精品解析：甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

永昌县第一高级中学2025—2026—1第二次月考 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，若，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 不存在 5. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 6. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中点，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 点在椭圆C内 D. 的最大值为 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，被圆截得的弦长为 B. 恒过点 C. 当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D. 被圆截得的弦长的最小值为 11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 若直线与圆相切，则实数________. 13. 已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为__________． 14. 已知数列的通项公式为，在项和之间插入个x，形成一个新数列，若的前2027项的和为9138，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 16. 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 17. 已知数列满足，且． （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 18. 设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． （1）求与的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 19. 已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. （1）若离心率时，求的值； （2）若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； （3）连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025—2026—1第二次月考 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知中点的坐标为. 故选：A 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系可得数列的周期，利用周期求解即可. 【详解】由题知， 所以3是数列的一个周期，所以. 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程公式计算. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4. 已知直线，若，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求出，再验证得解. 【详解】若，则，解得或， 当时，直线与直线重合，不合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：所以. 故选：C 5. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，再利用公式法求和即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 则，解得，， 可得，故B正确. 故选：B 6. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 7. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为. 故选：A 8. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中点，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 点在椭圆C内 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用椭圆经过的点代入求得椭圆方程，即可计算判断A，B两项，将点代入椭圆方程计算比较即可判断C项，设点，计算并化简，结合椭圆的几何性质即可判断D项. 【详解】因点在椭圆上，则有，故椭圆方程为， 对于A，由上分析，可得，，，故椭圆的长轴长为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C，将点代入，因，则该点在椭圆内，故C正确； 对于D，设，，因， 则， 又，则， 当且仅当点为椭圆的右顶点时，的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，被圆截得的弦长为 B. 恒过点 C. 当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D. 被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交弦长公式求解圆心到直线的距离从而得弦长，即可判断A；根据含参直线确定定点坐标即可判断B；根据相交弦长的公式可得直线过圆心时截得的弦长最大，从而可得直线方程从而得斜率即可判断C；由几何性质，当当时，可得弦长最小值，即可判断D. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为，当时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离为，此时，被圆截得的弦长为，故A错误； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得因此，恒过点，故B正确； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，故C错误； 对于D选项，记点，则， 当时，设直线的斜率为，此时， 即当时，圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值， 且因为，弦长的最小值为，故D正确． 故选：BD． 11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出、的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】对于A，由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为， 则其方程为，故A选项正确； 对于B，由得或，即，所以， 由对称性得，，所以，故B不正确； 对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、， 由得， 由得， 所以，， 所以， 由图知直线经过点时取最大值，经过点时取最小值， 即在第一象限部分满足， 设，则，故， 代入得， 当时，取最大值，故C不正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同， 所以可以先求部分面积的近似值， 如图， 在（）取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为， 因为，所以点到直线的距离， 所以， 由图知半个花瓣的面积必大于， 所以阴影区域的面积大于，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 若直线与圆相切，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，根据圆切线的性质，建立方程，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径， 由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到直线的倾斜角，进而得到直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 14. 已知数列的通项公式为，在项和之间插入个x，形成一个新数列，若的前2027项的和为9138，则________． 【答案】4.5 【解析】 【分析】先确定在新数列中的位置，进而确定的值，再根据数列的前2027项和列出关于的方程，最后求解. 【详解】在数列中，后面插入个，后面插入个，.......，后面插入个， 那么到为止，新数列的项数为. 由等比数列前项和公式可得， 所以到为止，新数列的项数为. 当时，；当时，； 因为，所以在新数列的前2027项中，不在. 新数列的前2027项中，. 在新数列的前2027项中的个数为个，而到为止插入的的个数为：个， 所以的个数为2016个，那么的和为. 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【小问1详解】 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 16. 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标求出椭圆方程即可. （2）根据已知条件确定是直角三角形，然后求得外接圆半径和圆心坐标，即可求出圆的方程. 【小问1详解】 因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图，若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得． 因为，所以， 又因为，所以，则，即是直角三角形． 所以的外接圆圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 17. 已知数列满足，且． （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）证明：，∴，， 即，又， ∴数列是等差数列，且该数列首项为，公差为， ∴，，∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件令即可求解； （2）利用等差数列的定义可证得结论成立，并确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （3）利用错位相减法可求得． 【小问1详解】 ，，； 【小问2详解】 证明略，通项为． 【小问3详解】 ① ①－②得：， ∴． 18. 设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． （1）求与的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，结合等差、等比数列通项公式代入已知条件解出，从而得到与的通项公式； （2）由（1），利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）由（1）求，，条件可转化为对任意的恒成立，利用不等式法求数列的最小值，由此可得结论. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为，则， 由， 可得，解得（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，可得， 则， 所以数列的前项和． 【小问3详解】 由（1），， 由，，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值，则 解得，而，则，此时取得最小值， 由于，则数列在时取最小值， 所以，则实数的最大值为． 19. 已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. （1）若离心率时，求的值； （2）若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； （3）连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，故. 【小问2详解】 当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. 【小问3详解】 由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $