精品解析：江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期周练6数学试题

2025—2026学年第一学期高三数学周练6 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合.集合.则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（ ） A. 先向正东走4米，再向正北走3米 B. 先向正东走6米，再向正南走2米 C. 先向正西走2米，再向正北走3米 D. 先向正西走4米，再向正南走6米 5. 已知，则（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 6. 已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 在处的切线方程为： C. 若函数，使得成立，则 D. 若函数有两个零点，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为拋物线的焦点，且，则（ ） A. B. C. 存在三点，使分别为一个三角形的三条边长 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是____. 13. 函数(，)为偶函数，且函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，则的解析式为________. 14. 在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，. （1）求的长； （2）若的面积为6，求的值. 16. 如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, . （1）证明:平面平面; （2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值. 17. 已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足，为等差数列，其前n项和为，如图________，的图象经过A，B两个点. （1）求Sn； （2）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答. 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 19. 已知椭圆的焦距为4，的三个顶点在椭圆E上，两点关于坐标原点O对称，，且直线与的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）当为椭圆的右顶点时，求直线的方程； （3）若直线与轴交于点，与轴垂直，垂足为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期高三数学周练6 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合.集合.则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得或，应用集合的交运算求，即可知其中元素个数n，根据集合子集个数为即可求的子集个数. 【详解】由题意，得或，又， ∴，集合中有2个元素， ∴的子集个数为个. 故选：B 2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部. 【详解】， 故复数的虚部是. 故选：C 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 4. 为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（ ） A. 先向正东走4米，再向正北走3米 B. 先向正东走6米，再向正南走2米 C. 先向正西走2米，再向正北走3米 D. 先向正西走4米，再向正南走6米 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算性质，结合实际意义，即可判断选项. 【详解】因为向量表示“从点向正东走3米”，所以表示“从点向正东走6米”， ， 因为向量表示“从点向正北走4米”，所以向量表示“从点向正南走2米”， 故从点到这株花卉的位置可以先向正东走6米，再向正南走2米. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式转化，进行求解即可. 【详解】， 所以，则，解得. 故选：C. 6. 已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得即可求解. 【详解】因为函数的图象过点，所以， 所以， 将其图象向右平移个单位长度得到的图象， 令，，解得，. 故选：B 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设，再结合双曲线定义得出，最后应用勾股定理计算求解. 【详解】设，则， 由双曲线定义得：，解得， 所以，则为直角三角形，且， 在中，， 故选：A． 8. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 在处的切线方程为： C. 若函数，使得成立，则 D. 若函数有两个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取对数运算判断；对B，将变形为，求导并利用导数的几何意义求解；对C，问题转化为有解，令，利用导数求出的最大值，得解；对D，利用分析法要证，即证，即证，即证，即证，令，，利用导数证明即可. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则， 所以，，故在处的切线方程为，即，故B正确； 对于C，因为， 要存在，使得成立，即有解， 令，则，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，所以只需，即得，故C错误； 对于D，由，则，， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 若函数有两个零点，则，且， 要证，即证，又在上单调递增， 即证，即证， 只要证， 即证， 令，， 则， 当时，， 所以存在，使得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 当时，，而， 令，， 则，即在上单调递减，故， 所以，即，即， 所以对恒成立， 又，则，即成立， 即成立，问题得证，故D正确. 故选：ABD. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一检验四个选项的正误即可得出正确选项. 【详解】对于选项A：当时，，故选项A不正确； 对于选项B：若，当时，，所以，故选项B正确； 对于选项C：若，则，故选项C正确； 对于选项D：若，则，故选项D正确， 故选：BCD. 10. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A:由，得两式相减整理得即可判断；对于选项B:易得，通过，令计算即可; 对于选项C:结合奇偶性与对称性求出周期，利用计算即可；对于选项D:利用的周期性与奇偶性可得的周期性与奇偶性，利用计算即可. 【详解】对于选项A:由，则, 所以, 因为， 所以， 所以的图象关于对称，故选项A正确； 对于选项B: 因为的图象关于对称，所以， 因为，故，所以,故选项B正确； 对于选项C:因为为奇函数，所以为奇函数， 即关于对称，结合的图象关于对称， 可得的周期为， 因为，所以， 所以，故选项C错误； 对于选项D:因为是周期为4的奇函数， 故是周期为4的偶函数， 所以， 故，故选项D正确. 故选项：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是得出是周期为4的奇函数，借助导数，充分利用奇偶性、对称性与周期性是解决本题的关键. 11. 在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为拋物线的焦点，且，则（ ） A. B. C. 存在三点，使分别为一个三角形的三条边长 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量计算判断A,结合A中与抛物线方程计算判断B,C,应用完全平方公式结合A的结论计算判断D. 【详解】由题设可知， 所以，且，故A正确； ，所以，，同理可得，，故B正确； 不妨设，则，代入， 得，所以，故C不正确； 由 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是____. 【答案】192 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，可得，进而求解即可. 【详解】因为在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列， 设等比数列的公比为，则，解得， 可知这个等比数列的第6项是. 故答案为：192. 13. 函数(，)为偶函数，且函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，则的解析式为________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数转化为，再根据函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，求得，从而得到，然后由为偶函数求解. 【详解】∵函数， ∴， 由题意得， ∴，则. ∵为偶函数， ∴， ∴，， 又∵， 故， 即， ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式以及辅助角法的应用，属于中档题. 14. 在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，然后以点以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求出点的轨迹方程，可知当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大，设点，设三棱锥的球心为，列方程组求出点的坐标，可求得球的半径，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】因为，，，，则四边形为直角梯形， 平面，平面，则， ，，平面，则平面， 、平面，，，则， 故， 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， 由可得，化简可得， 即点的轨迹为圆，当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大， 不妨设点，设三棱锥的球心为， 由，可得，解得， 所以，三棱锥的外接球球心为，球的半径为， 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，. （1）求的长； （2）若的面积为6，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得. 【详解】解：（1）由题可知. 在中，， 所以. （2），则. 又， 所以. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理. 16. 如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, . （1）证明:平面平面; （2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值. 【答案】（1）因为半圆弧上的一点，所以. 在中，分别为的中点，所以，且. 于是在中， ， 所以为直角三角形，且. 因为，,所以. 因为，，， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为，可知，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形，所以有.由已知可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面; （2）以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，, ,,. 设平面的一个法向量为, 则即，取,得. 设平面的法向量, 则即，取,得. 所以， 又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题. 17. 已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足，为等差数列，其前n项和为，如图________，的图象经过A，B两个点. （1）求Sn； （2）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答. 【答案】（1）Sn＝8－23－n （2）图①：不满足“存在正整数n，使得”；图②：使得成立的正整数n的最小值为8；图③，使得成立的正整数n的最小值为5 【解析】 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为，求得，，结合等比数列的求和公式，即可求解； （2）设等差数列的公差为，根据题意得到选择图②③均满足“存在正整数n，使得”，进而结合图②和图③，即可求解. 【小问1详解】 解：设等比数列{an}的公比为， 由，可得，故， 又因为，所以，所以. 【小问2详解】 解：设等差数列的公差为， 由题图①知：T1＝b1＝1，T3＝－3，可得，故数列是递减数列， 又由是递增数列，且，所以不满足“存在正整数n，使得”. 由题图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断，故数列是递增数列. 由题图③知：T1＝b1＝－3，T3＝0，可判断，故数列是递增数列. 所以选择图②③均满足“存在正整数n，使得”. 若选择图②，则T1＝b1＝1，T3＝6，可得，所以. 当1，2，3，4，5，6，7时，不成立， 当8时，b8＝8，S8＝8－23－8，即， 所以使得成立的正整数n的最小值为8. 若选择图③，则T1＝b1＝－3，T3＝0，可得，所以. 当1，2，3，4时，不成立； 当时，b5＝9，S5＝8－23－5，即， 所以使得成立的正整数n的最小值为5. 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出，再通过导数判断单调性进而求出极值即可； （2）将等价为，令，求出单调性和极值，根据题目所给近似值，求出满足题目要求的3个整数解，进而可判断的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，所以， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 不等式在上恰有3个整数解，等价于在上恰有3个整数解， 令，， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 又， ， 所以要使有3个整数解，需满足， 即，此时的整数解为：2，3，4. 所以的取值范围为. 19. 已知椭圆的焦距为4，的三个顶点在椭圆E上，两点关于坐标原点O对称，，且直线与的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）当为椭圆的右顶点时，求直线的方程； （3）若直线与轴交于点，与轴垂直，垂足为，证明：. 【答案】（1） （2）或. （3）证明：方法一： ，则， 设直线，与椭圆的方程联立， 得， 则. 所以， 因为，所以， 化简得，所以或， 当时，与重合，不合题意，舍去； 所以，此时，易得， 可得，所以，得证. 方法二： 记直线的斜率分别为， 令，则， 因为，所以，又，故， 设直线， 令得， 所以，故， 又因为，所以， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，然后根据两直线的斜率之积列出表达式，结合椭圆方程进行化简求得，进而可求出椭圆方程. （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，然后根据垂直关系列出等式，然后求出即可得到直线的方程. （3）方法一：设直线，与椭圆的方程联立方程组，结合韦达定理，根据垂直关系列出等式，化简得到以或，进而可证之；方法二：记直线的斜率分别为，设直线，然后求出，，从而证之. 【小问1详解】 由题，设， 则， 因为点在椭圆上，所以， 两式作差得， 即，所以①， 设椭圆的焦距为，则②， 又③， 综合①②③解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为为椭圆的右顶点，所以此时要满足，则直线的斜率存在且不等于0， 设，与椭圆的方程联立得 得，因为，所以， 又，所以，得， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $