为方程在内有两个不等实根，可转化为二次方程问题，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为是奇函数，所以，则， 即，则， 因为，所以， 且当时，的定义域为，且，满足题意， 由，得，则， 解得，则不等式的解集为； （2）由（1）可知， 易知函数在和上单调递增， 则在和上单调递增． 因为在上单调递增，所以， 解得，则的取值范围为； （3）假设存在，，，使得在上的值域为， 由（2）可知在上单调递增，则， 即，整理得， 即，是关于的方程的两个实数根， 因为，， 所以， 即 所以，， 故存在，，，使得在上的值域为， 且的取值范围为． 【题型8：对数的比较大小】 【解题策略】 一、基础解题方法（高频通用） 1.同底数比较法（核心：利用对数单调性） 核心逻辑：底数相同，直接由底数单调性判断——真数大小与函数值大小同步（增函数）或反向（减函数）。 解题步骤： 1.确认底数的范围（递增，递减）； 2.验证两个真数均大于0（满足定义域）； 3.比较真数大小，结合单调性得出对数大小关系。 示例：比较与 底数递增，真数，故； 若为与，底数递减，故。 易错点：忽略真数>0的验证，直接比较真数导致定义域错误。 2.同真数比较法（核心：底数与函数值的反向关系） 核心逻辑：真数相同，底数越大（时），对数函数值越小；底数越小（时），对数函数值越大（可通过图像陡峭度理解）。 解题步骤： 1.确认真数（满足定义域）； 2.分底数范围讨论： 若、且，则（时）； 若、且，则（时）。 示例：比较与 真数，底数，故（验证：，）。 易错点：混淆与时的底数和函数值关系，导致判断颠倒。 3.中间值法（核心：用0/1/2等“桥梁数”衔接） 核心逻辑：当底数、真数均不同时，找一个中间值（常用0、1），分别比较两个对数与中间值的大小，间接得出结论。 常用中间值： （所有底数通用）； （底数与真数相等时）。 解题步骤： 1.分别判断两个对数与中间值的大小（大于/小于）； 2.若一个对数>中间值，另一个<中间值，直接得出大小关系。 示例：比较与 ，，故； 再如比较与：前者<，后者<，需换进阶方法。 易错点：中间值选择不当（如用1无法区分时，未换2或等）。 二、进阶解题方法（复杂异底异真/含变量） 1.换底公式法（含作差/作商） 核心逻辑：用换底公式（）将异底对数转化为同分母/同分子分式，再通过作差、作商判断大小。 解题步骤（作差法）： 1.换底转化为分式形式； 2.通分计算两分式的差，判断分子符号（分母符号由底数决定，时）； 3.分子正则前者大，分子负则后者大。 示例：比较与 换底得与； 作差：，故。 易错点：忽略换底后分母的符号（如时），导致差的符号判断错误。 2.图像精准定位法 核心逻辑：利用对数函数图像特征（递增、递减；底数越大，时图像越贴近x轴），画草图定位函数值位置。 解题步骤： 1.确定所有对数的底数范围（>1或0<<1），在同一坐标系画草图； 2.标记关键定点（1,0）、（a,1）、（1/a,-1），明确图像“陡峭度”； 3.找到真数对应的x轴位置，向上作垂线，交点越高，函数值越大（时）。 示例：比较、、 底数均>1，图像递增且最陡、最平缓； 真数7、10、26对应的交点：最高，故。 易错点：时图像递减，误将“真数大”等同于“函数值大”。 3.放缩法（对数运算法则+不等式） 核心逻辑：通过对数运算法则拆分/合并对数，结合不等式性质（糖水不等式、均值不等式），将对数转化为可直接比较的形式。 常用放缩规则： 1.（，）； 2.（，，糖水不等式推导）； 3.（，）。 示例：比较与 转化为证明，即； 因，且递增，故。 易错点：放缩过度（如将两个对数都放缩到>1，仍无法区分）。 4.构造函数法（含变量/共性结构） 核心逻辑：针对含相同结构的对数（如、），构造函数，通过导数或定义判断单调性，间接比较。 解题步骤： 1.提取共性结构，构造函数（如，）； 2.化简函数（如换底为），求导判断单调性； 3.代入自变量（对数的底数/真数），利用单调性得出大小。 示例：比较、、 构造（），求导得（递减）； 因，故，即。 易错点：构造函数后未明确定义域，在非单调区间误用单调性。 三、题型匹配指南（快速选方法） 题型特征 优先使用方法 辅助技巧 同底数、异真数 同底数比较法 验证真数>0 同真数、异底数 同真数比较法 结合图像陡峭度 异底异真、可与0/1衔接 中间值法 优先用1或0作为桥梁 异底异真、中间值无效 换底作差/作商法 通分后简化分子 多个对数比较、直观判断 图像定位法 标记定点（1,0） 含变量、有共性结构 构造函数法 导数判断单调性 与具体数值（如3/2）比较 放缩法 对数转指数简化 四、易错点汇总 1.忽略定义域：未验证真数>0，直接比较导致逻辑错误； 2.单调性混淆：时，误将真数大小与函数值大小同步； 3.换底符号错误：时，作差时分母符号影响结果； 4.放缩过度：未控制放缩幅度，导致无法区分两个对数的大小。 例题精选 【例题1】（江西省赣州市十八县（市、区）二十四校联考2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题）若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 【例题2】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断. 【详解】因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得. 故选：A 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·贵州·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性可得三者的大小关系. 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以， 故选：D 【相似题2】（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知， 所以，， 即. 故选：C 【题型9：对数函数综合与不等式问题】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.定义域优先：所有不等式求解必须以“真数>0”为前提，避免遗漏定义域限制； 2.单调性核心：利用对数底数的单调性（递增，递减），将对数不等式等价转化为真数的不等式（复合函数需用“同增异减”）； 3.等价变形原则： 若，则； 若，则； 4.综合题联动：结合奇偶性、值域、定点等性质，先简化函数再解不等式，避免复杂运算。 二、分题型解题策略 （一）基础对数不等式（单一对数形式） 题型特征：无复合内层函数，仅含或形式； 解题步骤： 1.列定义域条件：（或真数表达式>0）； 2.转化为真数不等式： 若不等式右侧为常数，先化为，再按单调性转化； 若两侧为同底对数，直接按单调性转化为真数大小关系； 3.求定义域与真数不等式的交集，即为解集。 示例1：解不等式 定义域：； 转化：，递增，故； 解集：。 示例2：解不等式 定义域：且； 转化：递减，故； 解集：。 易错点：仅转化对数不等式，忽略真数>0的定义域，导致解集扩大。 （二）复合对数不等式（形式） 题型特征：内层含一次、二次、分式、绝对值函数，需结合“同增异减”判断单调性； 解题步骤： 1.求定义域：解（按一次/二次/分式的定义域求解规则）； 2.分析内外层单调性： 外层：由底数决定（增，减）； 内层：分析在定义域内的单调区间； 3.按“同增异减”转化为的不等式： 若整体递增，则对数不等式→的同向不等式； 若整体递减，则对数不等式→的反向不等式； 4.求定义域与不等式的交集，即为解集。 示例：解不等式 1.定义域：或； 2.单调性：外层递减，内层在递减、递增，故整体在递增、递减； 3.转化：，整体递减，故； 解； 4.交集：。 易错点：复合函数单调性判反，导致真数不等式方向错误；未结合定义域截取内层单调区间。 （三）含参数的对数不等式（难点） 题型特征：参数在底数或内层函数中，需分类讨论参数范围； 解题步骤： 1.分类讨论优先级：先讨论对数底数（或），再讨论内层函数参数； 2.每类讨论中： 先求定义域（含参数的不等式，需保证定义域非空）； 转化为真数不等式（结合单调性）； 解含参数的真数不等式，明确参数的取值边界； 3.合并各类讨论的结果，排除矛盾解（如定义域为空集的参数范围）。 示例：解关于的不等式（） 1.分类讨论底数： 当时： 定义域：； 转化：，递增故； 解集：。 当时： 定义域：； 转化：递减故； 解集：。 易错点：遗漏参数的限制条件（如）；分类讨论后未验证定义域非空（如内层二次函数需保证真数有正值）。 （四）综合型问题（结合奇偶性/值域/单调性） 题型特征：不等式与奇偶性、值域、定点等性质结合，需先利用性质简化函数； 解题步骤： 1.利用已知性质简化函数： 奇偶性：化简，缩小自变量范围（如奇函数定义域关于原点对称）； 值域：确定的取值边界，辅助不等式转化； 2.结合单调性，将对数不等式转化为真数不等式； 3.求定义域、性质限制、真数不等式的交集，即为解集。 示例：已知（奇函数），解不等式 1.利用奇偶性定定义域：（关于原点对称）； 2.分析单调性：内层在递减，外层递增，故在递减； 3.转化不等式：，递减故； 解或； 4.交集：。 易错点：未利用奇偶性简化定义域，导致运算复杂；忽略综合性质对函数单调性的影响，误判不等式方向。 三、易错点汇总 1.定义域遗漏：仅关注对数不等式转化，忘记真数>0或内层函数的额外限制（如分式分母≠0）； 2.单调性判反：复合函数未遵循“同增异减”，或混淆与的不等式方向； 3.含参数讨论不全面：遗漏或的某一类，或未验证参数使定义域非空； 4.等价变形错误：将直接转化为，忽略时需反向； 5.综合题联动不足：未利用奇偶性、值域等性质简化函数，导致解题步骤冗余。 四、题型匹配指南（快速选方法） 题型特征 优先使用方法 关键动作 单一对数、同底/常数右侧 基础转化法 定定义域→按单调性转真数不等式 复合函数（一次/二次/分式内层） 复合单调性法 判内外层单调→转真数不等式组 参数在底数/内层函数中 分类讨论法 先分底数→再分内层参数 结合奇偶性/值域/定点 性质联动法 先简化函数→再转不等式 例题精选 【例题1】（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 【例题2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可证明； （2）（ⅰ）首先求的取值范围，再讨论的取值，求函数的最小值；（ⅱ）不等式转化为，结合（ⅰ）的结论，求函数的最小值，即可求解不等式. 【详解】（1）时，，定义域为，且， 所以函数是偶函数； （2）（ⅰ）当时，， 当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以， 的对称轴是， 当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是 当时，即，函数的最小值是，的最小值是， 综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是 （ⅱ）由题意可知，， ，，设，则， 函数的最小值是， 由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立， 当时，的最小值是，则 则，，则， 综上可知， 【相似题2】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； (2)解不等式； (3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数是定义域上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，然后利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性； （2）利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可； （3）分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立； ，是定义域上的增函数，理由如下： 对任意的、且，则， 所以， ，即， 所以，函数为上的增函数. （2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 所以，，可得，即， 因为，则，解得， 所以不等式的解集为. （3）因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 所以，函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 6．（25-26高三上·海南·月考）若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·江西赣州·期末）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 三、填空题 8．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）函数的定义域为 . 9．（25-26高二上·云南玉溪·期中）若函数在上单调递减，则函数的递增区间是 . 四、解答题 10．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 11．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数． (1)若的定义域为R，求m的取值范围； (2)若的值域为R，求m的取值范围． 12．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数，且． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围． 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 14．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A B B D B AD 1．C 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义判断即可. 【详解】由“对任意的时，均有”，得函数在上单调递增， 对于A，在上不单调递增，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 2．A 【分析】借助对数函数与指数函数单调性计算即可得． 【详解】，，则， ，故. 故选：A. 3．B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 4．B 【分析】由对数函数的性质得的正负，从而得到的正负，进而得到，转化为二次函数最值问题. 【详解】函数的定义域是， 当，得，，得， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则， 由，得，则， 所以，当，时，的最小值为. 故选：B 5．D 【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果. 【详解】函数的图象恒过定点， 又点在的图象上， ，即， 故选：D. 6．B 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增，此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 7．AD 【分析】利用对数函数的性质，包括定义域、值域、单调性等，同时结合二次函数分析复合函数的性质，逐个分析每个选项即可得到答案. 【详解】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令. 对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确. 对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误. 对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误. 对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确. 故选：AD. 8． 【分析】根据条件，利用对数函数的性质和根式有意义的条件，得，即可求解. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 9． 【分析】由对数函数定义得且，根据单调性求得，再利用复合函数单调性即得函数的递增区间. 【详解】由题意可得且， 由函数在上单调递减，则有， 解得，即， 因函数在上单调递减， 令，解得或， 由在上单调递减，在上单调递增， 故函数的递增区间为. 故答案为：. 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 11．(1) (2) 【分析】（1）在R上恒成立，分，两种情况，根据根的判别式得到不等式，求出答案； （2）的值域必须包含，分，两种情况，根据根的判别得到不等式，求出答案. 【详解】（1）函数的定义域为R，则在R上恒成立． 当时，在R上不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得． 综上，m的取值范围为． （2）函数的值域为R， 则的值域必须包含． 当时，则的值域包含，符合题意； 当时，有，解得． 综上，m的取值范围为． 12．(1) (2)奇函数 (3)当时，的取值范围是；当时，的取值范围是 【分析】（1）根据对数的真数部分为正即可求解； （2）根据奇偶性的定义，结合对数运算法则即可判断； （3）分为和两种情况进行讨论． 【详解】（1）由，得，故函数的定义域为． （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称， ， 函数是奇函数． （3）当时，由，得，解得； 当时，由，得1，解得． 故当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学常考题型归纳 【第18讲：对数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、常见对数型函数分类及核心性质解析 对数型函数是基本对数函数（）的变形，核心包括“绝对值变换”“复合变换”，以下是高频类型的性质梳理： 1.真数带绝对值：（） 奇偶性：偶函数。定义域为，关于原点对称，且。 单调性：时，在单调递增，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增。 值域与最值：值域为，无最大值和最小值。 关键特征：图像关于y轴对称，左右两侧分别对应和的部分，均过和。 2.函数带绝对值：（） 奇偶性：非奇非偶。定义域为，不关于原点对称。 单调性：时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递增，在单调递减。 值域与最值：值域为，有最小值0（当时取得），无最大值。 关键特征：图像是将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，过定点。 3.复合一次函数：（） 奇偶性：非奇非偶。定义域为（或，取决于的符号），不关于原点对称。 单调性：遵循“同增异减”。时，内层单调递增，外层与单调性一致；时，内层单调递减，外层与单调性相反。 值域与最值：值域为，无最大值和最小值。 关键特征：图像由平移得到，过定点（令求解）。 4.复合二次函数：（，二次函数开口向上且有零点） 奇偶性：仅当且定义域关于原点对称时为偶函数（如），否则非奇非偶。 单调性：先求二次函数的单调区间（结合定义域），再按“同增异减”判断。例：，定义域或，在递增，在递减。 值域与最值：二次函数有最大值时，值域为（有最大值）；值域为（有最小值）。 关键特征：图像受二次函数定义域限制，仅在二次函数正值区间有图像。 二、图像平移变换规律（核心：“左加右减，上加下减”） 对数型函数的平移仅改变位置，不改变形状和单调性趋势，具体规则如下： 1.左右平移：针对自变量变形，（）。 ：图像由向右平移个单位，定义域变为。 ：图像向左平移个单位，定义域变为（即）。 2.上下平移：针对函数值变形，（）。 ：图像向上平移个单位，值域仍为，过定点。 ：图像向下平移个单位，过定点。 3.复合平移：，先左右平移个单位，再上下平移个单位，过定点。 三、核心总结 奇偶性：仅定义域关于原点对称时才可能为奇/偶函数，多数对数型函数为非奇非偶。 单调性：复合函数必用“同增异减”，先定定义域，再分析内外层函数单调性。 值域与最值：仅含绝对值或复合有界函数时，才可能有最值，否则值域为。 平移：左右平移改变定义域，上下平移改变定点纵坐标，形状不变。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数函数及其定义域】 【解题策略】 一、基本对数函数定义域解题策略 基本形式：（） 1.核心依据：真数，无其他限制条件。 2.解题步骤：直接列出不等式，定义域为。 3.关键提醒：无需额外变形，仅需保证真数大于0，这是所有对数型函数的基础。 二、复合对数型函数定义域解题策略 复合形式核心：（），定义域需满足，按的类型分类求解： 1.一次型复合：（） 解题步骤： 1.列不等式； 2.按的符号解一元一次不等式：时，；时，。 示例：求定义域，解得，定义域为。 2.二次型复合：（） 解题步骤： 1.列不等式； 2.求二次函数零点（解方程）； 3.结合二次函数开口方向（开口向上，开口向下），确定不等式解集。 示例：求定义域，解，零点为，开口向上，得或。 3.分式+对数复合： 解题步骤： 1.同时满足两个条件：真数，分母； 2.转化为（分式大于0等价于分子分母同号），解不等式。 示例：求定义域，解，得或。 4.绝对值+对数复合： 解题步骤： 1.列不等式； 2.等价于，结合本身的定义域，求交集。 示例：求定义域，解，得，即。 三、定义域结合其他性质的综合解题策略 1.结合单调性：先求定义域，再在定义域内用“同增异减”分析单调性。 示例：求单调区间，先定定义域或，再分析内层二次函数单调性，最终得递增区间，递减区间。 2.结合奇偶性：先通过定义域关于原点对称初步判断，再验证与的关系。 示例：判断奇偶性，先定定义域（关于原点对称），再验证，确定为奇函数。 3.结合最值/值域：先定定义域，再分析内层函数的取值范围，最后结合对数函数单调性求值域。 示例：求值域，先定定义域，内层函数最小值为2，结合对数单调性得值域。 四、易错点规避策略 1.忽略真数>0：解题时先写定义域，再进行后续运算，避免先化简再求定义域。 2.复合函数漏限制：分式分母、偶次根式被开方数等其他限制条件，需与真数>0联立求解。 3.二次不等式解错：注意二次函数开口方向和零点位置，避免解集方向颠倒。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·北京大兴·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高三·上海·专题练习）函数的定义域是 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高三上·辽宁大连·期中）“”是“函数的定义域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2：对数函数及其值域】 【解题策略】 一、基本对数函数的值域策略 基本形式：（） 1.核心逻辑：定义域为，真数可取所有正数。 2.值域结论：无论取何值（满足条件），值域均为（全体实数）。 3.关键提醒：无最值，因为真数能无限趋近于0或正无穷，对数函数值随之无限递减或递增。 二、复合对数型函数的值域策略 复合形式核心：（），解题分三步：①求定义域（）；②求在定义域内的取值范围（记为）；③结合（）的单调性，求最终值域。 1.一次型复合：（） 解题步骤： 1.由确定定义域，进而得到的取值范围或（一次函数单调，值域为开区间）。 2.若，单调递增，值域为或；若，值域与上述相反。 示例：求值域，定义域，，值域为。 2.二次型复合：（） 解题步骤： 1.先求定义域（），再求在定义域内的最值（二次函数有界）。 2.若在定义域内的最小值为（），无最大值： 时，对数单调递增，值域为； 时，对数单调递减，值域为。 示例：求值域，定义域为，最小值为2，值域为。 3.分式型复合：（为一次函数） 解题步骤： 1.先求定义域（），再通过分离常数法求的取值范围（分式值域通常为，为常数）。 2.排除（若），再结合对数单调性转化为值域。 示例：求值域，先得，其取值范围为，结合真数>0，最终，值域为。 4.绝对值型复合：（为一次/二次函数） 解题步骤： 1.定义域为（即），再求的取值范围（，绝对值函数最小值为）。 2.按对数单调性转化：时值域为；时为。 示例：求值域，定义域，，绝对值后取值范围为，值域为。 三、综合题型解题策略 1.结合定义域与单调性：先通过定义域锁定的有效范围，再用“同增异减”判断对数函数单调性，进而确定值域边界。 示例：求值域，定义域或，在定义域内取值范围为，值域为。 2.含参数的值域问题：先讨论参数对值域的影响，再结合对数底数的单调性分类求解。 示例：求值域，先得，再分时值域，时值域。 3.最值存在的条件：仅当内层函数有界（存在最大值或最小值）时，对数函数才会有最值，否则值域为。 四、易错点规避策略 1.忽略内层函数值域限制：直接默认可取所有正数，导致值域判断错误（如二次函数有最小值，对数值域会有下界）。 2.复合函数单调性判断错：未遵循“同增异减”，导致值域边界颠倒（如时，内层函数递增，对数函数递减）。 3.分式值域求解失误：未通过分离常数法准确求的取值范围，遗漏“分式不能取某个常数”的情况。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）函数的最小值为 . 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高一上·全国·课堂例题）函数，当时，求该函数的值域. 【题型3：由对数函数值域求参数】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.明确复合结构：设函数为（），已知的值域为或等。 2.逆向推导内层范围：根据对数单调性，将值域转化为内层函数的取值范围（记为）。 3.结合定义域与性质：是前提，再根据的类型（一次、二次、分式等），列参数满足的条件。 4.求解参数：解不等式（组）或方程，得到参数的取值范围。 二、常见题型及解题策略 1.参数在对数底数上 解题关键：底数决定对数单调性，需分和讨论。 解题步骤： 1.先求内层函数在定义域内的取值范围或（）。 2.若已知的值域为： 时，对数递增，需，解得。 时，对数递减，需有最大值，且，解得（需验证）。 示例：已知值域为，，时，故。 2.参数在内层一次函数（） 解题关键：一次函数单调无界，值域为开区间，需结合对数值域反推参数对定义域的限制。 解题步骤： 1.由得定义域，进而得的取值范围或（）。 2.若已知的值域为： 时，需，即，再结合的解与定义域的关系，列参数方程。 示例：已知值域为，需能取遍所有正数，故（一次函数无界）。 3.参数在内层二次函数（） 解题关键：二次函数有界（有最大/最小值），对数值域的边界对应二次函数的最值，需结合开口方向和判别式。 解题步骤： 1.先保证定义域非空：有解，即二次函数与x轴无交点（）且开口向上（）。 2.设的最小值为（），最大值为（），已知的值域为或： 时，若，则，即，结合二次函数最值公式，列方程求参数。 示例：已知值域为，需能取遍所有正数，故，解得或。 4.参数在分式内层（） 解题关键：通过分离常数法求的值域，再结合对数值域反推参数，注意排除分式不可取的常数。 解题步骤： 1.分离常数得，其取值范围为。 2.结合真数>0，得的有效范围（）。 3.已知的值域为，则需（对数在时取值为0，排除后值域符合），列方程求参数。 三、含多参数的复杂题型策略 1.分类讨论优先级：先讨论对数底数（或），再讨论内层函数的参数（开口方向、斜率等）。 2.利用“等价转化”：将值域条件转化为内层函数的“最值条件”或“取值范围条件”，避免遗漏定义域限制。 3.验证参数合理性：求解后需检验内层函数有解，且对数值域与已知一致。 。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 【相似题2】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4：对数函数图像问题】 【解题策略】 一、基本对数函数图像识别策略 核心是抓住“底数符号”和“定点特征”，快速区分图像归属： 1.判断单调性：图像上升则，下降则。 2.锁定定点：所有图像必过，可作为快速验证依据。 3.辅助特征： 时，图像在部分远离x轴，部分贴近x轴（函数值正负分界清晰）。 时，图像在部分远离x轴，部分贴近x轴。 4.反函数对称：与指数函数图像关于直线对称，可相互验证。 二、对数型函数图像变换解题策略 图像变换遵循“先内层后外层，平移/翻折不改变形状”，核心变换类型及步骤如下： 1.平移变换（“左加右减，上加下减”） 左右平移（变x）： ：向右平移个单位，定义域变为，定点移至。 ：向左平移个单位，定义域变为，定点移至。 上下平移（变y）： ：向上平移个单位，定点移至，值域仍为。 ：向下平移个单位，定点移至。 2.翻折变换（含绝对值） 沿x轴翻折： 与原函数关于x轴对称，单调性反转（原增变减，原减变增）。 沿y轴翻折： 定义域扩展为，图像关于y轴对称，部分与原函数一致。 上翻折（x轴上方保留）： 将下方部分（）翻折至x轴上方，值域变为，定点不变。 3.对称变换 关于原点对称： 定义域为，图像与关于原点对称，单调性与原函数相反。 三、由图像求参数解题策略 核心是“提取图像特征→转化为数学条件→列方程/不等式求解”，常见特征及转化方式： 1.由定点求参数： 图像过某点，代入函数式，直接解参数（优先用定点或平移后的定点）。 示例：已知过，代入得，解得（结合单调性进一步缩小范围）。 2.由单调性求参数： 图像上升→且内层函数单调递增（复合函数“同增”），或且内层函数单调递减（“异减”）。 示例：图像上升，内层递增，故。 3.由定义域/值域特征求参数： 图像与y轴有交点→定义域含负数（如），需对负数x成立。 图像有最低点→函数含绝对值（如）或复合二次函数（内层有最小值）。 四、图像应用解题策略（比较大小、解不等式） 1.比较对数大小： 步骤：①画对应对数函数图像；②找到对应真数在x轴上的位置；③由图像上下位置判断函数值大小（上方值大）。 示例：比较与，画图像，对应图像上方，故。 2.解对数不等式： 步骤：①确定函数单调性（由底数a决定）；②结合图像找到“分界点”（如定点）；③转化为真数的不等式（注意定义域）。 示例：解，画下降图像，对应，解得。 五、易错点规避策略 1.平移方向混淆：左右平移针对“x本身”，如是向左平移3个单位，而非向右。 2.翻折忽略定义域：定义域是，避免误写为。 3.复合函数图像判断漏内层：先分析内层函数（如一次、二次函数）的定义域和单调性，再叠加对数变换，避免直接套用基本图像。 4.底数判断错误：图像“陡缓”不直接决定底数大小（需结合真数范围），优先用单调性和定点验证。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【例题2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·北京·期中）若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A．B． C．D． 【相似题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【题型5：对数函数过定点问题】 【解题策略】 一、基本对数函数的定点求解 基本形式：（） 1.核心逻辑：无论底数取何值，当真数时，。 2.定点结论：恒过定点。 3.验证方法：代入，函数值必为0，与的具体数值无关。 二、复合对数型函数的定点求解（重点） 复合形式：（，为常数），解题分3步： 1.令内层真数，解出的值（记为）——消除底数和外层常数的影响。 2.将代入函数，计算的值（）。 3.定点坐标为，与底数无关。 1.平移变换后的定点 示例1（左右平移）： 令，得，，定点为。 示例2（上下平移）： 令，得，定点为。 示例3（复合平移）： 令，得，，定点为。 2.含一次函数内层的定点 示例： 令，解得。 代入得，定点为。 3.含绝对值内层的定点 示例： 令，解得或。 代入得，定点为和。 4.含分式内层的定点 示例： 令，解得（无解），故无定点？不，实际应为“真数=1时方程有解则有定点，无解则无”——此例无解，故函数图像无恒过的定点（需注意此类特殊情况）。 三、由定点求参数的解题策略 已知函数过某定点，求参数值，步骤如下： 1.直接将定点坐标代入函数解析式，得到关于参数的方程。 2.解方程求出参数（注意参数的限制条件：、分母不为0等）。 3.验证参数是否满足函数定义域非空等隐含条件。 示例：已知过定点，求的值。 代入得，即，解得。 验证：有解，符合条件。 四、易错点规避策略 1.忽略真数=1的核心逻辑：直接代入定点横坐标求参数，而非令真数=1，导致错误。 2.复合函数漏算常数项：上下平移时，定点纵坐标需加/减平移量，避免仍写为0。 3.绝对值内层漏解：令时，需考虑正负两种情况，避免遗漏定点。 4.分式内层无解情况：当无解时，函数无恒过的定点，需明确说明。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）设函数过定点，则 ． 【例题2】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 【相似题2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ． 【题型6;对数函数单调性问题】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.定义域是前提：所有单调性分析必须在“真数>0”的定义域内进行。 2.单调性判断法则： 基本对数函数（）：时单调递增，时单调递减。 复合对数函数（）：遵循“同增异减”——内层函数与外层对数函数单调性一致时，整体单调递增；反之则单调递减。 二、基本对数函数单调性应用 1.直接判断单调性：根据底数的范围直接下结论，无需额外分析。 示例：单调递增，单调递减。 2.比较大小：同底数时，利用单调性直接比较真数大小（增函数：真数大则函数值大；减函数：真数大则函数值小）。 示例：比较与，因递增，且，故。 3.解简单不等式：结合单调性转化为真数的不等式（需保证真数>0）。 示例：解，转化为，得。 三、复合对数型函数单调性解题策略 1.一次型复合：（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得到的取值范围。 2.判内层单调性：时递增，时递减。 3.用“同增异减”判整体：结合底数的范围，确定复合函数的单调区间。 示例：求单调区间，定义域，内层递增，，故整体在单调递增。 2.二次型复合：（） 解题步骤： 1.求定义域：解，确定的有效范围。 2.找内层单调区间：根据二次函数开口方向（先减后增，先增后减），求出其在定义域内的单调区间。 3.分情况判整体：按和分类，结合“同增异减”匹配内外层单调性，得到复合函数的单调区间。 示例：求单调区间，定义域或；内层在递减、递增；，故整体在递增、递减。 3.绝对值型复合：（为一次/二次函数） 解题步骤： 1.求定义域：解（即）。 2.分析的单调性：分区间讨论绝对值内函数的正负，转化为不含绝对值的函数后判单调。 3.结合对数底数单调性，用“同增异减”得整体单调区间。 示例：求单调区间，定义域；时递增，时递减；，故整体在递增、递减。 4.分式型复合：（为一次函数） 解题步骤： 1.求定义域：解（等价于）。 2.用分离常数法化简，判断其在定义域内的单调性。 3.结合对数底数单调性，用“同增异减”得整体单调区间。 示例：求单调区间，定义域或；分离常数得，在和均递增；，故整体在和均递减。 四、含参数的单调性解题策略 1.分类讨论优先级：先讨论对数底数（或），再讨论内层函数的参数（如一次函数斜率、二次函数开口方向）。 2.核心原则：参数的取值需同时满足“定义域非空”和“单调性条件”，最后取交集。 示例：若在单调递增，先定定义域在恒成立；内层二次函数对称轴，需（保证内层在递增），且；同时（定义域恒成立），解得且。 五、易错点规避策略 1.忽略定义域：未先求定义域，直接分析内层函数单调性，导致单调区间超出定义域。 2.复合函数单调性判反：混淆“同增异减”，如内层递增、底数时，整体应递减而非递增。 3.二次函数单调区间漏结合定义域：未排除二次函数在定义域外的单调区间，导致结论错误。 4.含参数讨论不全面：遗漏底数或中的某一种情况，或未考虑内层函数参数对定义域的影响。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型7：对数函数奇偶性问题】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.前提条件：函数奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称（即若在定义域内，则也在定义域内），对数函数需先满足“真数>0”，再验证定义域对称性。 2.核心步骤： 第一步：求函数定义域（解真数>0的不等式）； 第二步：判断定义域是否关于原点对称，若不对称则直接判定为非奇非偶； 第三步：若定义域对称，化简，对比其与或的关系，得出结论。 3.对数化简关键：利用对数运算法则、，简化的表达式。 二、基本对数函数的奇偶性结论 基本形式：（） 定义域为，不关于原点对称（仅含正数，不含对应负数）； 结论：非奇非偶，无例外情况。 三、复合对数型函数奇偶性解题策略（重点） 复合形式核心：（），仅当满足“”（奇函数）或“”（偶函数）时，才可能具有奇偶性，分类型解析： 1.真数为分式（奇函数常见结构）：、（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得（关于原点对称）； 2.化简：； 3.结论：奇函数。 示例：，定义域（对称），，为奇函数。 2.真数为二次函数（偶函数常见结构）：、（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得或（关于原点对称）； 2.化简：； 3.结论：偶函数。 示例：，定义域或（对称），，为偶函数。 3.真数含绝对值（需结合结构）：（） 解题步骤： 1.求定义域：解，得或（关于原点对称）； 2.化简：； 3.结论：偶函数。 注意：若真数为（），定义域为，不关于原点对称，直接非奇非偶。 4.非奇非偶的常见情况 定义域不关于原点对称：如（定义域）、（定义域）； 定义域对称但不满足：如（定义域，但且）。 四、含参数的对数函数奇偶性解题策略 已知函数为奇/偶函数，求参数值，步骤如下： 1.由“定义域关于原点对称”列方程：确保真数的解集关于原点对称，建立参数的等式（如分式真数的分子分母常数项互为相反数）； 2.由“”验证参数：化简后得到参数的约束条件，排除矛盾解； 3.验证参数合理性：确保参数满足及真数恒正的隐含条件。 示例：已知（）为奇函数，第一步：定义域需关于原点对称，得（解集或）；第二步：，满足奇函数条件，故参数且。 五、易错点规避策略 1.跳过定义域直接验证：未先判断定义域对称性，导致误判（如定义域不对称仍强行验证）； 2.真数化简错误：处理分式真数时，未正确利用对数的倒数性质（如）； 3.混淆“定义域对称”与“函数图像对称”：定义域对称是奇偶性的必要条件，而非充分条件； 4.含参数时忽略真数恒正：仅满足定义域对称和奇偶性条件，未验证参数使真数始终大于0，导致参数取值范围扩大。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集 . 【例题2】（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 【相似题2】（25-26高三上·江西·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求不等式的解集． (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． (3)是否存在，，，使得在上的值域为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【题型8：对数的比较大小】 【解题策略】 一、基础解题方法（高频通用） 1.同底数比较法（核心：利用对数单调性） 核心逻辑：底数相同，直接由底数单调性判断——真数大小与函数值大小同步（增函数）或反向（减函数）。 解题步骤： 1.确认底数的范围（递增，递减）； 2.验证两个真数均大于0（满足定义域）； 3.比较真数大小，结合单调性得出对数大小关系。 示例：比较与 底数递增，真数，故； 若为与，底数递减，故。 易错点：忽略真数>0的验证，直接比较真数导致定义域错误。 2.同真数比较法（核心：底数与函数值的反向关系） 核心逻辑：真数相同，底数越大（时），对数函数值越小；底数越小（时），对数函数值越大（可通过图像陡峭度理解）。 解题步骤： 1.确认真数（满足定义域）； 2.分底数范围讨论： 若、且，则（时）； 若、且，则（时）。 示例：比较与 真数，底数，故（验证：，）。 易错点：混淆与时的底数和函数值关系，导致判断颠倒。 3.中间值法（核心：用0/1/2等“桥梁数”衔接） 核心逻辑：当底数、真数均不同时，找一个中间值（常用0、1），分别比较两个对数与中间值的大小，间接得出结论。 常用中间值： （所有底数通用）； （底数与真数相等时）。 解题步骤： 1.分别判断两个对数与中间值的大小（大于/小于）； 2.若一个对数>中间值，另一个<中间值，直接得出大小关系。 示例：比较与 ，，故； 再如比较与：前者<，后者<，需换进阶方法。 易错点：中间值选择不当（如用1无法区分时，未换2或等）。 二、进阶解题方法（复杂异底异真/含变量） 1.换底公式法（含作差/作商） 核心逻辑：用换底公式（）将异底对数转化为同分母/同分子分式，再通过作差、作商判断大小。 解题步骤（作差法）： 1.换底转化为分式形式； 2.通分计算两分式的差，判断分子符号（分母符号由底数决定，时）； 3.分子正则前者大，分子负则后者大。 示例：比较与 换底得与； 作差：，故。 易错点：忽略换底后分母的符号（如时），导致差的符号判断错误。 2.图像精准定位法 核心逻辑：利用对数函数图像特征（递增、递减；底数越大，时图像越贴近x轴），画草图定位函数值位置。 解题步骤： 1.确定所有对数的底数范围（>1或0<<1），在同一坐标系画草图； 2.标记关键定点（1,0）、（a,1）、（1/a,-1），明确图像“陡峭度”； 3.找到真数对应的x轴位置，向上作垂线，交点越高，函数值越大（时）。 示例：比较、、 底数均>1，图像递增且最陡、最平缓； 真数7、10、26对应的交点：最高，故。 易错点：时图像递减，误将“真数大”等同于“函数值大”。 3.放缩法（对数运算法则+不等式） 核心逻辑：通过对数运算法则拆分/合并对数，结合不等式性质（糖水不等式、均值不等式），将对数转化为可直接比较的形式。 常用放缩规则： 1.（，）； 2.（，，糖水不等式推导）； 3.（，）。 示例：比较与 转化为证明，即； 因，且递增，故。 易错点：放缩过度（如将两个对数都放缩到>1，仍无法区分）。 4.构造函数法（含变量/共性结构） 核心逻辑：针对含相同结构的对数（如、），构造函数，通过导数或定义判断单调性，间接比较。 解题步骤： 1.提取共性结构，构造函数（如，）； 2.化简函数（如换底为），求导判断单调性； 3.代入自变量（对数的底数/真数），利用单调性得出大小。 示例：比较、、 构造（），求导得（递减）； 因，故，即。 易错点：构造函数后未明确定义域，在非单调区间误用单调性。 三、题型匹配指南（快速选方法） 题型特征 优先使用方法 辅助技巧 同底数、异真数 同底数比较法 验证真数>0 同真数、异底数 同真数比较法 结合图像陡峭度 异底异真、可与0/1衔接 中间值法 优先用1或0作为桥梁 异底异真、中间值无效 换底作差/作商法 通分后简化分子 多个对数比较、直观判断 图像定位法 标记定点（1,0） 含变量、有共性结构 构造函数法 导数判断单调性 与具体数值（如3/2）比较 放缩法 对数转指数简化 四、易错点汇总 1.忽略定义域：未验证真数>0，直接比较导致逻辑错误； 2.单调性混淆：时，误将真数大小与函数值大小同步； 3.换底符号错误：时，作差时分母符号影响结果； 4.放缩过度：未控制放缩幅度，导致无法区分两个对数的大小。 例题精选 【例题1】（江西省赣州市十八县（市、区）二十四校联考2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题）若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·贵州·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型9：对数函数综合与不等式问题】 【解题策略】 一、核心解题逻辑 1.定义域优先：所有不等式求解必须以“真数>0”为前提，避免遗漏定义域限制； 2.单调性核心：利用对数底数的单调性（递增，递减），将对数不等式等价转化为真数的不等式（复合函数需用“同增异减”）； 3.等价变形原则： 若，则； 若，则； 4.综合题联动：结合奇偶性、值域、定点等性质，先简化函数再解不等式，避免复杂运算。 二、分题型解题策略 （一）基础对数不等式（单一对数形式） 题型特征：无复合内层函数，仅含或形式； 解题步骤： 1.列定义域条件：（或真数表达式>0）； 2.转化为真数不等式： 若不等式右侧为常数，先化为，再按单调性转化； 若两侧为同底对数，直接按单调性转化为真数大小关系； 3.求定义域与真数不等式的交集，即为解集。 示例1：解不等式 定义域：； 转化：，递增，故； 解集：。 示例2：解不等式 定义域：且； 转化：递减，故； 解集：。 易错点：仅转化对数不等式，忽略真数>0的定义域，导致解集扩大。 （二）复合对数不等式（形式） 题型特征：内层含一次、二次、分式、绝对值函数，需结合“同增异减”判断单调性； 解题步骤： 1.求定义域：解（按一次/二次/分式的定义域求解规则）； 2.分析内外层单调性： 外层：由底数决定（增，减）； 内层：分析在定义域内的单调区间； 3.按“同增异减”转化为的不等式： 若整体递增，则对数不等式→的同向不等式； 若整体递减，则对数不等式→的反向不等式； 4.求定义域与不等式的交集，即为解集。 示例：解不等式 1.定义域：或； 2.单调性：外层递减，内层在递减、递增，故整体在递增、递减； 3.转化：，整体递减，故； 解； 4.交集：。 易错点：复合函数单调性判反，导致真数不等式方向错误；未结合定义域截取内层单调区间。 （三）含参数的对数不等式（难点） 题型特征：参数在底数或内层函数中，需分类讨论参数范围； 解题步骤： 1.分类讨论优先级：先讨论对数底数（或），再讨论内层函数参数； 2.每类讨论中： 先求定义域（含参数的不等式，需保证定义域非空）； 转化为真数不等式（结合单调性）； 解含参数的真数不等式，明确参数的取值边界； 3.合并各类讨论的结果，排除矛盾解（如定义域为空集的参数范围）。 示例：解关于的不等式（） 1.分类讨论底数： 当时： 定义域：； 转化：，递增故； 解集：。 当时： 定义域：； 转化：递减故； 解集：。 易错点：遗漏参数的限制条件（如）；分类讨论后未验证定义域非空（如内层二次函数需保证真数有正值）。 （四）综合型问题（结合奇偶性/值域/单调性） 题型特征：不等式与奇偶性、值域、定点等性质结合，需先利用性质简化函数； 解题步骤： 1.利用已知性质简化函数： 奇偶性：化简，缩小自变量范围（如奇函数定义域关于原点对称）； 值域：确定的取值边界，辅助不等式转化； 2.结合单调性，将对数不等式转化为真数不等式； 3.求定义域、性质限制、真数不等式的交集，即为解集。 示例：已知（奇函数），解不等式 1.利用奇偶性定定义域：（关于原点对称）； 2.分析单调性：内层在递减，外层递增，故在递减； 3.转化不等式：，递减故； 解或； 4.交集：。 易错点：未利用奇偶性简化定义域，导致运算复杂；忽略综合性质对函数单调性的影响，误判不等式方向。 三、易错点汇总 1.定义域遗漏：仅关注对数不等式转化，忘记真数>0或内层函数的额外限制（如分式分母≠0）； 2.单调性判反：复合函数未遵循“同增异减”，或混淆与的不等式方向； 3.含参数讨论不全面：遗漏或的某一类，或未验证参数使定义域非空； 4.等价变形错误：将直接转化为，忽略时需反向； 5.综合题联动不足：未利用奇偶性、值域等性质简化函数，导致解题步骤冗余。 四、题型匹配指南（快速选方法） 题型特征 优先使用方法 关键动作 单一对数、同底/常数右侧 基础转化法 定定义域→按单调性转真数不等式 复合函数（一次/二次/分式内层） 复合单调性法 判内外层单调→转真数不等式组 参数在底数/内层函数中 分类讨论法 先分底数→再分内层参数 结合奇偶性/值域/定点 性质联动法 先简化函数→再转不等式 例题精选 【例题1】（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【例题2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【相似题2】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； (2)解不等式； (3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 6．（25-26高三上·海南·月考）若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·江西赣州·期末）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 三、填空题 8．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）函数的定义域为 . 9．（25-26高二上·云南玉溪·期中）若函数在上单调递减，则函数的递增区间是 . 四、解答题 10．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 11．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数． (1)若的定义域为R，求m的取值范围； (2)若的值域为R，求m的取值范围． 12．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数，且． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围． 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 14．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $