精品解析：福建省福州立志中学2025-2026学年上学期 八年级 期中数学试卷

福州立志中学2025-2026学年第一学期期中 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，把一个图形沿某条直线对折，对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线对称．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 给出下列计算，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方，熟练掌握运算基本规则是问题求解的关键． 根据运算法则逐一判断各选项即可完成求解． 【详解】解：选项A：合并同类项，系数相加，指数不变，即 ，故A错误； 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 ，故B正确； 选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 ，故 C错误； 选项D：积的乘方，等于每个因式分别乘方，即 ，故D错误． 故选：B． 3. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的最短路径问题，熟练掌握基本知识点是解题关键； 作出点（或点）关于l的对称点即可求解． 【详解】解：选项C中： ∴当三点共线时，的值最小，满足题意； 故选：C 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式，能否约分，即可判断． 【详解】解： A：，不是最简分式； B：，不是最简分式； C：，不是最简分式； D：，是最简分式， 故选：D． 6. 如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选B． 7. 若，，则的值等于（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查同底数幂的除法，积的乘方，逆用幂的运算法则，将 表示为 ，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故选：D. 8. 若多项式是一个完全平方式，则的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的定义，得出符合题意的形式，对应得出答案即可． 【详解】是一个完全平方式，， 或， 或； 的值可能是； 故选． 9. 将图（1）中两张边长分别为，（）的正方形纸片，按图（2），图（3）两种方式放置在长方形纸片上（两张正方形纸片有重叠部分）．设图（2）中长方形纸片未被盖住部分的面积为，图（3）中长方形纸片未被盖住部分的面积为，长方形长为，宽为，时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，，即可求出． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 分解因式：___ 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点Q的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是关于y轴对称的两点坐标的特点，掌握两点关于坐标轴或原点对称坐标特点是解决此题的关键．根据关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出答案． 【详解】解：∵关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 故Q坐标为． 故答案为． 12. 计算：__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：3 【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则，， ，熟练掌握法则是解题的关键． 13. 若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】 2 【解析】 【分析】此题考查已知分式方程的解求参数，分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是解出的根使原方程的分母为零（增根），本题需通过化整式方程并讨论增根情况求解 【详解】原方程为 ， 两边同乘 ，得：， 即 ， 若方程无解，则需 为增根，即 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，即 ，矛盾，方程无解， 综上， 时方程无解， 故答案为 2 14. 如图，已知△ABC中，∠B=50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线，则∠APC的度数为_________ 【答案】115°##115度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°，于是得到结论． 【详解】解：∵∠ABC=50°， ∴∠BAC+∠ACB=130°， ∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上， ∴AM=PM，PN=CN， ∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN， ∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP， ∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°， ∴∠APC=115°， 故答案为：115° 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，点在直线右侧，连接，，，若且，设，，则与的数量关系为________．（用含，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，30°角所对直角边等于斜边一半，全等三角形的性质与判定，熟练进行角度代换，运用这一特殊角构造全等三角形是解题关键． 利用等腰三角形的性质，先用y表示，用x表示，从而通过角度计算，用含x，y的式子表示，过点A作直线的垂线，过点D作的垂线，利用角找到线段关系，从而得到全等三角形，并通过全等三角形得到角度关系，再通过三角形内角和定理构造等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点A作，交的延长线于点M，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共86分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先去括号并计算积的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算乘法，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母，将原方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验即可； （2）先去分母，将原方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验即可． 【小问1详解】 解： 检验，当时， ∴ 【小问2详解】 解： 检验，当时，，即是增根 ∴原方程无解 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图作垂直平分线的方法，即可求作； （2）根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ∵，． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 20. 列分式方程解应用题：一台插秧机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器插秧8公顷水稻比80个农民人工插秧这些水稻要少用2小时．一个农民每小时插秧多少公顷水稻？ 【答案】 一个农民每小时插秧公顷 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，通过设未知数表示工作效率，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设一个农民每小时插秧公顷，则插秧机每小时插秧公顷， 插秧机插秧8公顷所需时间为小时，80个农民插秧8公顷所需时间为小时， 根据题意，， 化简得， 即， ， 解得． 经检验，是原方程的解， 答：一个农民每小时插秧公顷． 21. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形． 数学思考： （1）图1可以推导出的乘法公式为________，图2可以推导出的乘法公式为________； （2）若，，求及的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）；； （2）的值为；或； （3）44 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：图；图； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，， ， 的值为； ∵, ∴或； 【小问3详解】 解：设，， ， ， ， 22. 在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， 又， ． ，， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明即可； （2）连接，利用垂直平分线的性质得出，确定，再由等量代换及三角形外角的定义得出，再由等角对等边即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，H为中点， ∴为的垂直平分线， ， ∴， ∵平分， ∴ ， ， ， ， ， ． 23. 数学课上王老师给出规定：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“佳偶数”，如，，，…，因此12，28，44这三个数都是“佳偶数”． （1）请判断52是否为“佳偶数”，并说明理由； （2）设两个连续偶数为，（其中为正整数），请判断由这两个连续偶数构造的“佳偶数”是否为8的倍数，并说明理由； （3）设任意三个连续的“佳偶数”，，，猜想，，之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 是，理由如下： 设两个连续偶数为和（为正整数）， 根据平方差公式， 令， 解得， 对应的两个连续偶数为14和12即， 52是“佳偶数”； （2） 不是，理由如下： 计算两个连续偶数的平方差： ， 是奇数， 是4的倍数，但不是8的倍数， 故由这两个连续偶数构造的“佳偶数”；不是8的倍数； （3） ，理由如下： 设三个连续的“佳偶数”；对应的连续偶数分别为 则，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用及代数式的运算，解题的关键是利用平方差公式展开并分析“佳偶数”的特征． （1）通过设两个连续偶数，利用平方差公式验证52是否符合“佳偶数”定义； （2）用代数式表示两个连续偶数的平方差，化简后判断是否为8的倍数； （3）用代数式表示三个连续“佳偶数”推导它们的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 点是等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）点在所在的直线上方． ①如图1，若，求证：； ②如图2，作于点，求的值． （2）如图3，点在所在的直线下方，为的中点，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①证明：如图，记的交点为， ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. ②； （2） ，理由如下： 如图，作关于的对称点，连接，，，延长至点使得，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，又， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）①如图，记的交点为，证明，，证明，，即可得到结论. ②在上截取，连接，，记，的交点为，证明，进而证明为等边三角形，得出，即可求解； （2），作关于的对称点，连接，，，延长至点使得，连接，则得出，，即可得出，进而证明，得出，，再证明，接着证明，进而可得是等边三角形，得出，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：如图，在上截取，连接，，记，的交点为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州立志中学2025-2026学年第一学期期中 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     2. 给出下列计算，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 若，，则的值等于（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 8. 若多项式是一个完全平方式，则的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 16 9. 将图（1）中两张边长分别为，（）的正方形纸片，按图（2），图（3）两种方式放置在长方形纸片上（两张正方形纸片有重叠部分）．设图（2）中长方形纸片未被盖住部分的面积为，图（3）中长方形纸片未被盖住部分的面积为，长方形长为，宽为，时，的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 分解因式：___ 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点Q的坐标是________． 12. 计算：__． 13. 若关于的分式方程无解，则的值是________． 14. 如图，已知△ABC中，∠B=50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线，则∠APC的度数为_________ 15. 如图，在中，，点在直线右侧，连接，，，若且，设，，则与的数量关系为________．（用含，的代数式表示） 三、解答题（共9题，共86分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 20. 列分式方程解应用题：一台插秧机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器插秧8公顷水稻比80个农民人工插秧这些水稻要少用2小时．一个农民每小时插秧多少公顷水稻？ 21. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形． 数学思考： （1）图1可以推导出的乘法公式为________，图2可以推导出的乘法公式为________； （2）若，，求及的值； （3）若，求的值． 22. 在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 23. 数学课上王老师给出规定：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“佳偶数”，如，，，…，因此12，28，44这三个数都是“佳偶数”． （1）请判断52是否为“佳偶数”，并说明理由； （2）设两个连续偶数为，（其中为正整数），请判断由这两个连续偶数构造的“佳偶数”是否为8的倍数，并说明理由； （3）设任意三个连续的“佳偶数”，，，猜想，，之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 24. 点是等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）点在所在的直线上方． ①如图1，若，求证：； ②如图2，作于点，求的值． （2）如图3，点在所在的直线下方，为的中点，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $